均匀磁场中导体细线圈的自感现象分析

佟建恒

【摘要】采用法拉第电磁感应定律，求解随时间变化的均匀磁场中静止的线圈上的感应电动势。观察到导体细线圈在周期范围内会出现至少两次的时间间隔，这样的结果会导致定律失效。但由于磁场的频率越来越大，让感应电动势也越来越强，而只有自感在被忽略的情况下，线圈的电动势才能够符合欧姆定律的要求。

【关键词】均匀磁场 导体细线圈 自感现象

【中图分类号】TL62+2 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）31-0166-02

在大学物理的课程中，有很多的内容与法拉第电磁感应定律相关，但是在学习中，主要以外界磁场对导体细线圈的作用为主，而并不是要由感应电流的情况来决定最终的磁通量。此外有一部分人表示，是否符合欧姆定律，还要看导体线圈的电动势的具体情况，而对电磁能并不予以特别的重视。下面，我们主要是根据法拉第电磁感应定律，来详细的研究一下均匀磁场中导体细线圈的自感现象。

一、感应电流和感应电流的函数式

在外界的磁场里，放入导体细线圈，同时让线圈和磁感线出于90度角的状态。如果外界磁场能够因为时间的变动而得到满足：

B（t）=Bocos（wt）

如果感应电动势用e来表示的话，那么电流方向和磁感应强度方向，这两者就可以形成螺旋关系。通过法拉第定律，能够得到如下的关系式：

E=do/dt=d/dt（Φ+Φ）=dt/dΦ-dt/dΦ。在这个关系式当中，Φ代表的是外界磁场给线圈所提供的磁通量，而经过认真的分析能够看出，这个关系式能够满足Φ=BS=R2B（t）。而Φ则代表感应电流所提供的磁通量，适合下面的公式Φ=BS=LI。在这个公式中，B代表感应电流所提供的磁场强度，L则代表导体细线圈的感应系数。

通过利用法拉第电磁感应定律，我们能够发现，电阻和自感电动势之间的总和相当于导体细线圈所有的磁场感应，用公式来表达的话就是：

E=IR-EL+Ldt/dI。 在这个公式中，EL=IR+Ldt/dL代表自感电动势，而IR则代表电阻所承受的电压。

根据以上的公式，我们能够列出满足感应电流的方程：

2Ldt/dI+IR=na2Bowsin（wt） 如果对这个公式采取转换的话，假如导体线圈的电流符合I（0）=0的要求，那么就可以得到2LpI（p）+I（p）R=na2Bo p2+w2/w2.同时，I（P）=p2+w2/na2w2Bo+2Lp+R/1。

然后通过对I（P）=p2+w2/na2w2BΦ+2Lp+R/1的转换，得到准确的感应电流的公式：I（t）=na2w2Bo[-4L2w2+R2/2Lcos（wt）+4L2w2+R2sin（wt）+4Lw2+R2/2L] 如果时间t→Φ，那么导体细线圈就会趋于平稳，此时的公式应为：

I（t）=na2wBo[4L2W2+R2/2L.cos（t）+4L2w2+R2sin（wt）=4L2w2+R2/R/w sin（wt）=4LW2+R2/nawBosin（wt）。

如果把公式I（t）=na2wBo[4L2W2+R2/2L.cos（t）+4L2w2+R2sin（wt）=4L2w2+R2/R/w sin（wt）=4LW2+R2/nawBosin（wt）带入到EL=IR+Ldt/dL这里，那么当感应电动势趋于平稳的时候，就能够得到下列公式：

E（i）=na2wbo 4w2L2+R2/w2L2+R2 sin（wt）。

二、导体细线圈的自感系数

尽管在过去，已经通过研究得到了载流导体线中磁场的感应系数，而且也总结出了函数公式：

B（r）=8a（a2-r2）/u0I（4a2-r2），在这个公式当中，a代表导体线圈半径，r则代表导体线圈周围的一个点，不过在过去对导体线圈磁场进行分布期间，全都将线圈当作没有界限的。这样的情况就造成，当磁场与线圈越来越近的时候，磁场就会具有非常大的强度，而且磁通量也会变得强起来，这完全与实际情况不相符，原因在于使用安培环路定理，轻易的就能够得出结论，而从有限粗细的导体线圈的角度来进行分析的话，我们发现，无论是在表面处，还是平面的磁通量，其有限粗细的导体线圈都是有限制的，不过，导体线圈在横截面的半径上如果不大于自身半径的话，这就意味着相关文献的实验的结果是正确的。

假如导体线圈的横截面用dr来表示，线圈的长度用dl表示，那么电流元的磁感强度就是4n（dr）2/u0Idl，而所有线圈的磁通量就是Om（I）=B（r）2nrdr=LI。如果把公式B（r）=8a（a2-r2）/u0I（4a2-r2）套用到Om（I）=B（r）2nrdr=LI，同时舍去dr2的话，我们能够得到导体细线圈的自感系数：L=8a/u0n[6In a-3In（2a-dr）a2-2adr-3a2In（dr）]。假如dr的值是0.01a的话，那么自感系数就是L=5.0ua。

三、讨论

I（t）=na2wBo[4L2W2+R2/2L.cos（wt）+4L2w2+R2sin（wt）=4L2w2+R2/R/w sin（wt）=4LW2+R2/nawBo sin（wt），E（i）=na2wbo 4w2L2+R2/w2L2+R2 sin（wt），这两个公式因为在感应电动势上具有一定的相位差Oo（0

B（t）=Bocos（wt）=Bosin（wt+2/n）。另外，感应电流之间的相位差是2/n+o（0

通过以上内容我们能够了解到，导体细线圈在周期范围内会出现至少两次的时间间隔，这样的结果会导致定律失效，同时，如果磁场的频率越来越大的话，那么就意味着感应电动势越来越强。不过，根据实验发现，无论是在表面处，还是平面的磁通量，其有限粗细的导体线圈都是有限制的，不过，导体线圈在横截面的半径上如果不大于自身半径的话，这就意味着专业文献中所进行的实验的结果是正确的。

参考文献：

[1]孟庆宽.导体细线圈在均匀磁场中的自感现象[J].大学物理，2015（12）：16-19.

[2]刘宏.巧用线圈角色 速解自感问题[J].中学物理，2015，33（9）：77-78

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