巧用极值不等式 定和求积觅极值

李栋

【中图分类号】G633.6                           【文献标识码】A      【文章编号】2095-3089（2016）11-0205-02

极值问题是物理应用中常见问题之一，解决这类问题的方法有几种，如二次函数配方法、二次方程判别法、三角函数法、几何作图法，对于同一问题采取方法不同，其效果往往并一样。

数学中有两个重要极值不等式，它们是：

（1）均值不等式为：

（可变形为，当a=b时取等号）

（2）重要不等式为：

（可变形为，当a=b时取等号）

在物理极值问题的讨论计算中恰当运用以上结论，是必简便快捷，现举几例。

【例1】一正方形木块边长为H，在其右上方做成一个1/4圆形光滑轨道，半径为R，让质量为M的小球从A点自由释放离开B点做平抛运动，问：

（1）小球在B点时对轨道的压力多大？

（2）要使小球平抛运动的水平射程最大，轨道半径R与H应满足怎样的关系？

析与解：（1）小球从A点自由释放滑到B点的过程中，只有重力做功，小球的机械能守恒，，而小球在B点做圆周运动，所受支持力F与G应满足，由此得：支持力F=3mg，小球对轨道的压力为3mg;

（2）小球从A点自由释放滑到B点的过程中，机械能守恒，小球离开B点时的速度为;小球离开B点之后做平抛运动，落地时间为，由此得：小球水平射程，由极值不等式有：当H-R= R时，即时，射程最大，最大射程为H。

【例2】如图所示，光滑水平面右端连接一个竖直的半径为R的光滑半圆轨道，在离B距离为x的A点，用水平恒力将质量为m的质点从静止开始推到B处后撤去外力，质点沿半圆轨道运动到C点处以正好落回A点，求：

（1）推力对小球所做的功;（2）x取何值时，完成上述运动所做的功最小？最小的功为多少？（3）x取何值时，完成上述运动所用的力最小？最小的力为多少？

【析与解】（1）质点从半圆轨道运动又回到A点，设质点在C点的速度为vc，从C点运动到A点所用时间为t，则：

在水平方向上x=vct，在竖直方向上2R=gt2/2，可得：，对质点从A到C由动能定理有：，解得：

（2）由知，要使力F做的功最少，只需质点在C点速度最小，设质点恰好通过C点的速度为v，由牛顿第二定律得mg=mv2/R，则，则有，可得x=2R时，力F做的功最少，

（3）由=Fx，得，由极值不等式有：当16R/x=x/R时，即x=4R时，力F最小，，最小的力为F=mg。

【例3】如图，粗细均匀的玻璃管长L=100厘米，开口向上竖直放置时，上 端齐管口有一段h=25厘米的水银柱封闭着27℃空气柱，大气压强为P=75厘米汞柱，现使空气柱温度逐渐升高，问欲使管内水银全部溢出，温度至少升到多高？

析与解：设管内空气柱温度升高到T（开），管内尚有水银柱  厘米，管的横截面积为S，则有

将数据代入，整理得：

如果再变为有关的二次函数求极值，解答就较为复杂，由于为常数，所以当时，即当 厘米时，T有极大值为（K）。

【例4】如图所示电路中，已知电源电动势内阻，定值电阻，，是总阻值为的滑动变阻器，闭合电键K，调节变阻触点，求通过电源的最小电流？

析与解：与电源组成的电路实际上是双臂环路，通过电源电流最小时，实际对应总电阻最大，设AP段阻值为X，那么：

由于（定值），

所以当时，即时，有最大值，，因此通过电源电流

（A）

物理中经常遇到求极值的问题，如果一类问题，涉及到两个变量和为定值，求相应量极值问题，即定和求积觅极值，就可用数学中的极值不等式求极值，收到事半功倍的效果。