基于兰彻斯特方程的体系对抗过程分析与评估方法

丛红日，褚 政，丁光强

（1.海军航空工程学院指挥系，山东烟台264001；2.海军装备部驻上海地区军事代表局，上海200129）

基于兰彻斯特方程的体系对抗过程分析与评估方法

丛红日1，褚 政1，丁光强2

（1.海军航空工程学院指挥系，山东烟台264001；2.海军装备部驻上海地区军事代表局，上海200129）

以经典兰彻斯特方程为基础，通过对兰彻斯特方程的重新解释和推导以及对体系对抗过程本质的分析，建立了体系对抗作战方程，为体系对抗作战过程的定量分析提供了基本工具和方法。在此基础上，分析了体系对抗作战方程的应用领域和应用方法，给出了解算体系对抗作战方程的具体方法。最后，通过一个实例计算验证了体系对抗作战方程及其解算方法的合理性。

兰彻斯特方程；体系对抗；评估方法；作战模型；体系对抗作战方程

信息化战争背景下的体系对抗，是指依靠完整的作战体系所具有的总体能力与对手所进行的对抗[1]。在体系对抗中，作战能力的大小不是取决于兵力规模的大小和单件武器装备的性能，而主要取决于由各种作战要素聚合而成的完整作战体系的总体能力[2]。

体系对抗中，构成作战体系的诸多要素之间的关系非常复杂[3]，不仅作战体系的能力形成机制和形成方式呈现典型的非线性特征[4]，而且体系对抗既是交战双方各作战要素之间的直接对抗，如平台与平台之间的对抗，又是作战体系总体能力之间的对抗[5]。

进行体系对抗时，必须首先对作战过程和作战结果科学进行规划和预测，才能把握住主动权，赢得最后胜利[6]。因此，必须对体系对抗科学地加以评估和研究，尤其是定量分析[7-8]。

作战是一种典型的对抗且此消彼长的动态过程，而兰彻斯特方程以微分方程的形式描述作战过程的对抗性和动态性，反映了作战过程的本质特性[9-10]。因此，本文基于兰彻斯特方程，对体系对抗的作战过程进行初步的定量分析与评估。

1 基于兰彻斯特方程的体系对抗模型构建

1.1 经典兰彻斯特方程

经典的单兵种兰彻斯特方程为[11]：

式（1）中：x、y分别是甲、乙双方的兵力数量，即作战单位的数量；a、b分别是甲、乙双方的毁伤系数，即单位时间内每个作战单位的毁伤能力，是一个常量。

a×x、b×y分别是交战双方单位时间内对于对方的毁伤能力，即单位时间内甲乙双方的作战能力。

经典兰彻斯特方程中，作战过程和结果由交战双方的初始兵力数量及其毁伤系数确定。其中，兵力数量作为变量，毁伤系数作为常量处理。这蕴含了2个基本假定：一是每个作战单位的毁伤能力均相同；二是每个作战单位的毁伤能力在作战过程中不发生变化，而发生变化的仅是兵力数量。此外，还有其他形式的兰彻斯特方程，如多兵种兰彻斯特方程等。但所有其他形式的兰彻斯特方程，都是在经典单兵种兰彻斯特方程的基础上发展而来[12-13]。

1.2 以作战能力为核心的兰彻斯特方程

在经典兰彻斯特方程中，主要关注兵力数量的变化。因此，把兵力数量作为变量来处理。在现代信息化战争条件下，兵力数量已经成为了次要问题，而交战双方的作战能力才是关注的重点[14]。因此，可以通过对兰彻斯特方程的思想来描述和解决作战问题。

作战能力是指破坏、削弱对方的作战能力的同时保护己方作战能力免受对方损害的一种综合能力。作战能力事实上就是战斗力，涉及人、武器、体制编制、作战指挥、作战保障等众多因素，非常复杂。

需要说明的是，在兰彻斯特方程中，主要体现对于对方的作战能力进行破坏、削弱的一种能力，即攻击作战能力，而保护己方作战能力免受对方损害的能力即防御作战能力则蕴含其中。

