具有相同度序列的非同构网络同步能力的比较研究

赵军产，谢小良

(湖南商学院数学与统计学院，中国 长沙 410205)



具有相同度序列的非同构网络同步能力的比较研究

赵军产*，谢小良

(湖南商学院数学与统计学院，中国 长沙 410205)

复杂网络的同步近些年得到了人们的广泛关注.网络结构对网络上节点的同步起着关键的作用.由于复杂网络含有大量的节点，因此，人们常用节点度序列的不同来研究不同网络的同步.然而，同一个度序列可能对应不同结构的网络，它们之间同步的差异未能引起人们的广泛关注.针对这一问题，本文选取了一个度序列，研究三种非同构网络的同步情况，结果表明具有网络中度大的节点位于中心时易于同步.此外，对于相互耦合的Hindmarsh-Rose系统随着耦合强度的增加，它们之间产生了爆炸性同步.

复杂网络；同步；度序列；非同构图

同步是一种很有趣的自然现象，自从惠更斯1673年发现耦合单摆的同步现象以来，同步便得到人们的广泛关注.夜晚萤火虫之间的同步给人们带来赏心悦目的感受，然而，伦敦千禧桥摆动的同步迫使该桥建成只通行三天就被政府下令停止开放了.

近十多年来，复杂网络的同步也得到人们的广泛关注[1-7]，特别是自从发现了复杂网络的小世界性[1]和无标度性[2]，复杂网络同步的研究更上了一个新的台阶.研究表明网络结构对复杂网络的同步起着关键的作用，就规则网络而言，人们发现，链状结构的网络最难同步，环状结构的次之，而星状结构的网络最容易同步[8].复杂网络拥有大量的节点，其网络的结构的研究非常困难，人们只能从网络节点度序列的不同研究网络结构，然而，度序列相同可能对应着多种不同构的网络.因涉及到图论中一个重要的同构图概念，至今没有得到完全的解决.

选取一种典型的度序列，它对应着3种不同构的图.每个节点动力学是Hindmarsh-Rose(HR)系统，描述了神经元跨轴突的信号传输，它是系统生物学中的非常著名的系统[9-11].近年来，复杂网络上相互耦合的HR系统动力学行为得到了研究人员的广泛关注[12-14].我们研究了HR系统在网络度序列相同的情况下，3种不同构的网络结构对相互耦合的HR系统同步的影响，研究发现具有度大的节点位于中心位置的网络更容易同步，同时，对这3种结构的网络，观察到随着耦合强度的微小改变，相互耦合的系统由无序的状态突然变成同步状态，即发生了爆炸性同步的现象[15].

1 HR 模型和网络结构模型

1.1 系统模型：

1952年，两个著名的生物学家提出了一个数学模型来描述神经元的活动[9].

最近十多年间，这个数学模型得到了优化和改进[10-12]，考虑下列的HR系统：

(1)

式中x代表膜电位，y和z分别代表慢变状态和快变状态，如图1所示.

图1 HR 系统3个变量的状态图.系统中参数取值为：a=2.8,α=1.6,ρ=0.001,b=9,c=5Fig.1 Three state variables of HR system, the parameters in the system are: a=2.8,α=1.6,ρ=0.001,b=9,c=5

1.2 网络模型

选择度数列为(1,1,1,1,1,2,3,4)它对应着3棵非同构的树，这个图大多数度比较低，有少数大度节点，与无标度网络的性质较为相似.由于图的同构非常难以判断，仅能对少数节点进行判断，因此，选择这个度序列为研究对象，其对应的3种结构如图2所示，最右侧的最大的节点在中心位置.

图2 相同度序列3种不同构的网络图Fig.2 Three nonisomorphic graphs with the same degree sequence

对应的邻接矩阵分别为：

网络的拉普拉斯矩阵L定义为:L=D-A，其中D对角矩阵，对角元素为节点的度.

2 模型和方法

考虑每个节点为HR系统，节点之间通过3个变量的线性耦合进行连接，该复杂动力网络模型为：

(2)

其中A是网络的连接矩阵.记每个系统为Xi=(xi,yi,zi).

定义1 复杂动力网络是同步的，如果对任意的i,j,都有

定义2 为了度量节点间同步的比例，引入如下序参量：

3 数值结果

复杂网络模型(2)是一个线性耦合的模型，每个变量都得到了耦合，根据主稳定函数方法和文献[4]的结果，随着耦合强度的增大，网络上的节点能够到达同步状态.

由于HR系统对初值具有敏感性，为了减弱这种影响，在[-4,4]区间内，分别随机选择初值在这3个非同构的网络上进行模拟.结果表明：随着耦合强度的增加，3个网络上的节点都能到达同步，并且都发生了爆炸性同步的现象，就是说同步过程不是一个连续变化的现象，随着耦合强度的增加，由相互耦合的系统由不同步状态突然到达同步状态，如图3所示.

对于第一种结构的网络，当λ=0.05时，系统达到了同步，然而这个同步状态是不稳定的，直至λ=0.07网络才处于稳定的同步状态.当λ=0.1时，第二种结构的网络才达到了同步状态，而对于第一种结构的网络，λ=0.06时，网络就到达了同步.

为了消除初值的影响，随机选取了十组不同的初值对3种网络就行数值仿真，结果显示第三种结构网络容易同步，第二种结构的网络最难同步，第一种结构的网络介于前面两者之间.

