在施温格表象下讨论约瑟夫森效应*

钟握军，罗 颖，赖 伟

(赣南师范大学 物理与电子信息学院，江西 赣州 341000)



·光子学与光子技术·

在施温格表象下讨论约瑟夫森效应*

钟握军，罗 颖，赖 伟

(赣南师范大学 物理与电子信息学院，江西 赣州 341000)

用角动量算符的施温格表象研究约瑟夫森效应，得到了表征约瑟夫森效应的约瑟夫森方程，并将此方法与现有研究该效应的方法进行了对比，发现此方法不仅能给出相同的结果，还能更加细致地描述约瑟夫森效应这一物理过程的微观结构.

约瑟夫森方程； 角动量算符； 施温格表象

1962年，B. D. Josephson在理论上预言，将两块同样的超导体用一个绝缘薄层连接起来，当绝缘层的厚度足够小时，一侧超导体中的库珀电子对(Cooper electron pair)将能隧穿绝缘层，进入到另一侧的超导体中，在结中形成约瑟夫森隧穿电流，这就是约瑟夫森效应[1].约瑟夫森效应是一种宏观量子效应，其理论意义重大[2]，是少有的几种宏观量子效应之一，且该效应在电子学领域也有十分广泛的应用[3].

基于约瑟夫森效应的上述典型性和重要性，本科的量子力学课程以及固体物理课程对之均有介绍或讨论[4-8]，且这些讨论均是在量子力学的波动形式下进行的.本文从量子力学的矩阵形式下角动量的施温格表象出发，用算符去讨论约瑟夫森效应，并推导出约瑟夫森方程.通过新的方法将对约瑟夫森效应的本质有进一步的了解，并且将其与通常的方法进行比较，分析它们的优缺点.

1 角动量的施温格表象

在讨论量子力学中的简谐振子时，人们经常用到一种表象就是占有数表象，在该表象中有产生、湮灭算符.施温格表象就是用产生湮灭算符来表示角动量算符[9-10]，这样可以很容易地解决角动量的问题.施温格表象中的角动量算符可以表示如下：

(1)

角动量算符的本征值与产生湮灭算符的本征值之间有着密切的关系.

(2)

这是一个重要的性质.此外，还有一个角动量矩阵元的公式也是后面要用到的：

(3)

2 用施温格表象讨论约瑟夫森效应

2.1 直流约瑟夫森效应

(4)

其中ε为没有耦合的情况下一个电子对的能量，K为表征耦合强度的耦合系数.因约瑟夫森结作为一个整体，电子数不会变化，即结的总粒子数N1+N2守恒：

(5)

因而有

(6)

所以通过结的电流I可以表示为：

(7)

式中第二个等号的得到利用了海森堡运动方程：

(8)

对(7)式求平均值就能得到约瑟夫森电流方程：

(9)

式中δ为结两侧凝聚体波函数相位φ1与φ2之差.这里特别值得指出的是，在(9)式中，尽管出现了凝聚体波函数|ψm〉，但这只是一个抽象的记号，完全不涉及波函数的具体表达式，且该波函数只是出现在中间的运算过程，在最终结果中并不出现.这一点与现有的方法是有本质不同的.

由角动量算符的性质(2)式可得

(10)

将其代入(9)式中，就可以得到

(11)

考虑到n1、n2是电子对的宏观数目，是巨大的，即

(12)

将其代入(11)式中，就有

(13)

此即第一个约瑟夫森方程.该方程给出约瑟夫森效应中隧穿电流与系统各个参数之间的关系，与现有方法的结果是一致的.

下面推导第二个约瑟夫森方程，即电流相位(δ=φ1-φ2)满足的方程.

由海森堡方程可得

(14)

又

(15)

将其代入(14)可以得到

(16)

同理可得

(17)

所以

(18)

此式为第二个约瑟夫森方程.它表明流过结的电流的相位不随时间而变化，因此是直流约瑟夫森效应.该结果也与现有的结论一致.

