一种改进的变步长LMS算法在Costas环中的应用*

马丛珊，高 俊，娄景艺

(海军工程大学 电子工程学院，湖北 武汉 430033)

一种改进的变步长LMS算法在Costas环中的应用*

马丛珊，高 俊，娄景艺

(海军工程大学 电子工程学院，湖北 武汉 430033)

针对传统固定步长LMS算法在稳态误差、收敛速度、跟踪速度方面无法兼得的问题，比较多种不同的变步长LMS算法,提出了一种改进变步长LMS算法。通过对该算法进行仿真分析，发现该算法不仅满足稳态误差、收敛速度、跟踪速度各方面的要求，还减小了噪声对算法的干扰。同时，为了解决科斯塔斯（Costas）环在现实硬件实现中两路信号无法完全一致的问题，将改进变步长LMS算法运用到科斯塔斯（Costas）环中，成功实现了载波恢复。

LMS算法;变步长;科斯塔斯（Costas）环;载波恢复

0 引 言

在短波通信系统接收机中，如何产生与载波信号同频同相的本地载波信号，是最后输出优质解调信号的重要条件之一。而随着通信、导航等行业的发展，对短波接收机的要求也越来越高。而在传统的载波同步方法中，无论是平方环还是科斯塔斯（Costas）环，都需要I、Q两路信号，且要求经过低通滤波器后的两路信号具有频率相同、相位相差90°的特性。然而，现实的硬件设计很难满足。

而在LMS算法中，由于传统固定步长LMS算法[1]无法在稳态误差、收敛速度和跟踪速度方面获得最优性能，因此本文在对多种变步长LMS算法进行讨论的基础上，提出一种改进的变步长LMS算法。仿真分析表明，该算法不仅可满足稳态误差、收敛速度和跟踪速度的要求，而且对噪声有很好的抑制作用。

同时，本文尝试将改进变步长LMS算法运用到科斯塔斯（Costas）环中，只需一路信号，即可完成最后的本地载波提取。

1 算法推导

1.1 固定步长LMS算法

最小均方（Least Mean Square，LMS）算法是线性自适应滤波算法[2]。它包含了滤波和自适应两个基本过程，设计准则是最小均方误差准则（MinimumMean Square Error，MMSE），即滤波器的期望输出与实际输出响应的均方误差最小。设e(n)为滤波器在n时刻的误差，滤波器的输入为x(n)，滤波器的输出为y(n)，滤波器的抽头权向量为，步长参数为μ。

LMS算法流程如图1所示。

图1 LMS算法流程

（1）输入μ和x(n), x(n)=[x(n),x(n-1),…,x(n-M+1)]T，M为滤波器长度；

（4）计算出滤波器在n时刻的误差e(n)=d(n)-y(n)；

（5）计算新的抽头权向量估计值

1.2 变步长LMS算法

为了使LMS算法具有好的稳态误差，同时收敛速度快、跟踪速度快，需要采用改变步长参数的方法[4]。以下就常见的四种变步长LMS算法进行讨论。

（1）基于抽样函数的变步长LMS算法

（2）基于双曲正切函数的变步长LMS算法

（3）基于Lorentzian函数的变步长LMS算 法

在Lorentzian函数y=log[1+e(n)2]的基础上，文献[7]提出了一种新的算法，希望能提高收敛速度和跟踪速度。

（4）基于Sigmoid函数的变步长LMS算法

1.3 算法的选择和改进

四种算法的μ(n)和e(n)的关系如图2所示。基于抽样函数的算法在e(n)趋近0时，步长参数μ(n)变化缓慢，但是当e(n)较大时，有很明显的旁瓣。基于双曲正切函数、基于Lorentzian函数和基于Sigmoid函数的算法，在e(n)较大时，μ(n)拥有较快的变化速度，但是在接近稳态时，μ(n)的变化速度没有明显减小，容易造成稳态失调。四种算法里，只有基于抽样函数的算法，在e(n)为0的时候μ(n)可以为0，其余三种算法均存在误差。计算量上，基于Lorentzian函数的算法存在平方项和log项，使得计算量大大增加。同时，四种算法的抗干扰性均不佳。

为了进一步检验四种算法的稳态误差、 收敛速度和跟踪速度，将对这四种算法进行仿真比较。

图2 四种算法的(n)和e(n)的关系对比

搭建仿真平台条件：

（1）滤波器的阶数为2。

（2）迭代次数为2 000。

（3）仿真的统计次数为200。

（4）未知系统的FTR系数为w=[0.6,0.3]，在第1 000个抽样点时系统发生突变，突变后的FTR系数为w=[0.5,0.1]。

（5）系统的输入为零均值、方差为1的高斯白噪声。

（6）系统的加性噪声为零均值、方差为0.04的高斯白噪声。

仿真结果如图3所示。

图3 四种变步长算法的比较

如图3所示，在系统稳态误差相差无几的情况下，基于双曲正切函数的变步长LMS算法具有很快的收敛速度和追踪速度。但是，如前文所述，这种算法的抗噪声能力较差。当未知系统存在干扰噪声且噪声的自相关性很强时，算法的性能将受到很大影响。

因此，本文将e(n)改为e(n)e(n-1)，从而较好地控制噪声对算法的影响。这是因为误差信号中的噪声自相关性一般很强，而互相关性一般很差，用e(n)e(n-1)可以通过噪声较差的互相关性将其除去，从而降低噪声对步长参数μ(n)的影响[9]。所以，改进后基于双曲正切函数的变步长LMS的相关参数如下：

