在二次函数教学中渗透数形结合思想

袁春明

【摘要】二次函数是初中数学教学的重要内容，集中体现了数形结合思想，本文结合二次函数的数学，探寻渗透数形结合思想的有效策略。

【关键词】二次函数 数形结合

数学思想 初中数学

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2016）11A-0084-02

数学新课程标准明确提出，数学教学应注重渗透数学思想，提升学生的数学素养。数形结合思想是指导学生数学学习的重要数学思想之一，掌握数形结合的方法，可以极大地提高学生的数学学习效果，训练学生的数学思维，让学生终身受益。二次函数作为初中数学教学的重要内容，集中体现了数形结合思想，是训练数形结合方法的良好载体。结合初中数学二次函数教学，探寻渗透数形结合思想的有效策略，是一项值得教师研究的课题。

一、解析二次函数的学习内容，阐释数形结合思想

数学知识是数学思想的直接呈现。很多教师为了应对考试，在日常教学中偏重于数学知识的传授，而忽略了数学思想的教育，制约了学生的全面发展。二次函数在初中数学课程中占有十分重要的地位，是函数与方程、数形结合、转化、类比等数学思想的良好载体。教师应认真地研读教材，阐释其中包含的数形结合思想，促使学生对数形结合思想形成直观的认知。

在学习二次函数之前，学生已经具备了一次函数、反比例函数的学习经验，也初步了解数形结合思想在函数学习中的应用。因此，在学习二次函数知识时，教师可以引导学生借鉴前面的学习方法，从掌握图象和性质出发展开教学。在学习这些知识时，教师要适时向学生渗透：不论是[y=ax2]型的图象特征，还是[y=ax2]、[y=a（x+m）2]和[y=a（x+m）2+k]三种二次函数的图象之间的关系，以及一般二次函数[y=ax2+bx2+c]的图象与[y=ax2]的图象之间的关系，都不可避免地需要对函数关系式和图象进行研究，这些内容的学习必然会涉及函数表达式与图形的结合，需要通过观察图象找出其中的变化规律。同时，这部分内容还需要学生能够运用二次函数解决实际生活中的求“最值”的问题，这类问题也可以通过对函数关系式的化简，作图解答，进一步体现了数形结合的思想。

二、分析二次函数的图象性质，渗透数形结合思想

在初中数学教学中，二次函数的图象和性质是重点也是难点，是数形结合思想的集中体现。教师组织学生学习这一部分知识时，通过指导学生运用正确的作图方法，按照列表、描点、连线的作图步骤，正确地作出二次函数的图象之后，引导学生认真观察图象，积极思考，进行判断和归纳，发现二次函数图象变化的规律，得到二次函数的性质，有效地渗透数形结合思想。

在学习“二次函数[y=ax2]（a不等于0）的图象和性质”时，教师引导学生通过对函数关系式的解析，确定了自变量的取值范围，根据函数关系式，用表格的形式列出随着自变量[x]的变化相应的[y]值，然后，按照表格列出的每组数据在坐标系内描点，再把描出的点连接起来，得到二次函数[y=ax2]的图象，再指导学生观察图象，包括图象的形状、开口方向、顶点坐标、函数增减性的变化趋势等。通过这种由“数”与“形”结合的方法，学生发现二次函数[y=ax2]的图象是抛物线，这个抛物线的顶点坐标为（0，0），对称轴是[y]轴，当[a]>0时，二次函数[y=ax2]图象开口向上;当[a]<0时，二次函数[y=ax2]图象开口向下。在分析二次函数[y=ax2]的性质时，学生亲身体验了“数”与“形”之间的转换，对数形结合思想有了比较具体的认知。

由上例可知，二次函数的图象和性质本身就是数形结合思想的良好载体，也是对学生进行数形结合思想教育的有效方式。教师在引导学生作图、观察、推理的过程中，直接向学生渗透了数形结合思想，给学生留下深刻的印象。

