小议空间角的计算

刘胜波

摘要：本篇对空间角——异面直线所成的角、线面角、二面角求法的探讨总结，以飨广大读者对空间角求法有个总体的了解，并能熟练掌握运用。

关键词：线面角；平面角；解三角形链

计算空间角的问题，是高考常见类型之一，出题人往往会以这三种形式来命题的：（1）异面直线所成的角；（2）线面角；（3）二面角。对于这三种类型，不管是那类，都是通过转化的思想最终化成相交直线所成的角。尽管如此，但对于每一种类型还是有自己独到之处的，为了确保考场上万一无失，下面我们分别将其探讨一下。

一、异面直线所成的角

解决异面直线所成的角，须平移异面直线，使其转化为相交二直线的夹角问题，其方法有三：

1、直接法。设异面直线a、b所成角为θ，要求θ的值，须从下面三个步骤入手：

（1）确定θ角：同时平移直线a、b使其相交或将其中之一平移与另一条相交，则平移后相交二直线所夹的锐角或直角即为所求的角θ，这里的θ∈[0，π/2]。

（2）选择θ的最佳位置：充分利用几何图形的性质，选择特殊点、线作为角的顶点和边。当找不到特殊的点、线时，应最大限度地把已知条件归结到含θ的三角形中。

（3）计算θ的值：在完成（1）（2）两步时，要为第（3）步做好准备，使其便于计算θ的值，一般通过解含θ的三角形求θ的值。

2、公式法。利用异面直线距离公式求夹角。若异面直线a、b的公垂线段AA=d？，E、F分别是直线a、b上的两点，AE=m？，AF=n？，EF=l？直线a、b成的角为θ，则COSθ=|？d2+m2+n2-l2/2mn|？？其中θ∈[0，π/2]。

⑶向量法。对于异面直线所成的角，若能构造成向量，将异面直线所成的角转化成两向量的夹角，利用向量的数量积公式，则可在不作出异面直线所成角的情况下，巧妙而简捷地求出异面直线所成的角。

二、线面角

求直线与平面所成的角，应先指出图形中哪个角是直线和平面所成的角，而后将该角置于某一三角形中（一般构造直角三角形）计算它的值，其方法有二：

1、直接法。根据直线与平面所成角的定义，确定角而后计算，其中确定角的关键是找出直线在平面内的射影，而找其射影一般是按下列步骤进行的：

（1）确定射影：找一垂足和斜足；

（2）将角置于三角形中，解此三角形；

（3）特殊角不必计算，例00，900，可通过证明。

有时若直接求某一直线与某一平面所成的角比较困难，此时可根据所学的知识间接求得，即相当于将直线或平面平移，其角的大小不变。

三、二面角

二面角和平面角的概念及其大小的计算，是立体几何的一大重点和难点，因为它是立体几何证明和解题常用的概念和手段，而二面角的大小不能直接度量，需要借助于它的平面角来求。

二面角的平面角是用来度量二面角的，角的两边在两个半平面内且垂直于棱，它的大小是由二面角的两个面的位置来决定，与棱上一点选取的位置无关。因此，计算二面角的关键是求二面角的平面角的大小，其方法有二：

1、直接法。因为二面角是空间角，无法直接度量，但可以转化为相交二直线的夹角，既度量二面角平角是多少度，二面角就是多少度，此法称为直接法，其步骤有三步：

Ⅰ、先作出或找出二面角的平面角；Ⅱ、证其为二面角的平面角（根据定义）；Ⅲ、计算。其中最关键的是第Ⅰ步，而做第Ⅰ步的常用方法通常有：

（1）根据平面角的定义作出平面角：根据定义要符合平面角的三要素；顶点和角的两边的选择要便于计算。

（2）根据三垂线定理或逆定理作平面角：在二面角某一面α内，找一点A作AB垂直二面角的另一面β，且垂足易确定，在面β内，作BC垂直棱a于点C，连接AC，则∠ABC就是所求的平面角。

（3）作二面角棱的垂面，垂面与二面角两个面的交线所夹的角就是该二面角的平面角。垂直棱的平面可平行的移动，要适当的选择以便于计算。

通过以上的方法我们很容易的把二面角的平面角找或作出来，接下来的任务是计算平面角的值，其方法有三：

（1）解三角形：将平面角置于某一三角形之中，解此三角形。若三角形是任意三角形----用余弦定理或正弦定理求解；若三角形是直角三角形---用勾股定理或三角函数等来求解。

（2）解三角形链：求二面角的值时，有时已知数和未知数不集中在同一个三角形中，无法找出直接关系，这时可通过解多个三角形，求出一些相关量，最后求出所要求的未知数，这种方法称为解三角形链。

（3）引进参数计算：已知数和未知数没有直接关系时，可引入参变量，以便于沟通已知和未知的关系。

2、公式法。用直接法求二面角大小时，若平面角不易求出或计算麻烦，且这时又具备使用公式的条件，则可间接地用公式法来求二面角。

（1）利用图形的面积射影公式来求二面角。

利用此公式，必须要知道每个字母的含意，否则易出现错误。

虽然空间角的求法总体上大同小异？？都是通过转化的思想最终化成相交直线所成的角，但对于具体的题目，还是有自己的独到之处，就如上面所讲的。但要做到在考场上见题就达到下笔如神、挥洒自如的程度，还得靠自己在下面大量的实践练习和归纳。

参考文献

[1] <<高等学校毕业设计指导手册>>.

[2] 高中<<几何>>实验修订本下A.

[3] <<成才之路>>.

[4] 2006年第8期的<<数学通讯>>.