概括平差模型及其方差的区间估计和假设检验

谢 波

概括平差模型及其方差的区间估计和假设检验

谢 波

(重庆水利电力职业技术学院，重庆 402160)

文章区分了控制网中的两类不同性质的数据，通过控制网中的观测数据和基准数据分别建立了误差方程和基准方程，从而建立了概括平差模型。应用数理统计计算了方差的区间估计和基准方程的假设检验，最后应用于附合网基准数据选用的判断，得出了有益的结论。

附合网；平差；单位权中误差；基准

0 引言

很多文献论证了经典平差各种模型的内在联系和互相转换，并提出了不同的概括平差模型，如於宗俦教授提出的附有限制条件的条件平差模型[1]，王新洲教授提出的附有限制条件的间接平差模型[2]，欧阳文森、朱建军提出的附不等式约束条件的条件平差模型[3]，等等。但是，上述概括平差模型中条件方程均以必要起算数据为依据建立的，而必要起算数据和建立限制条件方程的数据共同决定了平差问题的基准，因此，上述概括平差模型很容易混淆控制网中的两类不同性质的数据：观测数据和起算数据，观测数据决定了控制网的形状，起算数据决定了控制网的定位或基准[4]。所以，从控制网中的两类数据入手来建立平差模型可以更好的理解控制网的内部噪声和参考系效应[5]。

本文区分了控制网中的两类不同性质的数据，概括平差模型为误差方程和基准方程，以观测数据建立误差方程和以起算数据建立基准方程，并计算附基准方程的方差区间估计和假设检验，最后应用于附合网基准数据选用的判断。

1 概括平差模型

对任意控制网，将网中所有点(包括已知点和未知点)的坐标(或高程)视为参数，则按照观测数据和基准数据分别建立误差方程和基准方程：

(1)

(2)

由误差方程可得相应的法方程：

(3)

式中：N=ATPA，w=ATPl，R(N)=t

考虑基准方程。如果基准方程的个数s不少于秩亏数d，即s≥d，则平差模型中已知数据就提供了控制网的基准数据，方程有唯一的解。按最小二乘原理，由

(4)

得基础方程

(5)

(6)

(7)

(8)

即

(9)

式(9)即为考虑基准方程后的参数解算。

(10)

单位权方差

(11)

2 附基准方程的方差区间估计和假设检验及应用

基准方程的个数多于秩亏数时，其为附合网，基准方程是关于未知参数的线性约束，必须通过检验。

单位权方差为

(12)

无基准方程时，观测数据决定了观测的精度，残差的二次型满足

(13)

可得：

(14)

所以，方差的100(1-α)%的区间估计为

(15)

有基准方程时，残差的二次型满足

(16)

为了检验无基准方程和有基准方程时方差有无显著性差异，可以构建检验统计量[7]：

(17)

满足F(s-t，n-t)分布。选取α为显著性水平，如果TFα(s-t，n-t)，则表示二者有显著性差别。

由于无基准方程时，秩亏自由网具有“保形性”的特征，即控制网的网型由且仅由观测数据来确定的，但是，引入多于秩亏数个数的基准方程后，控制网的网型受到基准数据的影响以后就发生了变形，其变形的大小从本质上反映了基准数据之间的兼容性，因而，上述检验方法可用于附合网基准数据选用的判断。

如图1为测角网，A、B、C、D为已知点，观测值的个数为20，待定点为E、F点。表1为数据计算与分析表。

观测数据起算点组合单位权中误差区间估计α=0.05区间估计结果统计量TF0.05(n,t)方差检验结果任意两点0.82(0.59,1.35)通过 A、B、C1.08(0.60,1.29)通过5.143.74未通过A、B、D0.95(0.60,1.29)通过2.393.74通过A、C、D1.06(0.60,1.29)通过4.703.74未通过B、C、D0.84(0.60,1.29)通过0.353.74通过A、B、C、D1.05(0.61,1.25)通过2.243.11通过

从表1可知：A、B、C、D点的组合在区间估计时都通过检验，但是，在方差检验时，A、B、C组合和A、C、D组合均未通过检验，说明起算点间的兼容性差，不宜作为起算数据；A、B、D组合和A、B、C、D组合通过了方差检验，对观测网的网型影响可接受，可以考虑作为起算数据；B、C、D组合通过了方差检验，且单位权中误差和仅有必要起算数据时的单位权中误差最接近，反映了不受基准数据影响的观测值的精度，因而是基准数据选用的最好组合。

3 结论

通过应用分析，笔者可得到如下结论：

1)将测量平差模型统一为误差方程和基准方程，有利于区分控制网中的观测数据和起算数据两类不同性质的数据，可以更好的理解控制网的内部噪声和参考系效应。

2)附合网在基准数据选用或判断基准数据间的兼容性时，仅仅从方差的区间估计或者假设检验去评判都会有偏差，宜采用方差的区间估计和假设检验相结合的方法，这样的判断更为合理。

[1] 於宗俦，于正林.测量平差原理[M].武汉：武汉测绘科技大学出版社，1990：127-130.

[2] 王新洲.论经典测量平差模型的内在联系[J].测绘通报，2004(2)：1-4.

[3] 欧阳文森，朱建军.经典平差模型的扩展[J].测绘学报，2009，38(1)：12-15.

[4] 刘根友，郝晓光，柳林涛.参数约束平差法[J].大地测量与地球动力学，2006，26(4)：5-9.

[5] 张西光.地球参考框架的理论与方法[D].郑州：解放军信息工程大学，2009：35-38.

[6] 陶本藻.自由网平差与变形分析[M].武汉：武汉测绘科技大学出版社，2001：1-108.

[7] 武汉测绘科技大学测量平差教研室.测量平差基础[M].3版.北京：测绘出版社，1996：177-180.

Generalized Adjustment Model and Its Variance Interval Estimation and Hypothesis Testing

XIE Bo

(ChongqingWaterResourcesandElectricEngineeringCollege，Chongqing402160，China)

The article distinguished two different types data in control network，and establishded error equation and reference equation by observation data and baseline data in the controlling network，and then established a generalization adjustment model.Interval estimation of variance and hypothesis testing of reference equations were calculated by mathematical statistics，and finally they were applied with the selection of baseline data in combined network.A useful conclusions was obtained.

networks with several fixed points；adjustment；unite weight mean square error；datum

2016-06-14

P 207+.2

：A

：1007-9394(2016)04-0006-02

谢波(1973～)，男，湖北襄阳人，工程师，现主要从事精密工程测量、测量数据处理等方面的研究工作。