2.2 交流约瑟夫森效应

在约瑟夫森结两端加电压V，一侧的电势为V1，另一侧为V2，V1-V2=V，此时约瑟夫森结的哈密顿量为：

(19)

注意与(4)相比，约瑟夫森结的哈密顿量多了最后两项，这两项是结中的电子在外加电势中的电势能.

结一侧的电子对数依旧为

(20)

另一侧的电子对数为

(21)

所以通过结的电流I为：

(22)

根据直流的讨论可以得

(23)

此为第一个约瑟夫森方程，该方程与直流约瑟夫森效应的第一个方程相同.

再来计算(23)式中电流的相位δ=φ1-φ2.

因为总粒子数与相位算符对易，即：

(25)

所以

(26)

(27)

同理可以得到

(28)

因此有

(29)

从而

(30)

此即第二个约瑟夫森方程.从此方程不难看出电流的相位随时间变化，

(31)

此时流过结中的电流为交流电流.(31)式表明约瑟夫森结中电流相位的变化源于结两边的外加电势差.若结的两边外加电势差为零，即便两边均加有电势，结中电流相位亦不随时间而变，交流电流退化为直流电流.

3 两种方法的比较

无论是直流约瑟夫森效应，还是交流约瑟夫森效应，其结果都是与现有方法的结果一致的.从数学上讲，现有的在量子力学波动形式下的研究方法要更加简单，而在量子力学矩阵形式下的新方法的计算则要更复杂一些.但这种更为复杂的方法的益处也是十分明确而可观的.从物理上讲，现有研究方法对约瑟夫森效应中隧穿电流形成的物理过程描述不够细致，这主要是凝聚体波函数这个宏观波函数掩盖了物理过程的细节.新方法则从电子对的产生和湮灭这个微观角度出发探讨这些微观电子对如何形成隧穿电流，从而对约瑟夫森隧穿电流这个宏观量究竟如何产生有着更为精细的刻画.同时，在更为复杂的多体量子系统中，波动形式的量子力学处理问题将变得力不从心，而矩阵形式的量子力学的优势则开始显现出来.

[1] B．D．Josephson. Possible new effects in superconductive tunneling[J].Physics Letters，1962，1：251-256．

[2] 倪光炯，陈苏卿．高等量子力学[M].上海：复旦大学出版社，2005：237-239．

[3] 张礼,葛墨林．量子力学的前沿问题[M].北京：清华大学出版社，1999：165-168．

[4] 曾谨言．量子力学导论[M].北京：北京大学出版社，1998：176-180．

[5] 张永德．量子力学[M].北京：科学出版社，2011：234-237．

[6] 周世勋．量子力学教程[M].北京：高等教育出版社，2009：253-255．

[7] 黄昆，韩汝琦．固体物理学[M].北京：高等教育出版社，1988：287-299．

[8] 基泰尔．固体物理导论[M].北京：化学工业出版社，2005：301-304．

[9] 张启仁．量子力学[M].北京：科学出版社，2002：298-301．

[10] 顾莱纳．量子力学·对称性[M].北京：北京大学出版社，2001：285-289．

Discussion of Josephson Effect under Schwinger Representation

ZHONG Wojun, LUO Ying, LAI Wei

(SchoolofPhysicsandElectronicInformation,GannanNormalUniversity,Ganzhou341000,China)

The new method Schwinger representation of angular operator is adopted to study Josephson Effect and the Josephson Equations are obtained. The comparison between this new method and those in current textbooks is also presented. This new method achieves the same results and moreover, it reveals the microscopic structure of Josephson Effect in detail.

Josephson Equation; Angular Operator; Schwinger representation

2016-10-12

10.13698/j.cnki.cn36-1346/c.2016.06.009

江西省教育厅科技项目(GJJ150996)

钟握军(1977-)，男，湖南益阳人，赣南师范大学物理与电子信息学院讲师，博士，研究方向：量子信息与量子计算.

http://www.cnki.net/kcms/detail/36.1037.C.20161209.1500.020.html

O431.1

A

1004-8332(2016)06-0041-04