儒可夫斯基变换与其逆变换研究

胡 人，刘 华

（天津职业技术师范大学理学院，天津 300222）

儒可夫斯基变换与其逆变换研究

胡 人，刘 华

（天津职业技术师范大学理学院，天津 300222）

针对儒可夫斯基变换及其逆变换在复分析领域的应用，进行圆域到椭圆域的儒氏变换和儒氏逆变换的分析与实现。图像结果显示，儒氏逆变换的2分支在椭圆域上分为左右2叶。本文采用儒氏逆变换，将椭圆域进行复合共形映射，得到一个四角形域，并给出边界轨迹。

儒可夫斯基变换；共形映射；椭圆域

儒可夫斯基变换是一个共形映射，在理论和应用中具有重要意义。广为人知的是其在空气动力学中的应用，其在机翼模型的设计与制造过程中具有关键作用。文献[1]和文献[2]将儒可夫斯基变换应用于工程和空气动力学领域，以儒可夫斯基机翼模型为基础进行了一系列应用方面的讨论。另外，儒氏映射亦可应用在电磁领域中的位场理论，如文献[3]通过对儒可夫斯基映射与其逆映射的应用，分别得出了有源和无源电磁场的电势分析，并简述了儒可夫斯基与其逆映射的不同情况。文献[4]则完全集中将儒氏变换应用于翼型设计，并通过对变换系数的调整，得到不同翼型，从而得到不同机翼模型的性质。由经典的儒可夫斯基变换更可推出高维情况，文献[5]将其推广，并给出在三维情况下得到的映射模型。

虽然儒氏变换与其逆变换十分重要，并广泛应用于工程领域，但目前对其进行的数理分析较少，分析学中最早见于复变函数引论[6]。本文主要研究儒可夫斯基变换及其逆变换在复分析领域的保角映射作用，即椭圆域与圆域的相互转化。从儒可夫斯基变换开始，分析其映射的具体形式，并给出映射过程；讨论其逆映射的“双叶解析函数”性质，并给出逆映射的映射形式。根据对应的映射过程，给出儒氏逆映射对椭圆域映射到圆域的边界分析，并对一个在数学上应用儒可夫斯基变换的具体实例进行分析。

1 背景知识

定义映射为：

该映射为儒可夫斯基变换，其将z平面的圆映射为ω上的椭圆。

由式（1）可得儒可夫斯基逆变换为：

此时式（2）为双叶黎曼曲面的变换，其能够将一个椭圆映射成一个“双叶”的半圆，如图1所示[6]。

图1 儒可夫斯基逆映射

由图1可知，图1（a）为长半轴a=c+1/c、短半轴b=c-1/c的椭圆，图1（b）加粗部分为图1（a）椭圆的映射结果，2条细线为辅助线。由图1（b）可知，式（2）将椭圆映射成半径为c和1/c的双叶半圆环。

引入实变数u和v，令ω=u+iv、z=ρeiθ，由式（1）得：

将上式的实部与虚部分别与ω=u+iv对比，可将该变换的实、虚部分离为：

因此经过式（1），z平面上半径为ρ的圆z=ρeiθ变换为ω平面上长半轴、短半轴b=（ρ-）的椭圆，其焦点为（-2，0）和（2，0）。

令ρ=c=2时，式（1）无系数，但其可以为除ρ≠1外的任何值。当ρ=1时，由式（3）可知，映射将z平面的圆映射为ω平面连接（-2，0）和（2，0）的直线。

2 曲线外域的映射

式（1）可将圆映射为椭圆，亦将圆外域映射为椭圆外域，如图2所示[7]。但在处理一般问题时，需要寻求单位圆的帮助，因此椭圆外域映射为圆外域更加重要。这里应用式（2），将ω平面的椭圆外域映射至z平面[8]。由图2可知，式（2）仅将椭圆的外部映射为双叶圆环的“外部”，而并非直观上逆映射成圆的外部。

图2 儒可夫斯基映射与其逆映射作用于曲线外域

实际上，双叶的儒可夫斯基逆变换将椭圆的外域映射为圆周ρ=c的外部与ρ=1/c的内部2叶。因此，在应用时应考虑所选映射的分支，以免混淆。

3 曲线内域的映射

3.1 圆环到椭圆的映射

半径c=2的圆去除半径c=1/c的圆的内域，也就是当z平面区域为圆环时，经过儒氏变换，能够映射成ω平面的区域图形，如图3所示。此时可以看到，式（1）将圆环内部映射为椭圆内部[9]。

3.2 椭圆内域的映射

下面着重讨论椭圆内部的映射。由图3可知，z平面的圆环经式（1）能够映射成ω平面的椭圆，而ω平面的椭圆经式（2）的变化如图4所示。

此时，由于式（2）的双叶性质，其实际上将椭圆的内部映射为“两片”圆环。图4（b）中的3条辅助线由外到内分别是半径为c=2、c=1、c=1/c的圆。

图4 儒可夫斯基逆映射对椭圆内域的映射

3.3 儒氏变换的映射轨迹

根据文献[6]，分析儒氏变换边界的映射轨迹。将半径为1＜c＜2且x＞0时的半圆环经式（1）进行映射，其映射轨迹如图5所示。但经过儒逆变换后，上半椭圆却未能逆映射至半圆环，两者的关系发生了本质的变化，如图6所示。

