运用概率帮你做估计和计算收费

运用概率帮你做估计和计算收费

韩宝华

现实生活中，很多时候无法用普查来统计数据.这时，我们常常请概率这个好朋友来帮我们做估计，帮助我们进行决策.

例1在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同.小新从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色……如此大量摸球实验后，小新发现其中摸出红球的频率稳定于20%，摸出黑球的频率稳定于50%.对此实验，他总结出下列结论：①若进行大量摸球实验，摸出白球的频率应稳定于30%；②若从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大；③若再摸球100次，必有20次摸出的球是红球.其中说法正确的是（）.

A.①②③ B.①② C.①③ D.②③

【解析】当实验次数很大时，事件发生的频率稳定于一个值，这时我们用频率作为概率的估计值.

摸出红球的频率稳定于20%，则摸出红球的概率是20%，同样摸出黑球的概率是50%.因为每次要摸出一个球，这个球的颜色一定是红球、黑球或白球中的一个，所以分别摸出红球、白球、黑球的概率和为100%，则摸出白球的概率为100%-20%-50%=30%.所以①②正确.只有当实验次数足够大时，方可用频率来估计概率，在有限次的实验中，不能用频率进行准确的计算，只能说可能有20次摸出的是红球，而不是一定有20次，故③错误.

例2为估计鱼塘中鱼的数量，先从鱼塘中捕捞30条鱼做上标记，然后放回鱼塘.经过一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，再从中多次捕捞，并计算得平均每200条鱼中带有标记的鱼有5条.试估计该鱼塘中鱼的数量.

【解析】设该鱼塘中有鱼x条，由多次捕捞，并计算得平均每200条鱼中带有标记的鱼有5条.可算得带有标记的鱼的频率为并把它作为捕到带有标记鱼的概率的估计值，则由P（捕到带有标记的鱼）=得x=1200（条）.

例3如果事件A发生的概率是那么下列推断，哪几个是正确的？

（1）做100次这种试验，事件A必发生5次；

（2）大量重复做这种试验，事件A平均每100次发生5次；

（3）做100次这种试验，事件A不可能发生6次.

【解析】因为事件A发生是随机的，所以做100次这种试验，事件A发生的次数不一定是5次，0次到100次都有可能.只有在大量重复地做这种试验的基础上，事件A平均每100次发生5次.所以（1）（3）错误，只有（2）正确.

例4某航空公司的保险合同上有这样一个条款：飞机一旦失事，将向每名乘客赔偿人民币50万元，但保险公司需向每名乘客收取保险费20元.如果该航空公司航班平均每次约有120名乘客，那么在n次飞行中，平均来说，当飞机失事的概率不超过多少时，才能保证保险公司的收入不小于支出？

【解析】设飞机失事的概率为x，在n次飞行中，平均失事nx次，平均赔偿120×50×nx万元，n次飞行中共收取保险费120×20n元，因为要使得收入不小于支出，所以可列不等式120×500000×nx≤120×20n.

小试身手

1.在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子.通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为（）.

A.12B.15C.18D.21

2.生物学家估计某一地区的野鹿总数时，常采用“捉放捉”方法，即先捕捉野鹿n只，分别给它们做上记号，然后放归；一段时间后，重新捕捉一些野鹿作为样本.如果多次捕捉到的野鹿中平均每m只有a只带有记号，试估计该地区野鹿的只数为.（用含m、n、a的代数式表示）

3.假设某航班平均每次约有100名乘客，飞机失事的概率P=0.000 05.一家保险公司要为乘客上保险，承诺飞机一旦失事，将向每名乘客赔偿人民币40万元.平均来说，保险公司应该如何收取保险费呢？

4.某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：每购买100元商品可以获得一次转动转盘的机会；如果转盘停止转动时，指针正好落在红、绿、黄区域，那么顾客可以分别获得80元、30元、10元购物券；如果不愿转转盘，那么可以直接获得10元购物券.设转盘停止转动时，指针正好落在红、绿、黄区域的概率依次为0.1、0.15、0.25.

（1）平均来说，每转动转盘1次所获购物券的金额是多少？

（2）小明在家也做了一个同样的试验，转动转盘10次后共得购物券90元.据此，小明认为，还是直接领取10元购物券合算.你同意他的说法吗？

（作者单位：江苏省淮安朱桥中学）