一类带有不育蚊子的疟疾传播模型的分析

殷红燕，蒋 翔

(中南民族大学 数学与统计学学院，武汉430074)

一类带有不育蚊子的疟疾传播模型的分析

殷红燕，蒋 翔

(中南民族大学 数学与统计学学院，武汉430074)

在一个简单的SEIR疟疾传播模型的基础上，建立了一个带有不育蚊子的疟疾传播模型，分析了模型的无病平衡点的存在性和稳定性，给出了基本再生数的公式，证明了地方病平衡点的存在性，对所得理论结果进行了数值模拟．

不育蚊子；疟疾传播； 稳定性；基本再生数；地方病平衡点

疟疾不会像流感那样在人与人之间传播，它是由疟原虫所致的虫媒传染病，所以预防疟疾一个最有效的方法就是减少或消灭蚊子. 在控制蚊子的各种方法中，昆虫不育技术已被证明是一种有效的方法[1-4].利用射线或者其他的一些化学、物理方法使雄性蚊子不育，然后把这些不育雄性蚊子释放到野外和野生雌蚊子交配，从而减少蚊子的数量. 这项技术不仅可以用来防控疟疾，还可以防控其他的蚊媒疾病，如登革热、寨卡等疾病.

文献[5]提出了一个野生蚊子和不育蚊子交互作用的数学模型:

(1)

这里w(t)和g(t)分别表示野生蚊子和不育蚊子在t时刻的数量；a是出生率；μv和μg分别是野生蚊子和不育蚊子的自然死亡率；ξv和ξg分别是野生蚊子和不育蚊子的受密度制约的死亡率；b为常数，是不育蚊子的释放率. 这里假设a>μv.

文[5]研究了模型(1)的动力学性质，分析了不育蚊子对于野生蚊子种群的影响. 本文主要是把不育蚊子引入到疟疾传播模型中，建立一个新的带有不育蚊子的疟疾传播模型.通过分析带有不育蚊子的疟疾传播模型的一些动力学性质来说明不育蚊子对疟疾传播的影响．

1 模型的建立

首先我们把文献[6]中提出的一个疟疾传播模型作为基础模型.在这个模型中，将人类分为易感者(Sh)、潜伏者(Eh)、染病者(Ih)和恢复者(Rh)；将蚊子分为易感者(Sv)、潜伏者(Ev)和染病者(Iv). 疟疾的传播模型为：

(2)

这里Λh为易感人群的新增率；μh和μv分别为人类和蚊子的自然死亡率；δh为人类的因病死亡率；θh为免疫力丧失率；γh和γv分别为人类和蚊子从潜伏者变为染病者的概率；ηh为染病者的恢复率；bv为蚊子的出生率，ξv为蚊子的受密度制约的死亡率；λh和λv分别为人类和蚊子的疟疾感染率.

令Nh=Sh+Eh+Ih+Rh为总的人口数目，Nv=Sv+Ev+Iv为蚊子的总数，r表示单位时间内一只蚊子叮咬人的次数,βh表示蚊子每叮咬一个染病的人感染上疟疾的概率.于是可得到蚊子的疟疾感染率为：

(3)

同理,人类的疟疾感染率为：

(4)

这里βv表示人类被一只染病的蚊子叮咬后感染上疟疾的概率.

下面把不育蚊子引入到基本模型(2)中，得到如下带有不育蚊子的疟疾传播模型：

(5)

2 模型的分析

以下分析模型(5)的一些动力学性质，主要讨论无病平衡点的存在性与局部稳定性，给出基本再生数公式，证明地方病平衡点的存在性.

2.1 无病平衡点的存在性

模型(5)的平衡点满足如下方程：

(6)

(7)

于是，由文[5]中的定理3.1及其推导，可得模型(5)的无病平衡点的存在性定理.

定理1 模型(5)总是存在一个无病平衡点

(8)

2.2 无病平衡点的稳定性和基本再生数

下面通过分析无病平衡点的局部稳定性得到模型(5)的基本再生数.

J12=

F(N)=(1+N)(μv+ξvN)(b+μg+ξgN)-

aN(μg+ξgN).

注意到-J12的所有的非对角元素都是非正定的, 并且-J12前3个主子式都是正的. 由M-矩阵理论[7,8]，如果行列式

detJ12=(μh+δh+ηh)(μh+γh)(μv+

定义模型(5)的基本再生数为：

(9)

2.3 地方病平衡点

下面讨论模型(5)的地方病平衡点的存在性.