图5 儒可夫斯基变换（1）的轨迹

图6 儒可夫斯基逆变换（2）的轨迹

此时将上半椭圆经儒逆变换后，不再是半圆环，而变成图4（b）的边界轮廓。因此可知，此处的式（2）映射并非如文献[6]所述，由上半椭圆映射到上半圆，这个结果仍是由儒可夫斯基逆变换的双叶性质所造成的。

实际上，上半椭圆的映射不可能如文献[6]中所示为上半圆环，而是如图7所示，其中的辅助线如上文。此处也可印证图6所述整个椭圆进行儒逆变换后的形状。

图7 儒可夫斯基逆变换（2）映射上半椭圆

为能够对椭圆域进行连续映射，现仅考虑椭圆的右半分支，即：

所得结果如图8所示，图中的辅助线如上文。而对于左半分支，也可类似得到相应结果，如图9所示。由图9可知，这也与上文的结果相符。

图8 儒可夫斯基逆变换（2）映射右半椭圆

图9 儒可夫斯基逆变换（2）映射左半椭圆

4 儒氏逆映射的应用

下面对儒逆映射（2）进行应用，此处试图将椭圆域映射为一个四角形域。仅取椭圆的右半分支，对其应用儒逆变换，则半椭圆域为：

映射结果为曲边四角形，如上文图8所示。之后，再对曲四角形进行变换得到：

由此得到四角形区域，如图10所示。图中的不连续处是由于计算机采点精度不够造成的。此时，整个复合映射的过程中区域的边界对应如图11所示[10]。

图11 半椭圆经复合共形映射成四角形区域的边界对应

为保证图像直观，以较大步长取点作图，因而图中略有弯曲；当取较小步长时，这些弯曲不会出现。此时可以看到，右半椭圆内部部分实轴[0，2]∈R的上下两沿被一致映射成半圆环的内侧边界，再经对数函数映射成为四角形的左侧边界，但方向不发生本质变化。

5 结束语

本文主要研究了儒可夫斯基变换与其逆变换在复平面上的映射作用。研究验证了儒可夫斯基变换将圆映射为椭圆，并将圆外域映射为椭圆外域的情况；着眼于儒氏逆变换，探究其映射作用，并发现由于其双叶解析的性质，对不同的分支有着不同的映射范围。对于每个具体映射，给出了边界轨迹分析与映射区域及儒可夫斯基逆变换在分析领域中的具体应用。

［1］ 王晓宏，赖李健，高彦峰.可变形儒可夫斯基翼型非定常气动力的研究［J］.力学季刊，2009（4）：495-502.

［2］ 高彦峰.可变形翼型的非定常气动特性研究［D］.合肥：中国科学技术大学，2012.

［3］ 王新稳.复解析保角变换在电磁工程中的应用研究［D］.西安：西安电子科技大学，2011.

［4］ 盛英华.微型飞行器低雷诺数二元翼型的气动特性研究［D］.南京：南京航空航天大学，2003.

［5］ CRUZ C，FALCO M I，MALONEK H R.3D mappings by generalized Joukowski transformations［C］//International Conference on Computational Science and ITS Applications. Berlin：Springer-Verlag，2011：358-373.

［6］ 普里瓦洛夫.复变函数引论［M］.闵嗣鹤，程民德，董怀允，等译.北京：人民教育出版社，1956.

［7］ 姚国梅.数值保角变换计算法的研究［D］.昆明：昆明理工大学，2015.

［8］ 王福谦.基于保角映射的镜像法的应用［J］.大学物理，2015（3）：14-16.

［9］ 薛均晓.保形映射理论在几何造型中的某些应用研究［D］.大连：大连理工大学，2009.

［10］严敬，王桃，肖国华，等.基于儒可夫斯基变换的轴流叶片翼型设计［J］.排灌机械工程学报，2012（3）：265-269.

Study of Joukowski transform and its inverse

HU Ren，LIU Hua
（School of Science，Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222，China）

This paper focuses on the application of two conformal mappings of Joukowski transform and its inverse transform in complex analysis.It studies the image realization of these two conformal maps.Firstly，it realizes the transformation from circular domain to elliptic domain.The image results show that the two branches of the inverse transformation are divided into two leaves on the elliptic domain.Finally，it transforms elliptic domain into a quadrilateral domain under the composite mapping and gives the boundary trajectory.

Joukowski transform；conformal mapping；elliptical domain

O411

A

2095－0926（2016）04－0045－04

2016-08-31

胡 人（1991—），男，硕士研究生；刘 华（1971—），男，教授，博士，硕士生导师，研究方向复分析及其应用.