三、借助二次函数的研究方法，理解数形结合思想

数学思想指导数学学习方法，数学知识的研究方法恰好也可以体现数学思想。在学习二次函数的内容时，教师在数形结合思想的指导下，按照探讨函数知识的常用步骤和方法，帮助学生分析研究二次函数性质的思路，明确研究步骤，让学生学会应用数形结合思想探究数学知识的一般方法，掌握解决数学问题的具体步骤，加深学生对数形结合思想的理解。

在学习“二次函数”的内容时，教师为了激发学生的学习兴趣，渗透数形结合的思想，在上课伊始，就结合实际生活问题创设学习情境：拟建设一个外围是长方形的温室，周长是120米，温室内部有通道，分别与长方形的两边相隔2米和1米，那么，设温室的种植面为[y]，其中一条边长是[x]，两者之间的关系式是什么？这种实际问题的解答需要学生灵活应用数学知识。学生在理解题意时存在困难，教师提示学生可以先根据题目画图，能比较直观地呈现出等量关系，进而列出y与x之间的关系式。学生通过画图，对于长方形的长和宽一目了然，顺利地列出[y=（60-x-4）][（x-2）=-x2+58-112]的函数解析式。最后，直接引出了二次函数的定义，以及二次函数相关的“二次项系数”“一次项系数”和“常数项”的概念。这样的引入方法，也是运用了数形结合思想方法，促使学生深入理解数形结合思想，训练学生的数学思维。

由上例来看，通过利用数形结合的方法，按照“先画出图象，再总结性质，最后运用数学语言进行描述”的三个步骤，分析二次函数的研究方法，让学生深入理解数形结合思想。

四、通过二次函数的习题解答，应用数形结合思想

数学思想的学习不能通过简单机械的记忆来完成，而是要通过实际应用把数学思想内化，成为学生数学思维的习惯。练习题的解答是渗透数学思想的重要方式。在完成了二次函数知识的学习后，教师可以选择一些典型的练习题目，引导学生应用数形结合的思想、方法，形成独特的应用体验，从而使数形结合思想在学生的头脑中扎根，自觉地指导学生的解题过程，提高学生的解题能力。

在学习“二次函数[y=ax2+bx+c]（[a≠0]）的图象和性质”的知识后，教师结合本节内容的教学目标，出示练习题：抛物线y=x2-3x+2不经过（ ）。A. 第一象限;B. 第二象限;C. 第三象限;D第四象限。判断抛物线所在的象限是学习二次函数的内容后需要掌握的知识点。本题具有一定的典型性，教师先让学生自己解答，有学生很快就给出了C答案。“为什么呢？请说说你的解题方法。”教师提出问题，引发学生深入思考。学生说：“我选取了这条抛物线的顶点、与x轴的交点三个点，并且判断了抛物线的开口方向是向上，画了个简图，通过看图发现抛物线不过第三象限。”教师肯定了学生的回答，并进一步强调：“通过画图解决二次函数问题是一种快速准确的方法。同学们要学会应用数形结合的解题方法，把抽象的数学问题转化为形象直观的图形，提高解题效率。”学生在解题中应用数形结合的解题方法，使数形结合思想内化到学生的知识能力结构中，更好地指导数学学习。

借助典型的二次函数练习题，让学生在解题过程中体会数形结合思想，升华对数形结合思想的认识，获得应用数形结合思想方法解题的亲身体验，强化学生自觉应用数形结合方法解题的行为，增强学生的数学素养。

总之，数形结合思想方法可以比较容易地把抽象难懂的知识内容转化为形象易学的知识，教师应通过认真研读教材，挖掘渗透数形结合思想的教学内容，灵活应用恰当的教学方法，借助有效的教学手段，有的放矢地进行数学思想教育，促使学生掌握数形结合的方法，巩固学生的数学基础知识，提高学生解决数学问题的能力。

（责编 林 剑）