外加横向激励对固-铰支承管道流固耦合振动的影响

朱卫平,周楚健,狄勤丰

(上海大学上海市应用数学和力学研究所,上海　200072)

外加横向激励对固-铰支承管道流固耦合振动的影响

朱卫平,周楚健,狄勤丰

(上海大学上海市应用数学和力学研究所,上海200072)

首先,由Hamilton原理推导外侧施加横向激励的输液管道流固耦合弯曲振动微分方程,针对固-铰支承管道提出一种新的振型函数,利用Galerkin法求得前五阶固有频率表达式,并且通过对比验证了新振型函数的正确性.其次,在一阶截断情况下求得这类管道的挠度、弯矩和剪力表达式,讨论了流速、液压和外激频率变化对固-铰支承管道中点挠度和最大弯矩的影响.结果表明,由新振型函数确定的前五阶固有频率不仅计算简便而且具有很高的精度,同时验证了输液管道固有频率对液压和流速的依赖性,也证实了对于流固耦合问题,结构发生共振与外激频率接近结构固有频率有关同样适用.

流固耦合；固有频率；受迫振动；Galerkin法；固-铰支承管道

管道普遍存在于水利水电、石油化工、航空航天、海洋工程、城市供气、供水排水等领域,被称为是除公路、铁路、水运和航空以外的第五大运输方式.管道大多存在流固耦合振动问题,例如在日常生活中打开自来水龙头时听到管路隆隆的振动声,给花园浇水时软管的扭抖等都与水管的流固耦合效应有关.随着科学技术的不断进步,现代管道结构朝着长距离、高压、高流速方向发展,对管道的设计要求愈来愈高,控制不好会导致严重的噪声污染和管道破裂等灾难性事故.因此,人们必须比以往更加重视这一问题.

输液管道流固耦合振动问题的基本模型虽然经过简化,但却不能忽略流体和结构之间的相互作用而单独对流体和管道进行讨论.管道在流体载荷的作用下会发生变形和运动,而管道的变形和运动又会反过来影响管道内流场的分布,继而改变流体载荷的大小和分布,如此往复,便形成了流体和管道的耦合振动.自20世纪50年代以来,国内外学者已经对管道流固耦合振动问题进行了大量的研究.最初研究主要集中在典型约束条件下的线性振动问题[1-2],而近二十多年,研究更多关注的是各种非线性振动问题[3-6],以及热效应[7]、含裂纹的管[8]、有分枝的管[9]等.利用有限元软件可以研究更复杂的流动作用[10].以往的研究较少涉及受外加激励作用的管道流固耦合振动问题.

本工作研究固-铰支承输液管道施加横向周期激励的强迫振动问题,从Hamilton原理导出的线性流固耦合弯曲振动微分方程入手,以多项式和三角函数近似描述振型函数,采用Galerkin法,给出固有频率、挠度、弯矩和剪力计算公式,并结合算例进行对比和讨论.

1　基本方程

固-铰支承输液管道模型如图1所示,该模型服从Euler梁假定,流体沿横截面取平均,根据Hamilton原理,有

式中,T为管道和液体的动能,V为管道的弹性势能,δWnc为非保守力做的功.T,V,δWnc的具体表达式如下：

式中,f为梁挠度,E为管材弹性模量,I为管道横截面惯性矩,Ai为管道内液体横截面面积, m为单位长度管道的质量,m0为单位长度液体的质量,P为液体压强,v为液体流速,Fk为作用在x轴坐标为ck的集中力.若记a=(m0v2+PAi)/EI,b=(m+m0)/EI,k=2m0v/EI,则按变分原理化简,由式(1)可得如下形式的微分方程：式中,带系数k的项为哥氏惯性力,是流体相对于管道具有线速度v,而管道横截面又绕自身中性轴转动的结果.式(2)即为带横向外激励的输液管道流固耦合弯曲振动微分方程,对于小转动梁,可略去哥氏惯性力k,以便采用分离变量法求解.

