寻找突破口，挑战数学中的综合性试题

李姣中

综合性试题是一道多知识点、探究型试题，它对学生的要求极高，考查学生的综合应用能力、正确理解问题的能力、整体分析问题和解决问题的能力及对数学知识、数学方法得心应手的驾驭能力和较强的创新意识和创新能力。另外，还必须具有强大的心理素质。

一、以动态问题为例，客观理性分析，寻找变与不变量

初中数学动态问题包括动点问题、动线问题、动面问题，体现了轴对称、平移、旋转、翻折等图形变换，动态问题审题过程中要求学生用运动和变化的眼光观察和研究问题，把握运动变化的全过程，寻求运动变化中的不变量，立足于不变关系及特殊关系，动中求静，以静制动，窥视变量与不变量间的关联，找出解决问题的突破口。为寻找问题的切入点和突破口，学生在审题时应注重量与量间存在的联系，从而挖掘出解题思路和方法，构建数学模型。

二、综合性试题中蕴含的常见数学思想方法

1.分类讨论思想。

分类讨论思想是将问题可能出现的情况按一定原则，一一进行研究讨论，汇总结果，得出正确答案的重要思想方法，能确保解题的完整性，以免掉进题目设计的陷阱中。如直角三角形的存在性问题，要考虑三个顶点都有可能是直角顶点，大方向可分为三类：（1）∠A为直角，（2）∠B为直角，（3）∠C为直角；两个三角形相似时，要注意点间的对应关系，相等角所对的顶点是对应点。

2.数形结合思想。

数形结合思想是指把问题中的数量关系与形象直观的几何图形有机结合起来，并充分利用这种结合寻找解题的思路，使问题得到解决的思想方法。在分析问题过程中，把图形性质问题转化为数量关系问题，或者把数量关系问题转化为图形性质问题，通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。

3.化归与转化思想。

化归与转化思想是化未知为已知，把复杂的问题简单化，把生疏的问题熟悉化，把非常规问题化为常规问题，把实际问题数学化，实现不同数学问题间的相互转化。

4.方程与函数思想。

结合函数图像和性质，加以分析，把函数问题转化为方程问题。如求直角坐标系中，抛物线和直线的交点坐标时，可联立两个函数解析式，转化为二元一次方程组的求解问题，方程组的解即为两函数图像的交点坐标；确定函数解析式需要用待定系数法转化为方程或方程组求解。

三、教学反思和建议

针对综合性试题的解决，笔者提出几点观点和建议：

1.注重自信心培养，克服恐惧感。

考试中，绝大多数学生做综合性试题时，不认真审题，易放弃，导致学生未批先失分。原因为学生在较短时间里难以理清各种关系，在问题转化上，在解题策略选择上难以一下子找到合理途径，从而内心存在对此类题的恐惧感，担心浪费时间。因此，平常训练中注意常规题和高频考题训练和加强，由易到难、由浅到深地进行训练，给予数学思想方法的引导和充分的肯定，使学生形成做题的模型和思路，加强做正确的决心，培养学生的成就感和自信心。

2.注重审题分析过程，尝试大胆猜想。

正确审题是做好试题的关键，分析问题是做好试题的思路导向。认真审题、理解题意、探究解题思路，才能正确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题要善于总结题目中隐含的数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程思想等。认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，确定解题思路和方法。当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，由此大胆猜测结论，用所学知识进行分析归纳，进而严密地推理论证。

3.重基础和计算能力，不要盲目追新求难。

盲目追新求难，忽视基础，其结果必然是得不偿失的。事实证明：相当一部分学生在压轴题上的失分，并不是没有解题思路，而是错在非常基本的概念上或输在简单的计算上，因此复习过程中，要重基础知识间的串联和计算能力培养，对特定题讲解并要求学生打上重点符号，造成学生思维上的刺激，强化记忆。把工夫和时间花在夯实基础、总结归纳、打通思路、总结规律、提高分析能力上。

4.注重知识间的衔接，适当补充高中知识。

5.注重一题多解的灌输，让学生对知识和方法融会贯通。

综合性试题不宜过多盲目训练，不仅不会促进学生思维能力发展、技能形成，反而易使学生疲劳，兴趣降低。对于同一道题，从不同角度分析研究，可能会得到不同启示，引导学生进行一题多解训练，通过广泛联想，学生思维触角伸向不同方向、不同层次，不仅能巩固所学知识，而且能较好地培养学生思维的广阔性和灵活性。

6.注意书写的规范性。

书写规范不仅字要写得美观，还要注意书写步骤规范，明确写完这一步后下一步怎么写，严防重结果轻过程。对于常规题的书写过程要求学生先写，对于复杂的过程则要求学生和我一起写，然后学生再自己书写一遍，随机抽查。

总之，综合性题覆盖知识面广、综合性强，平时训练中要重视基础知识间的联系、基本技能训练和数学思想方法培养，充分发挥学生自主能动性，让学生以自信乐观的心态面对数学问题。