基于对作战能力的理解，主要关注作战能力在作战过程中的变化，则兰彻斯特方程可改写为：

式（2）与式（1）的区别在于：x、y是作为常量来处理，a、b则作为变量。常规表述中，通常以x、y为变量，为了与通常的表述习惯相一致，则式（2）可变为：

式（3）与式（1）在形式上完全相同，但其本质已发生了根本变化。式（3）中，a、b分别表示交战甲、乙双方的兵力数量，即作战单位的数量；x、y则分别表示甲、乙双方单位时间内每个作战单位的的作战能力，即作战能力系数。显然，a×x、b×y仍然是交战甲乙双方单位时间内的作战能力。这里，a、b不是变量，而是作为常量来处理。

1.3 兰彻斯特方程的归一化处理与体系对抗作战方程的建立

因为式（2）中的x、y或是在式（3）中的a、b的取值与所采用的单位密切相关，而采用什么单位来表示兵力数量对兰彻斯特方程并没有本质影响。例如，如果以“连”为作战单位时，兵力数量为3。假设1个营共有3个连，则与以“营”为作战单位时兵力数量为1，这是完全相同的。如果以“连”为作战单位，假设3个连中2个已经被消灭，则只剩下1个连。但如果以“营”为单位，则仍然可以看做是1个营，只不过该营的作战能力已被大大削弱。也就是说，可以认为作战单位的数量不发生变化，变化的只是作战单位的作战能力。依次类推，直至把交战双方的所有参战兵力看做是1个整体，双方均为1个作战单位，即

则式（3）变为

式（5）中，x、y分别是交战甲乙双方在单位时间内对于对方整体作战能力进行破坏或削弱的能力，即体系对抗作战能力系数。至于这一能力是表现为消灭对方的兵力，还是破坏对方的武器装备，乃至于破坏或削弱对方的指挥控制、作战保障、军心士气、战争潜力等，皆无不可。

显然，x、y的取值范围为：

式（5）中，交战双方的所有参战兵力均被作为统一整体来看待和处理，x、y所表示的作战能力事实上是交战双方的体系作战能力。因此，式（5）是描述体系对抗作战过程的基本方程，称为体系对抗作战方程，或面向体系对抗的作战方程。该方程形式虽简单，但却深刻反映了对抗作战过程的本质。

2 体系对抗作战方程的应用方法

2.1 体系对抗作战方程用于理论分析的基本方法

经典兰彻斯特方程曾广泛应用于传统作战的理论分析，例如沙基昌教授以经典兰彻斯特方程为基础创立了数理战术学[9]，体系对抗作战方程也能够为现代信息化战争条件下的体系对抗作战的理论分析和研究提供基础。

其基本方法主要有2种：一是以体系对抗作战方程为基础，结合体系对抗的具体特征，采用一定的数学方法进行分析与推导，得出能用于指导体系对抗作战的结论。二是首先采用某种方法确定出交战双方的作战能力关于时间的函数，即x、y的具体函数表达；再以体系对抗作战方程为基础，采用数值分析或仿真计算等方法进行分析、计算；进而通过对计算分析结果的研究总结出x、y在特定函数表达特别是在典型函数表达情况下体系对抗作战过程的基本规律，用于指导体系对抗作战。

2.2 体系对抗作战方程的解算方法

由于体系对抗作战方程表现为微分方程，更重要的是x、y的取值，或者说是其函数表达，是后验的而通常不会是先验的，即x、y的取值通常需要随着作战过程的展开不断进行调整[15]，因而如果使用体系对抗作战方程对某一次具体的体系对抗作战的动态过程进行定量分析，直接解算该微分方程，不但计算不方便，而且也不科学，宜采用分步解算法。

所谓分步解算，就是以单位时间（即时间周期）为步长进行递推，区分时间周期一步一步依次进行解算。具体解算方法如图1所示。

1）确定单位时间。x、y均为单位时间的作战能力，时间单位不同，x、y的取值必然不同[16]。在实际应用中，应结合作战规模、作战持续时间等实际情况合理确定时间单位的颗粒度，如持续时间短的小规模战斗通常应以小时为单位，持续时间相对较长的中等规模的战斗或战役一般以天为单位，而战争则可以以周甚至月为单位。以上只是基本原则，具体使用时应视情而定。