图1　固-铰支承输液管道示意图Fig.1　Schematic diagram of clamped-hinged pipeline

2　近似理论解

2.1自由振动固有频率

根据分离变量法,将f(x,t)=Y(x)T(t)代入式(2),令Fk=0,并略去哥氏惯性力,整理得

对于图1所示的固-铰支承结构,假设

式中,ai为待定常数,Ni为振型函数.可以看出,式(6)满足固-铰支承梁两端全部边界条件：Y(0)=0,Y＇＇(0)=0,Y(l)=0和Y＇＇(l)=0.这类问题的振型函数一般只取式(6)中的三角函数部分,这就导致固定端的剪力恒为0,即Y＇＇＇(0)≡0.若以完整的式(5)作为振型函数,则能克服固定端的剪力恒为0的缺点.若要计算结构的前五阶固有频率,可对Y(x)进行五阶截断,即

将式(7)代入式(5),然后进行积分,考虑到δai的任意性,必有

式中,hij(i,j=1,2,…,5)为已知参数a、管长l和特征参数c的表达式.齐次方程组(8)有非零解的条件是|hij|=0,展开此行列式可得

对任一有物理意义的固-铰支承管道,解一元五次代数方程(9)可以得到5个正实根ci(i= 1,2,…,5).将5个正实根分别代入式(4),则可求得固-铰支承管道的前五阶固有频率

为验证本方法的正确性,考虑v=0,P=0的情况,此时模型退化为普通固-铰支承梁的自由振动问题.由于此种情况下无液压、无流速,梁的弯曲刚度为管道弯曲刚度,梁的质量为管材质量与液体质量之和,则前五阶固有频率的准确值[11]为

取固-铰支承管道(垂直悬挂)长度l=9 m,外径D=89 mm,内径d=76 mm,弹性模量E= 2×1011Pa,泊松比µ=0.3,管材密度为7800 kg/m3,流体密度为1 000 kg/m3,然后分别按式(10)和(11)计算,结果如表1所示.

表1　自由振动情况下普通固-铰支承梁固有频率的对比Table 1　Comparisons of natural frequencies of free vibrating champed-hinged beam

从表1可知,第一阶固有频率下得出的解与准确解几乎重合,其余情况下的最大相对误差约为2%.当流速v为0,50,70 m/s,液压P为0～10 MPa时,固-铰支承梁结构前四阶固有频率的变化如图2所示.可以看出,各阶固有频率均随流速和压力的增大而减小.

图2　不同流速下固有频率随液压的变化Fig.2　Natural frequencies varying with liquid pressure at different flow velocities

流固耦合振动问题最显著的特征就是结构固有频率依赖于流体压力和流速.由于流固耦合问题求解析解的复杂性,在已有报道中较难找到便于工程应用的固-铰支承梁流固耦合固有频率算式,而本工作给出的式(9)和(10)则为实际需要提供了便利.

2.2强迫振动

为简单起见,设激励

式中,F0为激励的幅值,Ω为激励频率.

固-铰支承管道的挠度

式中,

式(14)为式(6)的一阶截断.将式(12)～(14)代入式(2),同时略去哥氏惯性力,并对式(14)变分(δY1(x)=N1(x)δa1),再利用Galerkin法,可得

或

对式(16)进行积分,整理后可得

式中,ω1为一阶固有频率,

其中分子和分母分别代表系统的广义刚度和广义质量；Q1为广义力,

需要注意的是,式(18)表示的ω1是直接取一阶振型截断的结果,其精度比按式(10)取前五阶振型截断得到的ω1略低,但二者的物理意义相同.对式(18)进行积分,可得

当不计流速和液压影响时,a=0,式(20)退化为式(11)中i=1的情况,二者相对误差约为2%.当流速v＞0时,要使式(20)中的ω1为实数,液压必须满足：

当流速v=0时,由式(21)可求得极限压力：

当压力P=0时,由式(21)可求得极限流速：

在任何情况下,液压均不能超过管道破裂强度.关于管道破裂强度有多种经验公式,如美国石油协会(American Petroleum Institute,API)标准要求

式中,σys为管材屈服极限,D为管道外径,t为管道壁厚.如按计算自由振动固有频率(见表1)时所取的管道尺寸,再取σys=550 MPa,则由式(21)可得P≤70 MPa.根据式(22)和(23)可求得液压和流速的极限分别为15.7 MPa和125.2 m/s,由此可以初步估算图2所示情况下流速和液压所容许的变化范围.

方程(17)对应的零初始条件解为

将式(25)代入式(13),并利用式(14)和(19),可求得固-铰支承管道的挠度为

3　算例

以图1所示的结构为例(垂直悬挂放置),设激励Fk=F0sin(Ωt)作用点的x坐标ck= 0.5l,F0满足5F0l3/(768EI)=0.01,即当管道处于静止状态且内部无流体时,F0作用在跨度中点能使其作用点产生0.01 m的挠度,其余参数与计算固-铰支承梁自由振动固有频率(见表1)时相同.