与文[6]类似，模型(5)人类部分的地方病平衡点可以表示为：

这里K1=1-θhηhγh/(μh+γh) (μh+δh+ηh)(μh+θh)>0. 令K2=

对于蚊子部分，我们有:

(10)

于是，由(2)和(3)式 ，有：

(11)

3 数值模拟

以下给出两个数值实例来验证上述理论结果，并分析不育蚊子对疟疾传播的影响.

例1 选取参数a=3,μv=0.2,μg=0.1,ξv=0.5,ξg=0.4,b=0.3,Λh=20,μh=0.12,θh=0.5,δh=0.5,γh=0.6,ηh=0.7,γv=0.7,r=21,βh=0.2,βv=0.3．通过计算可得模型(5)在无病平衡点的基本再生数R0=1.0628>1,因此存在一个局部渐近稳定的地方病平衡点(30.8441,35.1719,15.9872,18.0501,4.9968,3.7254,13.0391,0.7181)，如图1所示.

图1 模型(5)的地方病平衡点Fig.1 Endemic equilibrium of model (5)

例2 选取与例1相同的参数除了b=0.6.在引入不育蚊子前，由文[6]中给出的模型(2)的基本再生数公式，可得模型(2)的基本再生数R0=1.477>1，因此疾病会传播，如图2所示.当引入不育蚊子后，并且不育蚊子的释放率b=0.6时，基本再生数减少到R0=0.7161<1，那么疾病最终会灭绝，如图3所示．

图2 模型(2)中染病的人和蚊子的数量Fig.2 The infective humans and mosquitoes population in model (2)

通过对模型(5)的理论分析和数值模拟可看出，引入不育蚊子后模型的基本再生数会降低，这意味着释放不育蚊子会使疾病变得更容易控制，而且可以证明基本再生数R0是不育蚊子释放率b的减函数，即R0会随着b的增加而减少，因此可以通过调节b使得基本再生数小于1，从而控制疾病的发生．另外，由于无病平衡点E0总是局部渐近稳定的，所以如果初始时刻野生蚊子的数量非常少，那么疾病也不会传播.

图3 模型(5)中染病的人和蚊子的数量Fig.3 The infective humans and mosquitoes population in model (5)

最后，在数值模拟的过程中我们发现模型(1)和模型(5)都可能会产生后向分支，这使得疾病的控制变得更加复杂，相关问题我们后续将做进一步的研究.

[1] Rasgon J L. Multi-locus assortment for transgene dispersal and elimination in mosquito populations[J]. Plos One,2009,4:5833.

[2] Wang S, Jacoss-Lorena M. Genetic approaches to interfere with malaria transmission by vector mosquitoes[J]. Trends Biotechnol,2013,31:185-193.

[3] Alphey L. Sterile-insect methods for control of mosquito-born disease: An analysis[J]. Vector-borne Zoonotic Disease, 2010,10: 295-311.

[4] Barclay J, Mackuer M. The sterile insect release method for pest control: A density dependent model[J]. Environ Entomol,1980,9:810-817.

[5] Cai Liming, Ai Shangbing, Li Jia. Dynamics of mosquitoes populations with different strategies for releasing sterile mosquitoes[J]. SIAM J Appl Math,2014,74(6):1786-1809.

[6] Li Jia. Modelling of transgenic mosquitoes and impact on malaria transmission[J]. Journal of Biological Dynamics, 2011, 5(5): 474-494.

[7] Bermen A, Plemmons R J. Nonnegative matrices in the mathematical sciences[M]. New York: Academic Press, 1979: 98-100.

[8] Hyman J M，Li J. The reproductive number for an HIV model with differential infectivity and staged progression[J]. Linear Algebra Appl,2005,398: 101-116.

Analysis of a Malaria Transmission Model with Sterile Mosquitoes

Yin Hongyan, Jiang Xiang

(College of Mathematics and Statistics, South-Central University for Nationalities, Wuhan 430074, China)

On the basis of a simple SEIR malaria transmission model, a malaria transmission model with sterile mosquitoes was established. The existence and local stability of the infection-free equilibrium were analyzed, the formula of the reproductive number was derived, and the existence of an endemic equilibrium was proved. At last, numerical simulations were carried out to illustrate the theoretical results.

sterile mosquitoe; malaria transmission; stability; reproductive number; endemic equilibrium

2016-09-07

殷红燕(1978-)，女，讲师，研究方向：微分方程定性理论、分支理论，E-mail: yhy781028@163.com

中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(CZQ13016)

O175

A

1672-4321(2016)04-0137-05