一道课本例题引出神奇圆锥曲线的三个美妙结论

武增明

人教2007年1月第2版，普通高中课程标准实验教科书A版，数学选修44，坐标系与参数方程，第38页例4：

图1如图1所示，AB，CD是中心为点O的椭圆的两条相交弦，交点为P.两弦AB，CD与椭圆长轴的夹角分别为∠1，∠2，且∠1=∠2.求证：|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.

笔者在探究此例题的解答思路时，看到|PA|·|PB|=|PC|·|PD|非常像圆的相交弦定理，由此想到，若A，B，C，D四点共圆， 则|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.进一步思考，又看到∠1，π-∠2分别是直线AB，CD的倾斜角.再结合课本中给出的此例题的解答，通过计算可知，如图1，若A，B，C，D四点共圆，那么∠1+（π-∠2）=π，即直线AB与直线CD的倾斜角互补，由此得，直线AB与直线CD的斜率互为相反数.再进一步深入探究，发现如下神奇圆锥曲线的三个美妙结论.

结论1如果一个椭圆与一个圆相交于A，B，C，D四点，那么四边形ABCD的对边所在的直线的斜率互为相反数，两条对角线的斜率互为相反数.

证明不妨设椭圆的方程为

x2a2+y2b2=1（a>b>0）.①

若圆的圆心在原点O，如图2，则由椭圆和圆的对称性可知，四边形ABCD是矩形，从而直线AD，BC的斜率都不存在，直线AB，DC的斜率都为O，直线AC与直线BD的斜率互为相反数.

图2图3若圆的圆心不在原点O，如图3.

下面证明直线AD与直线BC的斜率互为相反数.

设直线AD与直线BC交于点P，设P（x0，y0），设直线AD，BC的倾斜角分别为α，β，则直线AD的参数方程为

直线AD与直线BC的斜率都不存在.

若α=π-β，则直线AD与直线BC的斜率互为相反数.

证明直线AB与直线CD的斜率互为相反数，直线AC与直线BD的斜率互为相反数的方法仿上述证明直线AD与直线BC的斜率互为相反数，证明过程略.

结论2如果一个双曲线与一个圆相交于A，B，C，D四点，那么四边形ABCD的对边所在的直线的斜率互为相反数，两条对角线的斜率互为相反数.

结论3如果一条抛物线与一个圆相交于A，B，C，D四点，那么四边形ABCD的对边所在的直线的斜率互为相反数，两条对角线的斜率互为相反数.

结论2、结论3的证法仿上述结论1，在这里略.

上述结论可统一为，如果A，B，C，D是圆锥曲线上任意四点，且四点共圆，那么四边形ABCD的对边所在的直线的斜率互为相反数，两条对角线的斜率互为相反数.

说明笔者查阅了大量的资料，没有找到上述结论的证明记录.在2013年11月第1版，闻杰老师编著的《神奇的圆锥曲线与解题秘诀》一书中的第140页，用动态课件探究出了上述结论，但没有给出证明.