图3 相同初值下，随着耦合强度增加，网络节点同步的比例.(a,b,c)依次对应3种结构的网络.Fig.3 The synchronization proportion of complex networks with the increase of coupling strength, under the same initial value, figure (a,b,c) respectively corresponding to three kind of network structure

图4 随着耦合强度增加，网络节点同步的比例，十组初值平均的结果(三角形连线、星形连线、点线依次对应3种结构的网络).Fig.4 The average results of node synchronization proportion under ten initial values with the increase of the coupling strength(Triangular connection, star connection, point line corresponding to the three structures of the network).

进一步比较这3个网络，发现第三个结构的网络度大的节点处于网络的中心位置，与其他节点的距离比较均衡，更容易信息传输，因此较容易达到同步.而第二个结构的网络，度大的节点处于两端位置，距离度小的节点距离不均衡，这给同步带来了困难.

由主稳定函数分析得到，同步区域可以分为有界的情形和无界的情形.

如果同步区域有界，网络负的拉普拉斯矩阵的第二大特征值与最小特征值之比可以用来衡量网络同步能力，比值越接近于1越容易同步.通过计算得到3种网络特征值比如下：[18.289, 21.493, 16.705]，因此，第三种网络比较容易同步.

如果同步区域无界，可以用网络负的拉普拉斯矩阵的第二大特征值来衡量同步能力，越小越容易同步.通过计算得3种网络的第二大特征值如下：[-0.288 8,-0.238 44, -0.318 67]，因此，第三种网络容易同步.

通过上面的分析，得到它们同步顺序与数值结果相一致，也说明了节点在中心的网络更容易同步.

4 总结

针对相同度序列的3种不同网络，利用HR系统，研究了它们同步能力的问题，结果表明度大的节点处于中心位置的情况下更易同步，同时发现，对于HR系统，随着耦合强度的增加，相互耦合的系统会产生爆炸式同步的现象.

[1] WATTS D J, STROGATZ S H. Collective dynamics of “small-world” networks[J]. Nature, 1998,393(6684):440-442.

[2] BARABASI A L, ALBERT R. Emergence of scaling in random networks[J]. Science, 1999,286(5439):509-512.

[3] PECORA L M, CARROLL T L. Master stability function for synchronized coupled systems[J]. Phys Rev Lett, 1998,80(10):2109-2112.

[4] LI X, CHEN G. Synchronization and desynchronization of complex dynamical networks: an engineering viewpoint[J]. IEEE Trans Circ Syst-I, 2003,50(1):1381-1390.

[5] LU J, CAO J D. Synchronization-based approach for parameters identification in delayed chaotic neural networks[J]. Phys A, 2007, 382(2):672-682.

[6] CHEN L, LU J, TSE C K. Synchronization: an obstacle to identification of network topology[J]. IEEE Trans Circ Syst-II, 2009,56(4):310-314.

[7] ZHAO J C, LI Q, LU J A,etal. Topology identification of complex dynamical networks[J]. Chaos, 2010,20:023119.

[8] 韩秀萍, 陆君安. 从环状网络到链状网络同步能力的变化[J]. 中国科学, 2007,37(6)：748-756.

[9] HODGKIN A L, HUXLEY A F. A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve[J]. Bull Math Biol,1990,52(1-2):25-71.

[10] HINDMARSH J L, ROSE R M. A model of the nerve impulse using two first-order differential equations[J]. Nature, 1982,296(1):162-164.

[11] HINDMARSH J L, ROSE R M. A model of neuronal bursting using three coupled first order differential equations[J]. Proc Roy Soc London, 1984,221(1222):87-102.

[12] COROSON N, AZIZ-ALAOUI M A. Asymptotic dynamics for slow-fast Hindmarsh-Rose neuronal system, dynamics of continuous[J]. Disc Impul Syst Ser, 2009,16(4):535-549.

[13] WANG Z, SHI X. Lag synchronization of multiple identical Hindmarsh-Rose neuron models coupled in a ring structure[J]. Nonlinear Dyn, 2010,60(3):375-383.

[14] EHRICH S, PIKOVSKY A, ROSENBLUM M. From complete to modulated synchrony in networks of identical Hindmarsh-Rose neurons[J]. Eur Phys J Spec Top, 2013,222(10):2407-2416.

[15] ZHAO J C. Explosive synchronization of complex networks with different chaotic oscillators[J]. Chin Phys B, 2013,22(6):060506.

(编辑 CXM)

Research of Synchronizationability of a Non-Isomorphic Network with the Same Degree Sequence

ZHAOJun-chan*,XIEXiao-liang

(School of Mathematics and Statistics, Hunan University of Commerce, Changsha 410205, China)

The synchronization of complex networks has received extensive attention in recent years. The network structure plays a key role in the synchronization of complex networks. A complex network contains a large number of nodes. Therefore, the degree sequence is often used to study different networks. However, the same sequence may correspond to the different network structure, and the differences between them do not cause people’s attention. To solve this problem, this paper selects a degree sequence to study the synchronization of three non isomorphic networks, and the results show that the network is easy to synchronize when the large nodes locate in the center. In addition, with the increase of the coupling strength, the explosive synchronization of the coupling Hindmarsh-Rose systems has been produced.

complex network; synchronization; degree sequence; non-isomorphic graph

10.7612/j.issn.1000-2537.2016.06.012

2016-10-23

国家自然科学基金资助项目(61203159,61573011)；湖南省教育厅优秀青年项目(16B141)

O175

A

1000-2537(2016)06-0068-05

*通讯作者,E-mail：junchanzhao@163.com