基于赫尔默特方差分量估计的导线平差

张 幸，雷前坤，张 俊

(贵州大学 矿业学院测绘工程教研室，贵州 贵阳 550025)

基于赫尔默特方差分量估计的导线平差

张 幸，雷前坤，张 俊

(贵州大学 矿业学院测绘工程教研室，贵州 贵阳 550025)

利用经典最小二乘(LS)进行导线平差的过程当中，由于角度和边长的定权不合理会导致平差的结果和精度受到影响。采用赫尔默特方差分量估计能准确地确定角度和边长之间的权比关系，从而消除先验权阵不准确对数据处理结果的影响。本文分别利用经典LS估计和赫尔默特方差分量估计对导线进行平差处理，结果表明赫尔默特方差分量估计可以获得优于经典LS估计的平差结果。

方差分量估计；导线平差；先验权阵

0 引言

导线因具有单线推进、布设灵活、精度均匀、受地形限制小等特点，在测量工作中得到了广泛的应用。在对导线进行平差处理的过程中，会涉及到角度和边长两种不同类型观测值的定权问题。目前主要采用经典高斯-马尔柯夫模型来进行导线平差处理，该方法在平差的过程中，通常简单地将角度作为单位权方差确定两类观测值的权，从理论上是不严密的，这是因为角度和距离是两种具有不同量纲的观测量，很难准确确定先验权阵，从而影响平差结果。准确定权实际上就是准确确定方差，赫尔默特方差分量估计通过反复迭代使各类观测值的方差趋于合理，最终得到合理的权阵[1-4]，对于削弱先验权比不准确给数据处理带来的不良影响效果明显。

1 赫尔默特方差分量估计原理及迭代求解过程

1.1 赫尔默特方差分量估计原理

实际应用中，利用多类观测值进行数据融合处理，不仅可以充分发挥各类数据的作用，而且可以通过各类数据相互约束增加结果的可靠性。同时，如何合理分配各类数据对模型参数求解的先验权比关系是多类数据融合处理的关键问题。赫尔默特方差分量估计通过不断迭代调节观测值之间的权比关系从而使各类观测值相对权比趋于合理，较适合解决上述问题。导线包括边长和角度两种类型的观测值，本文以导线为例阐述赫尔默特方差分量估计原理[5]：

(1)

式中：

(2)

(3)

(4)

赫尔默特方差分量估计的实质是利用式(1)～式(4)求得不同类型观测值的单位权方差估值，然后再利用求得的单位权方差估值重新定权，以此反复迭代。通过设置恰当的迭代阈值，当各类观测值的单位权方差估值之比趋于1时，停止迭代，最后一次结果即为所求结果。

1.2 赫尔默特方差分量估计迭代步骤

赫尔默特方差分量估计迭代步骤如下：

1)根据已有的条件定初权P1，P2；

2)利用步骤1)中求出的权进行第一次平差，便可获得式(3)中两类观测值的改正数二次型，从而获得式(4)中的单位权方差估值；

3)利用式(4)中求得的两类观测值的单位权方差依照下式重新定权：

(5)

式中：c为任意常数；

4)计算两类观测值的单位权方差比值，若比值未达到设定的阀值要求，则重复步骤2)和3)，直到两类观测值的单位权方差比值趋近于1为止。

2 算例及分析

如图1所示的附合导线，起算数据及观测数据如图1、表1所示。

图1 起算数据Fig.1 Intial data

角号观测角值中误差/(″)边号观测边长/m中误差/mm1331°14'39.1″2.513082.621462127°25'56.1″2.521500.017223201°57'34.0″2.531009.021154168°01'45.2″2.5

根据1.2的迭代过程进行赫尔默特方差分量估计。

第一次平差：

设单位权中误差σ0=σβ=2.5″，则有

(6)

ΡS1=0.003((″)2/mm2)

ΡS2=0.013((″)2/mm2)

ΡS3=0.028((″)2/mm2)

