金融证券市场中最优投资组合与模型选择问题探讨

邵文俊+赵帅+李健+刘云凤+李京微+野金花

摘 要：金融市场不断发展，市场经济不断完善，数量方法在金融投资中得以充分的运用。从风险度量方式以及模型选择两方面，介绍基于MV模型等的几种最优组合，并在模型选择问题上对模型的相容性风险做出阐述。旨在解决投资者选取和评价模型的困难，为投资者的投资决策提供参考方案。

关键词：最优组合；风险度量；模型选择；鞅方法

中图分类号：F830.91 文献标志码：A 文章编号：1673-291X（2016）30-0072-03

前言

投资组合理论是证券投资学中最重要、最复杂和最有应用价值的部分。它研究并且回答在面临各种相互关联、确定的特别是不确定结果的条件下，理性投资者应该怎样做出最佳投资选择，把一定数量的资金按合适的比例，分散投放在多种不同资产上，以实现投资者效用极大化的目标。随着概率论和随机过程等近代数学理论的发展和应用，利用随机分析投资与消费问题已成为金融学中定量研究的热门领域之一。投资组合理论[1]的产生使得数理金融学作为金融学的一个独立的分支迅速发展起来。但围绕投资组合理论，过去的一系列研究存在许多不足，如：均值—方差投资组合理论单纯地考虑一个确定的投资时域，并且考虑的市场环境比较简单；投资消费理论考虑的是一类单一的消费品，投资对象仅限于无风险证券和风险证券。而目前市场上消费品与投资对象日益丰富，原来的投资理论的一些结论不能满足实际的需求。

因此，如何建立更为完善的投资组合模型，一些算法不能够很简便地使计算机进行计算和模拟，且导致结果不够准确，寻找简便且准确的算法，需要不断地去研究。本项目基于模型选择，根据投资组合理论与投资消费理论，在均值—方差模型的框架下，首先研究确定时域的M-V最优投资组合选择，然后研究随机时域的M-V最优投资组合选择[2]次拓展研究特殊消费的最优投资消费决策及含期权的最优投资消费模型，最后应用于分析实际数据并寻求最优的证券组合。

一、主要模型

（一）单阶段M-V投资组合模型

在金融市场，风险投资有两个决策目标，一个是收益率高低，另一个是风险大小，二者相互矛盾和制约。在理论上，最大风险最小的投资方案是不存在的，只能在收益和风险之间做出理性的权衡然后构造最优组合模型，确定最优投资比例，如理性投资者希望在风险最小的前提下实现较为满意的收益水平。此时建立马科维茨（Markowitz）模型，根据马科维茨（Markowitz）的假设，多数投资者均为风险厌恶者，在风险投资决策中，首先考虑最小风险这一目标，其次考虑收益水平。由此，以组合投资的方差最小为决策目标，构造最小风险组合投资模型[3]。

minσ2（r）=WT∑Ws.t.ETW=1

这是一个二次规划间题，构造Lagrange函数L（W）=WT∑W+λ（ETW-1），令=0，=0，有：

2∑W+λE=0ETW-1=0

经过简单运算，解得λ=，最优投资比例系数向量为W=，组合投资风险值为：

σ2（r）=

可以证明，最小风险组合投资的风险值满足条件σ2（r）≤σn，i=1，2，…，m。这表明，组合投资风险小于单项投资风险，通过适当的组合，达到了投资风险之间的相互吸收。并且，组合投资的收益率满足条件μ（rt）≤μ（r）≤μ（rt），最小风险组合投资模型在最小风险条件下实现了比较满意的收益水平。

（二）多阶段M-V投资组合模型

多阶段模型是单阶段模型的推广，也可以说是由每个阶段的投资组合构成的投资组合组。设第n个资产在此阶段的随即收益率为ω，即是投资者在此阶段的第一个资产到第n个资产的投资比例，也即是投资者在此阶段投资结束时的财富量，则多阶段的模型如下：

minVar（Wt）

s.t.E（WT）>μtWT=Wt-1[∑n i=1xitrit+（1-∑n i=1xit）r0t] t=1，2，…，T

其中，μ为给定的期终期望收益。

（三）鞅表示定理

一个平方可积鞅随机微分方程为：

dX（t）=B（t，X（t））dt+σ（t，X（t））dV X（0）=τ

其中，V为标准Brown运动。

二、最优投资组合理论

（一）最优投资组合的含义

最优投资组合，是指某投资者在可以得到的各种可能的投资组合中，唯一可获得最大效用期望值的投资组合，有效集的上凸性和无差异曲线的下凸性决定了最优投资组合的唯一性。

（二）确定时域的M-V最优投资组合选择

股票价格服从跳跃扩散过程的均值—方差模型，股票价格在一个时域内很有可能会发生许多突发状况，因此在很多情况下人们用跳跃扩散过程来描述。因此，建立一个关于扩散过程的最优模型：