图1体系对抗作战方程解算方法示意图Fig.1 Schematic diagram of computing method

2）确定x0、y0的值。x0、y0即作战起始时x、y的值。需要采用一定的方法经科学评估得出。评估方法见文献[17]。

3）计算下一时间周期x、y的值。使用体系对抗作战方程，即式（5），计算出下一个时间周期x、y的值。即：

式中，n为自然数，为时间周期数的度量，即第几个时间周期。

4）归一化处理。进行归一化处理，就是要把交战双方的作战能力系数始终调整为对于对方整体的作战能力系数，以正确反映作战过程中双方作战能力此消彼长的实际情况。

这里假定经过一个时间周期的作战，一方对另一方的作战既削弱了对方的攻击能力，也同比例地削弱对方的防御能力。当然，这一假定不能始终成立，但在大多数情况下，可以认为该假定是成立的。如果该假定不成立，则需要在步骤5）中对x、y的取值进行必要调整。

归一化处理的方法为：

5）对该时间周期x、y的取值进行调整。使用某种评估方法，对交战双方在该时间周期的作战能力进行评估，并把评估结果与步骤4）中经计算得出的值进行比较，如果相符，则说明2种评估方法殊途同归，如果差异较大，则需要对造成差异的原因进行分析。一般是因为在作战过程中由于作战指挥、作战保障等因素发生了比较重大的变化；或是由于增援、补充等使交战中的一方甚至双方的作战能力发生了较大变化；或者是由于一方或双方由于重要目标、重要节点遭到攻击后作战能力发生了显著变化，等等。总之，体现了体系对抗非线性作战的典型特征。此时，须把2种方法评估的结果进行综合，得出一个相对合理、准确的x、y在该时间周期的取值。

6）对作战结束条件进行评判。此对作战结束条件进行评判主要基于作战本身来考察作战结束的条件。一般情况下，可把交战双方作战能力的对比作为作战结束的评判条件。在作战过程中，交战双方的作战能力的变化非常复杂。但由于单位时间取值不同所带来的影响，双方作战能力系数的绝对值并不能说明问题，关注双方作战能力的比较。应首先把该时间周期双方作战能力相除，得出比值K=x/y。至于K为多大才能作为作战结束的判定条件要视情而定。一般分3种情况：①该比值已足够大（或足够小），如达到10以上（或0.1以下），而且还一直呈扩大（或缩小）的趋势，则说明双方的实力悬殊越来越大，可以认定作战结束（一方取胜）；②该比值始终在初始值附近小范围变动，这说明随着作战进程的展开，双方实力对比基本上没有变化，双方均无取胜的希望；③该比值逐渐向1收敛，这说明经过一段时间的作战后双方势均力敌，继续作战只可能相互消耗、同归于尽，则也说明作战应该结束（如通过谈判），可以作为作战结束的判定条件。

如果经判定认为满足了作战结束的条件，则作战结束，计算和分析过程也随之结束。反之，如果经判定认为不满足作战结束的条件，则转入步骤2），进入下一时间周期的计算与分析，如此循环往复，直至满足作战结束的条件，过程结束。

3 算例

假设作战起始时交战双方的作战能力系数分别为：x0=0.2、y0=0.1。

为了简化问题，进一步假设交战双方在作战过程中作战指挥、作战保障、环境条件等不发生明显变化，也没有补充或增援，也不考虑采用非线性作战方法所带来的作战能力的变化，也就是说，在每一时间周期均不对计算结果进行调整。计算结果见表1。

表1 计算结果Tab.1 Calculation results

计算结果可见：在其他条件不变的情况下，随着作战过程的持续，双方的作战能力不断发生变化，而且初始能力较强的一方，其作战能力不断提高；而初始作战能力较弱的一方，其作战能力则持续降低，双方作战能力的对比越来越向着初始作战能力较强的一方倾斜。在本例中，经过4个时间周期后，双方作战能力之间的比值已由初始作战时的2提高到了超过10的水平，这充分说明了初始作战能力的重要性。因此，在战前，应着力加强己方作战能力建设，力争处于优势地位。这一结果也与集中优势等军事常识相一致。