根据已知数据和观测值计算出P1，P2点的近似坐标：

首次平差得到观测值改正数：

vβ=[-0.50″ -4.91″ -4.74″ -5.35″]T

vs=[-85.19 -29.98 -13.22]Tmm

运用赫尔默特方差分量估计公式计算得到：

计算首次迭代后角度与边长的单位权方差估值之比：

显然，两类观测值首次平差后的单位权方差估值未达到阀值要求(本文设置的阈值为两类观测值的单位权方差估值之比与1差值的绝对值小于0.0001)，因此需要继续迭代。从第2次平差开始，每次定权时，定权公式中的单位权方差c都取角度的单位权方差。当迭代到第5次时，两类观测值的单位权方差估值之比达到阀值要求，迭代结束。此时两类观测值的改正数为：

vβ=[-0.41″ -5.03″ -4.74″ -5.32″]T

vs=[-85.82 -28.90 -12.93]Tmm

迭代过程中的单位权方差比值及最终平差结果见表2和表3，表3中σP为点位中误差。

表2 单位权方差比值变化

表3 未知点坐标平差值及点位中误差

Tab.3 Adjustment value of coordinates of unknown points and mean square error of a point

点号平差项目平差结果经典最小二乘估计赫尔默特方差分量估计P1x^4933.109974933.10990Y^6513.718326513.71684σP167.0275665.93698P2x^4684.423394684.42335Y^7992.946517992.94613σP240.9697740.09551

由表2可以看出，两类观测值的单位权方差之比随着迭代次数的增加逐渐趋近于1。当迭代到第5次时，两类观测值的单位权方差之比达到阀值要求。由表3则可以得出，利用赫尔默特方差分量估计的平差结果优于经典平差。p1和p22点的点位中误差分别减小了1.6%和2.1%，精度有所提高。这表明利用赫尔默特方差分量估计可以获得优于经典平差所得的平差结果。

3 结论

当有多类数据参与平差处理时，如何对各类观测值准确定权是一件非常重要且复杂的事，然而经典平差认为权阵是已知的且为简单的结构。赫尔默特方差分量估计通过反复迭代使各类观测值的单位方差之比趋近于1，从而使各类观测值的权比趋于合理。本文分别利用经典高斯-马尔柯夫模型和赫尔默特方差分量估计对附合导线进行平差处理，结果表明，赫尔默特方差分量估计能得到更高的精度，值得在工程应用中推广。

[1] 李希峰，岳东杰，卫柳艳.赫尔默特方差分量估计在混合水准网平差中的应用[J].现代测绘，2005，28(5)：20-22.

[2] 郭楠，李永斌，胡菊英.赫尔默特方差分量估计在水准、CORS联合平差中的应用[J].兰州工业学院学报，2014(6)：56-60.

[3] 龚率，刘晓华，黄志伟，等.基于赫尔默特方差分量估计的水准网平差方法研究[J].大地测量与地球动力学，2015，35(5)：771-774.

[4] 白茹跃，王艳.边角网赫尔默特方差分量估计的特征根法[J].长春工程学院学报：自然科学版，2004，5(3)：46-48.

[5] 崔希璋，於宗俦，陶本藻，等.广义测量平差[M].新版.武汉：武汉测绘科技大学出版社，2001.

Traverse Adjustment Analysis Based on Helmert Variance Component Estimation

ZHANG Xing，LEI Qian-kun，ZHANG Jun

(TheDepartmentofSurveyingandMappingEngineeringofMiningCollege，GuizhouUniversity，GuiyangGuizhou550025，China)

On account of unreasonable perspective and the right side，it easily has impacts on the results and accuracy of the adjustment using the classical LS(Least Squares)model for wire adjustment process.Helmert variance component estimation through accurately checking the relative weight ratio of angles and side lengths observation aims to eliminate the bad effect on results which is produced when the improper prior weight matrix deals with figures.This paper takes a conclusion with verifying that Helmert variance component estimation is able to lead to a more accurate adjustment result than the traditional one by means of analysing respective results of the Helmert variance component estimation and LS estimation.

variance component estimation；traverse adjustment；prior weight matrix

2016-07-06

1.贵州大学“SRT计划”项目：“赫尔默特方差分量估计及其在测量中的应用”，编号：贵大SRT字2015(171)。

2.贵州省教学内容与教学体系改革重点项目：“基于工程教育专业认证标准体系的测绘工程专业课程体系调整与优化(SJJG201413)”。

3.贵州大学课程教学模式改革项目(JG201630)。

P 221

：B

：1007-9394(2016)04-0024-02

张幸(1994～)，男，贵州绥阳人，研究方向：测绘数据处理。