修改后基于双曲正切函数的变步长LMS算法与原始基于双曲正切函数的变步长LMS算法的仿真比较，如图4所示。修改后基于双曲正切函数的变步长LMS算法在误差信号较大时，拥有较快的收敛速度，而在误差信号接近零时，又拥有较慢的收敛速度，减小了系统的稳态失调。同时，由图5、图6、图7可知，通过改变a、b、h的值，可以改变μ(n)和e(n)的关系。其中，a越大、b越大、h越小时，算法的收敛速度越快。相较b的值，a和h的值更能影响曲线的底部特性。这将影响到e(n)趋近于0时的系统稳定性。此外，算法对a值的变化更加敏感。最终，随着e(n)的增大，步长μ(n)将变为一样。而b值更能影响曲线的初始值。这将影响到系统的最初收敛步长。

此外，通过计算，在输入相同信号和相同噪声的情况下，修改后的算法将原基于双曲正切函数的算法的信噪比提高了10 dB，一定程度上也减小了噪声对算法的影响。

图4 两种基于双曲正切函数的变步长LMS算法的比较

图5 a值变化时μ(n)和e(n)的关系

图6 b值变化时μ(n)和e(n)的关系

图7 h值变化时μ(n)和e(n)的关系

2 科斯塔斯（Costas）环原理

在接收机中，为了获得一个与接收信号载波同频同相的本地震荡信号，需要进行载波同步[10]。载波同步的方法很多，如平方环、科斯塔斯（Costas）环、再调制等。本文采用科斯塔斯（Costas）环进行载波同步。科斯塔斯（Costas）环的载波同步原理 如图8所示。

图8 科斯塔斯（Cos tas）环的原理

接收信号s(t)被送入I、Q两路，分别与va和vb相乘，其中

分别经过相乘器后，可得

经过低通滤波器后，分别可得

将ve与vf同时经过相乘器，有

当m(t)为BPSK调制时，m2(t)=1，且当φ很小时，可得

将vg输入到压控振荡器中，调节压控振荡器的输出va。当φ=0时，vg=0，此时的va即为科斯塔斯（Costas）环的输出载波，用它来做相干解调的本地载波时，得到的ve即为解调输出。

3 变步长LMS算法在科斯塔斯（Costas）环中的应用

将改进的基于正切曲线的LMS算法应用于科斯塔斯（Costas）环中，用算法的迭代结果取代原来I、Q两路经过相乘器后的结果，如图9所示。

图9 运用变步长LMS算法的科斯塔斯（Costas）环

接收信号s(t)被送入I路与va相乘，其中

经过相乘器后，可得

分别经过低通滤波器和环路滤波器后，可得

当m(t)为BPSK调制时，m2(t)=1，可得

将vc作为LMS算法的输入x(n)，而算法的期望输出d(n)=0。通过不断迭代调整，当e(n)→0时，将此时所得的y(n)输入给压控振荡器所得的va，即为运用LMS算法的科斯塔斯环（Costas）环的输出载波，用它来做相干解调的本地载波时，得到的vc即为解调输出。如图10所示，假设信噪比为-20 dB，通过MATLAB仿真，最后φ值趋近于零，此时va=cos(ωct)即为提取的本地载波，符合对科斯塔斯（Costas）环设计的最基本要求。

图10 φ值的变化情况

4 结 语

通过比较前人的算法，提出了一种改进的变步长LMS算法，并将其成功应用于斯塔斯（Costas）环，实现了本地载波的提取。通过仿真分析提出的改进算法变步长LMS算法，发现其不仅满足稳态误差、收敛速度、跟踪速度各方面的要求，还减小了噪声对算法的干扰。同时，通过MATLAB仿真可以看出，这种基于变步长LMS算法的科斯塔斯（Costas）环，可以很好地完成本地载波的提取，很好地解决了科斯塔斯（Costas）环在现实硬件实现中两路信号无法完全一致的问题。

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马丛珊（1990—），女，硕士研究生，主要研究方向为数字理论与技术；

高 俊（1957—），男，博士，博士生导师，教授，主要研究方向为通信理论与技术、无线通信；

娄景艺（1979—），女，博士，副教授，研究方向为数字通信、卫星通信。

Application of A Modified Variable-step LMS Algorithm in the Costas Loop

MA Cong-shan,GAO Jun,LOU Jing-yi
(College of Electronic Engineering, Naval University of Engineering, Wuhan Hubei 430033,China)

Aiming at traditional constant-step LMS algorithm cannot simultaneously satisfy the steadystate error, the convergence speed and tracking speed, comparing different Variable-step LMS algorithm, a Modified Variable-step LMS algorithm is proposed. Simulation and analysis on the algorithm indicate that the algorithm not only can simultaneously satisfy the steady-state error, the convergence speed and tracking speed, but also can decrease the interference of noise. At the same time, it is difficult for Costas to have Identical two-way signal in the hardware implementation. A Modified Variable-step LMS algorithm is applied Costas. It is batter at carrier recovery.

LMS algorithm; Variable-step; Costas loop; carrier recovery

TN911

：A

：1002-0802(2016)-06-0673-06

10.3969/j.issn.1002-0802.2016.06.005

2016-02-15;

：2016-05-07 Received date:2016-02-15;Revised date:2016-05-07