安徽省灵璧黄湾中学 华腾飞
求三角函数单调区间易错剖析
安徽省灵璧黄湾中学 华腾飞
在运用三角函数知识解题时,三角函数的单调性有很重要的应用,常用来研究函数的变化情况,比较函数值或自变量的大小,解(或证)不等式,求函数的值域或最值等。有些同学在求三角函数的单调区间时,由于对概念和法则理解不深、把握不准,常常会导致错解的发生。下面举例分类剖析,希望能够引起同学们的注意,力避此类错误的发生。
注 上述两种解法结果看似不同,其实只不过是形式不同而已,实质上是相同的。
图1
图2
例7 讨论函数y=acosx+b的单调区间。
错解 当y=cosx递增,即x∈[2kπ-π,2kπ](k∈Z)时,原函数递增;
当y=cosx递减,即x∈[2kπ,2kπ+π](k∈Z)时,原函数递减。
剖析 对于含参数问题,若参数的取值不确定,则必须对其讨论。上述错解是由于想当然地认为a>0导致错解的发生。
正解 当a=0时,y=b为常函数,没有单调区间;
当a>0时,函数的增区间为[2kπ-π,2kπ](k∈Z),
减区间为[2kπ,2kπ+π](k∈Z);
当a<0时,函数的增区间为[2kπ,2kπ+π](k∈Z),
减区间为[2kπ-π,2kπ](k∈Z)。
例8 已知0<a<2且a≠1,求函数y=log2a-a2(sinx·cosx)的单调递减区间。
错解 若对2a-a2分类讨论或认为1<2a-a2,则都有可能导致错解的发生。
剖析 本题虽含参数,但题设对数函数的底数却只在区间(0,1)内,因此不需要分类讨论。