dpi=pi（t）[bi（t）dt+∑i j=1ωij（t）dwj（t）+∑m k=1 pi（0）=pi

在实际生活中，对于消费者来说，一般情况下他们的固定消费基本上是不变的，这与他们的收入有很大的关系。由此确定的函数关系数我们称之为固定消费模式，假定市场是一个随时间连续变化的体系，一般用1个完备的概率滤波空间（Ω，？祝，{？祝t} t≥0，P）来描述，在这个空间上有1个n-1维的Brown运动w（t）=（W1（t），W2（t）…Wn（t））T，{？祝t} t≥0是W（t）的自然滤波，设市场上可提供的资产为n+1个，其中1个为无风险资产，价格P0（t）满足方程P0（t）=P0（t）r（t）dt，r（t）为无风险利率，其余n个为风险资产，第i个资产的价格Pi（t）满足下面的随机微分方程：

dPi（t）=Pi（t）[bi（t）dt+σij（t）dWj（t）]，i=1，2，…n

假定投资者进入市场后在有限时域[0，T]内连续进行交易，那么由It？觝公式，他的财富过程x（t）满足：

dx（t）=r（t）x（t）+（bi（t）-r（t））？仔i（t）dt+？滓ij（t）？仔i（t）dWj（t）x（0）=x

其中，？仔it表示在t时刻在资产i上的投资量。令？仔（t）=（？仔1（t），？仔2（t），…，？仔n（t））T，称？仔（·）为一个投资组合。所有允许投资组合的集合记为？撰（x）。投资者的目的是在集？撰（x）中选择最优投资组合使得最终财富的期望最大与差最小之间实现合理的权衡，一般连续时间M-V模型可建立为：

min（-Ex（T），Varx（T））， s.t？仔（·）∈？撰（x）

假定投资者在时间段[0，t]内的总消费量为C（t），记

c（t）=为消费率，1个无风险证券和n个风险证券，投资者的财富过程需要满足如下方程：

dx（t）=[x（t）r（t）+？仔（t）T（b（t）-r（t）1n）-c（t）dt+？仔tT？滓（t）dW（t）]x（0）=x>0

有效前沿解析式：

股票价格服从市场系数过程的均值—方差模型，对于市场系数需要考虑到很多问题，很多方法与实际都不太相符，因为市场系数是随机变化的，导致很多为题的求解困难，尤其是把它推广到随机的情形，因此本文采用鞅方法来解决这个问题。设投资者在时的财富为，那么满足微分方程：

d[β（t）x（t）]=β（t）π（t）（b（t）-r（t））dt+β（t）π（t）σ（t）dt β（0）x（0）=x

（三）随机时域的M-V最优投资组合选择

关于离散时间市场状态下随机时域的均值—方差模型，设投资者从0时刻进入市场进行投资，其初始财富为，计划进行个阶段的投资，市场上有中证券，其中1中无风险证券，中风险证券。投资者在随机时域[0，T]内，使最终利益的期望最大，风险最小，根据这个建立如下模型：

maxuE（γυτ-wυ2T）s.t.vt=υt-1（r0t+R0tπt） υ0=1

其中，w>0。

关于连续时间市场状态下随机时域的均值—方差模型，在一个确定函数下，最优投资策略模型为：

minπE[wx（T）2-τx（T）] s.t.π∈x

关于跳跃扩散市场状态下随机时域的均值—方差模型，一个无风险证券的价格满足方程，第i个风险证券的价格满足下面随机微分方程：

结语

本文是在确定时域下分别建立了股票价格服从跳跃扩散过程、固定消费和市场系数为随机过程这三种情况下的均值—方差模型，得到这三种情况下的投资策略库和有效前沿方程式；在随机时域下建立了离散时间、连续时间与跳跃时间三种市场状态下的均值—方差模型，得到其解析表达式。从这几个模型中我们可以看出，其在投资组合理论与投资消费理论下的最优解析式。

另外，文中给出了模型评价的方式为投资者提供了选择，即如果在相似度比较高的模型中进行投资活动时，投资者可以采取偏好系数加权法，更多地考虑自己的风险偏好，但相似程度低的模型则考虑最小风险模型来最小化损失，投资者可以根据风险偏好的不同，在投资模型选择时参考本文中的几种方法。同时，我们可以根据文中提到的模型的基本性质来对这些模型做一个一般性的检验，也即验证他们是否满足这些人们普遍赞同的性质。结合模型所满足性质的意义来考虑组合模型的实用性，以及对于自己的投资做出合理的决策。

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[责任编辑 陈丹丹]