图3　不同液压和流速下固-铰支承管道中点挠度时程曲线Fig.3　Middle point deflections varying with time under different flow rates and pressures in clamped-hinged pipeline

图4为激励频率Ω=7π rad/s,液压P为1.5,3.0,4.5 MPa时,在0～30 s内固-铰支承管道固定端的最大弯矩随流速的变化.由于流速能够改变系统的固有频率,随着流速的增加,固有频率可能会接近或远离激励频率,从而导致共振的发生或平息.由图4可以看出,峰值所在区间为发生共振时的流速区间,这一结果可以解释为何有的自来水龙头当开到某一位置(某一流速)时会听到强烈的振动声.同时应注意,单纯高压并不意味着会产生较大的振幅.图4中, P=4.5 MPa对应的振动弯矩最小,这是因为共振的发生本质上取决于流固耦合共同产生的固有频率与激励频率是否接近.

图4　不同液压下固-铰支承管道最大弯矩随流速的变化(0～30 s)Fig.4　Maximum bending moments varying with flow rate under different pressures in clamped-hinged pipeline(0～30 s)

图5为0～30 s内不同液压和流速下固-铰支承管道固定端发生的最大弯矩随激励频率的变化.P=0MPa和v=0m/s,P=5.0 MPa和v=50 m/s,P=10 MPa,v=70 m/s 3种情况对应的一阶固有频率ω1分别为24.80,17.93和5.65 rad/s.尽管激励幅值不变,但当激励频率与特定工况的一阶固有频率接近时,弯矩将变得非常大(不考虑阻尼时为无穷大).结构设计时应特别注意这种情况.

图5　液压和流速不同时固-铰支承管道最大弯矩随激励频率的变化(0～30 s)Fig.5　Maximum bending moments varying with stimulating frequency under different flow rates and pressures in clamped-hinged pipeline(0～30 s)

4　结束语

本工作从工程实用的角度分析了固-铰支承输液管道弯曲振动的固有频率与液压和流速的关系，以及管道挠度和弯矩在外加激励作用下的响应.由Hamilton原理推导了施加横向集中激励作用的细长管道流固耦合弯曲振动微分方程,针对固-铰支承管道提出一种新的振型函数,结合Galerkin法获得五阶固有频率近似解以及一阶截断的强迫振动解,讨论了固-铰支承输液管道中点挠度、最大弯矩与液压、流速、激励频率的关系.研究结果能够帮助解释日常生活中发生的一些流固耦合现象,能够为有关工程设计提供理论支持,也为进一步深入研究奠定了基础.对于大挠度管道或者管内流速较大的情形,振动微分方程中的科氏惯性力不能忽略,但若考虑科氏惯性力,将会增加理论分析的难度.对于输气管,由于气体密度与所受压力之间有较强的依赖性,需要补充具体(非理想)气体的状态方程方可利用本工作中的方法进行求解.

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Effect of lateral stimuli on vibration of clamped-hinged pipeline with fluid-structure interaction

ZHU Weiping,ZHOU Chujian,DI Qinfeng
(Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics,Shanghai University,Shanghai 200072,China)

The fluid-structure interaction vibration equation of a clamped-hinged pipeline under steady flow,liquid pressure and lateral stimulating force is derived based on the Hamilton principle.A new mode function suitable for the Galerkin method is used to solve the equation.Expressions of the first five orders of natural frequencies of the system are derived and validated.Next,deflection,bending moment,and transverse force exerted on the cross-section of the clamped-hinged pipeline are expressed with the first-order approximation of the mode function.The effects of liquid pressure,flow velocity,and stimulating frequency on the middle-point deflection,maximal bending moment throughout the clamped-hinged pipeline are discussed.The results show that the natural frequencies of the clamped-hinged pipeline are easy to calculate and with high accuracy using the method. Their values depend on the liquid pressure and flow velocity in the pipe.The phenomenon that resonance occurs when the natural frequency is close to the stimulating frequency also exists in fluid-structure interaction.

fluid-structure interaction；natural frequency；forced vibration；Galerkin method；clamped-hinged pipeline

O 322

A

1007-2861(2016)05-0597-09

10.3969/j.issn.1007-2861.2014.05.023

2015-03-05

国家自然科学基金资助项目(U1663205,51174130)；上海市重点学科建设资助项目(S30106)；上海市科委部分地方院校能力建设计划重点资助项目(12160500200)

朱卫平(1962—),男,研究员,博士生导师,博士,研究方向为生物力学、振动力学. E-mail:wpzhu@shu.edu.cn