当然，交战双方在作战过程中其战略战术、作战保障等影响作战能力的因素会不断进行调整，如果方法得当或条件有利时，甚至会变被动为主动、变弱势为优势，这在战争史上也屡见不鲜。这也正是2.2节中的解算方法步骤5）中为什么专门需要对双方的作战能力进行调整的原因所在，否则，体系对抗就不能正确地反映和描述体系对抗作战的复杂情况。

4 结束语

体系对抗作战过程的定量分析非常复杂，本文以经典兰彻斯特方程为基础，通过对兰彻斯特方程的重新解释和推导以及对体系对抗过程本质的分析，建立了体系对抗作战方程，为体系对抗作战过程的定量分析提供了基本工具和方法。在此基础上，分析了体系对抗作战方程的应用领域和应用方法，给出了解算体系对抗作战方程的具体方法。最后，通过一个实例计算验证了体系对抗作战方程及其解算方法的合理性。

需要说明的是，使用体系对抗作战方程进行计算和分析时，x、y所代表的作战能力系数需要采用某种评估方法得出，在本文中是作为已知量来处理。因此，体系对抗作战方程的应用，必须与其他作战能力评估方法相结合。也就是说，本文提出的基于体系对抗作战方程的体系对抗分析评估方法与其他作战能力评估方法应相互补充，相互协作，共同解决体系对抗作战定量分析研究的问题。

[1]贾子英，闫飞龙，唐岩辉.系统演化的作战体系对抗结构模型[J].火力与指挥控制，2013，38（9）：91-94. JIA ZIYING，YAN FEILONG，TANG YANHUI.Structure model for SoS combat base on system evolution[J]. Fire Control&Command Control，2013，38（9）：91-94.（in Chinese）

[2]钟常绿，贾子英，王印来.基于复杂系统的作战体系对抗研究[J].火力与指挥控制，2014，39（3）：112-115. ZHONG CHANGLV，JIA ZIYING，WANG YINLAI.Research on system-of-systems combat of operation system based on complex system[J].Fire Control&Command Control，2014，39（3）：112-115.（in Chinese）

[3]朱刚，谭贤四，王红.体系对抗中信息与人和武器关系的SD模型[J].装备学院学报，2014，25（4）：133-137 ZHU GANG，TAN XIANSI，WANG HONG.SD model of information，human and weapons relationship in the system of systems combat[J].Journal of Equipment Academy，2014，25（4）：133-137.（in Chinese）

[4]张申，徐豪华，王精业.装备体系对抗仿真本体元建模方法研究[J].系统仿真学报，2016，28（6）：1359-1364. ZHANG SHEN，XU HAOHUA，WANG JINGYE.Research on ontology-meta modeling method for equipments SOS（System of System）combat simulation[J]. Journal of System Simulation，2016，28（6）：1359-1364.（in Chinese）

[5]吴忠杰，张耀中，杜支强，等.复杂网络理论下军事体系对抗的研究进展[J].复杂系统与复杂性科学，2014，11（2）：52-61. WU ZHONGJIE，ZHANG YAOZHONG DU ZHIQIANG，et al.The research progress of cnt-based military forces system of systems[J].Complex Systems and Coplexity Science，2014，11（2）：52-61.（in Chinese）

[6]沙基昌，毛赤龙，陈超.战争设计工程[M].北京：科学出版社，2009：1-11. SHA JICHANG，MAO CHILONG，CHEN CHAO.War design engineering[M].Beijing：Science Publishing Company，2009：1-11.（in Chinese）

[7]张明智，马力，季明.网络化体系对抗OODA指挥循环时测建模及实验[J].指挥与控制学报，2015，1（1）：50-55. ZHANG MINGZHI，MA LI，JI MING.Networked system-of-systems combat OODA command circulation timemeasuring modeling and experiment[J].Journal of Command and Control，2015，1（1）：50-55.（in Chinese）

[8]姜晓平，朱奕，伞冶.基于复杂系统的信息化作战仿真研究进展[J].计算机仿真，2014，31（2）：8-13. JIANG XIAOPING，ZHU YI，SAN YE.Survey of information-based combat simulation using complex systems theory[J].Uter Simulation，2014，31（2）：8-13.（in Chinese）

