关于弹性势能相关问题的探讨

尹健

摘 要：本文将对弹性势能的表达式进行推导，以及对在不同零点位置的势能问题做出解释，并展开一系列有关弹性势能的分析讨论。

关键词：弹性势能；势能表达式；零点问题；势能相对性

一、弹性势能表达式的推导

（一）坐标原点为势能零点且可在任意位置

如图1所示，选取势能零点为A点，则可以求出B点的弹性势能为Epx=1/2K（X-X0）2；O点的弹性势能为Epo=KX02/2；由B点和O点的弹性势能表达式可以得出O、B两点的势能差为ΔEp=K（X-X0）2/2-KX02/2=KX2/2-KXX0。若又以O点为势能零点，根据弹性势能具有的相对性可以得到：Ep=KX2/2-KXX0；该式可作为弹性势能的一般表达式，即表示O为势能零点时，任意一点X的弹性势能。其中当X0=0时，Ep=KX2/2。

如图2所示，为该情形下的势能曲线图。势能曲线所反映的内容有：当X=0或X=2X时，存在两个势能零点，当00或X<2X时，Ep>0。

（二）坐标原点在自然端点，势能零点为任意点

如图3所示，我们将弹簧振子的自然端定为坐标原点，零势能点为A点，要求X点的弹性势能。当O点为零势能点时，可以求得X点处的弹性势能为Epx=KX2/2；A点的弹性势能同样可求得为Epa=KX02/2；于是可得，A、X两点之间的势能差为ΔEp=KX2/2-KX02/2；当X0点为零势能点时，由于势能具有相对性，则可以求得任意点X处的弹性势能为：Ep=KX2/2-KX02/2；在该式中，当XO=0时，Epa=KX2/2。

如图4所示，为该种情况下的势能曲线图。该势能曲线图反映的内容有：当X=-X0或X=X0时，Ep=0；当-X0X0时，Ep>0。

综上所述：当自然端作为势能零点坐标原点时的弹性势能的表达式为：Ep=KX2/2；当坐标原点为势能零点，但不为自然端时的弹性势能的表达式为：Ep=KX2/2-KXX0；当自然端为坐标原点，但势能零点为任意点时的弹性势能的表达式为：Ep=KX2/2-KX02/2；当零势能点和坐标原点其中一个不在自然端时，存在双势能零点，其值可正可负。

二、双势能零点问题的解释

由上文对弹性势能表达式的推导过程及结果可以得出结论：在弹性势能的计算过程中，零势能点的选择决定了弹性势能的表达式。我们以弹簧为例，首先，选择弹簧自由长度即不伸长也不缩短的位置作为弹性势能的零值点，通过推导计算可得这时的弹性势能表达式为：Ep0=KX2/2；其次，再选择弹簧伸长量为x的A点处为弹性势能零值点，其中x为一常量，通过推导计算同样可得弹性势能表达式为：EpA=KX2/2-KX02/2；比较以上得出的两个表达式可知，弹性势能零值在弹簧原长处时与弹性势能零值在伸长量x处时相差KX02/2。因此，弹性势能零值不在弹簧原长时的表达式并不能直接等于Ep=（X-X0）2/2。

在零势能点的选取问题中，通常认为弹性势能具有相对性。弹性势能为标量，由于相对性的存在，也存在势能的正负之分，其含义为：弹性势能为正时系统在该状态的弹性势能大于零势能点的势能；与之相反，弹性势能为负时系统在该状态的弹性势能小于零势能点的势能。由于系统的弹性势能产生与否由弹力的作用决定，在通常情况下，我们选择弹力作用的临界点即无形变状态为零势能点，因此，无论是伸长还是压缩，弹力总是做负功，系统的弹性势能也总是为正，在后期解题过程中是需要注意的。

参考文献：

[1]李力舟.对弹性势能问题的一些讨论[J].青海师专学报：教育科学版，2004（5）.

[2]徐建兵.实验探究弹性势能的表达式[J].物理教师，2010（2）.