线电荷和无限长介质圆柱壳系统电势的计算和讨论

王树平 范 虹

(河北建筑工程学院数理系，河北 张家口 075000)



线电荷和无限长介质圆柱壳系统电势的计算和讨论

王树平 范 虹

(河北建筑工程学院数理系，河北 张家口 075000)

计算了线电荷和无限长介质圆柱壳系统的电势分布，指出线电荷与介质圆柱体、线电荷与导体圆柱壳、均匀外电场中有无限长介质圆柱壳系统的电势分布都可由线电荷和无限长介质圆柱壳系统的电势给出.

线电荷；介质圆柱壳；电势

一些文献分别计算了线电荷与介质圆柱体[1],均匀外电场中有介质圆柱壳系统[2]的电势分布.本文通过对线电荷和介质圆柱壳系统的电势的计算和讨论将阐明：上述两种情形的电势分布都可由线电荷和介质圆柱壳系统的电势分布给出.

1 线电荷和介质圆柱壳系统的电势分布的计算

设介电常量为ε、内圆柱面和外圆柱面的半径分别为R1、R2的无限长各向同性均匀介质圆柱壳处于空气中.在介质圆柱壳外距圆柱壳轴线为a处有一与圆柱壳轴线平行的无限长均匀带电直线λ(λ为电荷线密度)，如图1所示.在图1所示的圆柱坐标系下，边值问题为：

图1

根据电势叠加原理，空间电势可视为线电荷的电势和介质分界面上电荷的电势φ′的叠加，则圆柱壳内、中、外的电势分别为：

以上三式中的r0是电势零点位置到线电荷的距离.

由于介质圆柱壳和线电荷为无限长，介质圆柱壳的轴线与z轴重合，故此场与z无关，是个二维平面场，则φ′应满足的柱坐标系中的拉普拉斯方程为：

Δφ

最后得到介质圆柱壳内、中、外的电势φ1、φ2、φ3分别为：

由式(4)、(5)、(15)、(16)和(17)可得关于Cn、Dn、En和Fn的方程组：

由式(18)求得：

从而可给出介质圆柱壳内、中、外的电势分别为

2 讨 论

2.1 线电荷与导体圆柱壳系统的电势分布

在ε→∞的条件下，介电系数为ε的介质相当于导体，利用式(23)及ε→∞的条件，可给出线电荷与无限长导体圆柱壳系统的导体壳内的电势分布为：

再由式(14)可得到

这表明导体圆柱壳内为等电势区.

利用式(24)及ε→∞的条件，可给出线电荷与无限长导体圆柱壳系统的导体圆柱壳中的电势为：

式(28)表明导体圆柱壳中为等电势区.

利用式(25)及ε→∞的条件，导体圆柱壳外的电势为：

2.2 线电荷与介质圆柱系统的电势分布

在式(24)、(25)中，令R1=0,R2=R可得到线电荷和介质圆柱体系统的电势分布.介质圆柱内的电势为

介质圆柱外的电势为

这正是文献[1]的结论.

2.3 均匀外电场中无限长介质圆柱壳的电势分布

若线电荷λ(<0)沿z轴正向趋于无穷远，同时λ值也趋于无穷大，但保证λ在讨论的范围内所激发的电场为非零有限值场，则此时λ在讨论的范围内所激发的电场是沿x轴正向的均匀的电场，其大小为：

即

式中负号的引入是因为λ<0，这里要求场强大小E非零有限，根据式(14),式(23)可改写为

由式(32)知,此时式(33)中的求和只有当n=1时不为零，其余都为零.则均匀场中有介质圆柱壳情形的壳内的电势为

再由式(32)得到

同理由式(14),式(24)可改写为

由式(32)知,此时式(36)中的求和也只有当n=1时不为零，其余都为零.则均匀场中有介质圆柱壳情形的壳中的电势为

再由式(32)得到

由式(14),式(25)可改写为

同理由式(32)知,此时式(39)中的求和只有当n=1时不为零，其余都为零.最后由式(32)、式(39)得到均匀场中有介质圆柱壳情形的壳外的电势为

式(35)、(38)、(40)给出的均匀场中有介质圆柱壳情形的壳内、中、外的电势与文献[2]的结论完全相同.

综上所述，线电荷与导体圆柱壳、线电荷与介质圆柱体、均匀外电场中有介质圆柱壳系统的电势都可由线电荷和介质圆柱壳系统的电势给出.因此对线电荷和介质圆柱壳系统的电势分布的计算具有普遍意义.

[1]刘迈,苏景顺,王树平.线电荷和介质圆柱系统的电势分布[J].大学物理，2010，9(5)：11

[2]王树平，苏景顺,薛红丹.均匀外电场中无限长介质圆柱壳的场分布的计算和讨论[J].大学物理，2008,7:18

Calculation and Discussion of Electric Potential of Linear Charge Density and Infinite Long-dielectric Column Shell

WANGShu-ping,FANHong

(Hebei University of Architecture, Zhangjiakou,075000)

The electric potential distribution of a system for linear charge density and long-dielectric column shell is calculated by using the separated variable method and some useful calculations are presented.

linear charge density;dielectric column shell；electric potential

2016-05-23

王树平(1977-)，男，副教授.

O 441.4

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