[9]丛红日，吴福初，陈邓安.基于兰彻斯特方程的防御作战效能分析[J].海军航空工程学院学报，2015，30（2）：187-190. CONG HONGRI，WU FUCHU，CHEN DENGAN.Efficiency evaluation of defense based on lanchester equation [J].Journal of Naval Aeronautical and Astronautical University，2015，30（2）：187-190.（in Chinese）

[10]谢英超，程燕，李国锋.基于时滞兰彻斯特战斗模型的现代攻防对抗[J].指挥控制与仿真，2014，36（6）：32-35. XIE YINGCHAO，CHENG YAN，LI GUOFENG.Modern attack-defense confrontation based on time-delay lanchester combat model[J].Command Control＆Simulation，2014，36（6）：32-35.（in Chinese）

[11]沙基昌.数理战术学[M].北京：科学出版社，2003：6-64. SHA JICHANG.Math tactics[M].Beijing：Science Publishing Company，2003：6-64.（in Chinese）

[12]刘道伟，任德欣，梁洁.基于兰切斯特方程的网络中心战模型[J].指挥控制与仿真，2014，36（6）：27-31. LIU DAOWEI，REN DEXIN，LIANG JIE.Model of network centric warfare based on lanchester equation[J]. Command Control&Simulation，2014，36（6）：27-31.（in Chinese）

[13]谢英超，程燕，贺天宇.一类广义兰彻斯特战斗模型的分析[J].火力与指挥控制，2015，40（9）：59-61. XIE YINGCHAO，CHENG YAN，HE TIANYU.Analysis of a class of generalized lanchester combat model[J].Fire Control＆Command Control，2015，40（9）：59-61.（in Chinese）

[14]孙巨为，王志新，王小强.战斗力形态演化的分形模型[J].复杂系统与复杂性科学，2015，12（1）：62-69. SUN JUWEI，WANG ZHIXIN，WANG XIAOQIANG. Combat capability fractal model of morphological evolution[J].Complex Systems and Complexity Science，2015，12（1）：62-69.（in Chinese）

[15]乔林峰，胡浩然，王俊.兰彻斯特方程的参数取值与计算[J].舰船电子工程，2011（8）：49-51. QIAO LINFENG，HU HAORAN，WANG JUN.Parameter values and calculation of lanchester equations[J].Ship Electronic Engineering，2011（8）：49-51.（in Chinese）

[16]张宪，张国春.兰彻斯特方程损耗系数估算方法研究[J].系统仿真学报，2011，23（8）：1583-1586. ZHANG XIAN，ZHANG GUOCHUN.Research on lanchester attrition-rates coefficient estimation[J].Journal of System Simulation，2011，23（8）：1583-1586.（in Chinese）

[17]邵晨曦，孙克律，邵振中.基于云定性仿真的兰彻斯特作战模型[J].计算机系统应用，2014，23（1）：103-108. SHAO CHENXI，SUN KELV，SHAO ZHENZHONG. Lanchester’s combat models based on cloud qualitative simulation[J].Computer Systems＆Applications，2014，23（1）：103-108.（in Chinese）

SoS Combat Process Analysis and Evaluation Method Based on Lanchester Equation

CONG Hongri1,CHU Zheng1,DING Guangqiang2
（1.Department of Command,NAAU,Yantai Shandong 264001,China; 2.Military Representatives Bureau of NED in Shanghai,Shanghai 200129,China）

Based on classical Lanchester equation,by re-explaining and deducing Lanchester equation,and analysing the inbeing of SoS Combat,the SoS Combat equation was set up.It could offer the basic tool and method for quantificationally analyzing the SoS Combat course.On this base,the applying domain and method of SoS Combat equation were analyzed, and the detailed calculating method is offered.In the end,the rationality of the SoS Combat equation and its calculating method was validated by a practical calculation example.

Lanchester equation;SoS combat;evaluation method;operating model;SoS combat equation

E843

A

1673-1522（2016）06-0666-05

10.7682/j.issn.1673-1522.2016.06.012

2016-09-28；

2016-10-13

丛红日（1966-），男，副教授，博士。