导数在经济学中的应用

曹斯琪

0 引言

微积分的诞生是经济学史上的一个重要转折点，它是“经济学中一步真正的发展”，是“更有力的工具和更简单的方法的发现”。微积分通过静态的逐步逼近而把握动态、通过有限去认识无限、利用近似去探索精确，是辩证法在经济学上的体现。微积分的工具能处理经济学中的一些基本问题。如边际分析、弹性分析、最值问题、最优化问题、需求、收入、利润问等等。微积分在经济学解题中的应用，大大推动经济的快速发展，速进经济中各资源的有效配置与合理的运用，是人类经济文明的又一大创举，是经济发展史上的一个里程碑。

在高速发展的经济建设中，现代化经济理论已经从过去的经济定性分析发展成为量性分析和定性分析相结合。因而微积分在经济管理中有了广泛的应用，使得人们能从理论上分析有关的经济模型，从而给出合理的解释，更好地对经济建设起指导作用。

本文主要写导数在经济学中的运用。在边际问题的分析、弹性分析和最值问题中，导数作为其重要的分析工具，得出科学合理的依据，为实际经济发展提供科学、合理的数据。

导数在经济学中的应用：

1 边际分析

在经济分析中，通常用“平均”和“边际”两个概念来描述一个变量y关于另一个变量x的变化情况，而“边际”则表示在x的某一个值的“边缘上”y的变化情况，即当x给定值发生微小变化时，y的变化情况，它是y的瞬时变化率，也就是变量y对变量x的导数。因此，导函数f（x）就称为边际函数，f（x）在点x0处的导数值f（x）就称为f（x）在点x0处的边际函数值。

1.1 边际成本函数

设Q为产量，C1为固定成本，C2（Q）为可变成本，总成本为C（Q），则C（Q）=C1+C2（Q），且称总成本C（Q）对Q的导数C（Q）为边际成本函数。其经济意义是：当产量为Q个单位时，再增加或减少一个单位产量，所增加或减少的成本，从而边际成本C（Q）的大小表明了增产潜力的大小。

1.2 边际收益函数

2 最值应用问题

在生产实践和各种经济活动中，往往会遇到求最值的问题，解决这类问题是导数的重要应用之一。

设函数f（x）在闭区间a，b上连续，则它一定在a，b上取得最值。求函数最值的做法如下：

（i）求使f（x）=0和f（x）不存在的x值，并求出相应于这些x的函数值；

（ii）计算端点函数值f（a）与f（b）；

（iii）比较f（a），f（b）和（i）中求出的函数值的大小，其中最大者就是函数在a，b上的最大值；最小者就是最小值。

特别，如连续函数f（x）在（a，b）内只有一个极大（小）值，而又没有极小（大）值，则此极大（小）值一定是函数f（x）在a，b上的最大（小）值。在许多实际问题中最值就属于这种情况，可以采取求极值的方法来解决。

2.1 产量的最优化与利润最大化的问题

在经济生产过程中，要怎样生产，才能充分发挥有效的资源配置来获得最大的利润，这是每个企业家都想研究的问题。因而利用导数可以解决相应的问题，为各企业家提供科学、合理的数据来指导生产。

例1已知某厂生产x件产品的成本为C（x）=25000+200x+x2/40元。问若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？

解：先求出收益函数R（x）=500x，从而利润函数为：

L（x）=500x-（25000+200x+x2/40）

由L（x）=0得x=6000，因L（x）=-1/60<0，故应生产6000件产品，利润最大。

2.2 价格的最优化与利润最大化的问题

在市场销售过程中，销售和利润都随价格变化。商品的价格定得稿，单位商品的利润大，但销售量会减少，总利润却不一定大；反之，商品价格定得低，单位商品的利润小，但销售量会增大，总利润却不一定少。因此，如何确定最优价格，使得在单位时间内能够获取最大利润是每位销售管理人员值得关注的。

例2假设某种商品的需求量y是单价x（单位：元）的函数：y（x）=1200-80x；商品的总成本C是需求量y的函数：C（y）=25000+50y；每单位商品需要纳税2元，试求使销售利润最大的商品单价和最大利润额？

解：以L表示销售利润额，由y（x）=1200-80x得到：

L=（1200-80x）（x-2）-（25000+50y）=-80x2+16160x-16160

L（x）=-160x+16160

令L（x）得到x=101。又因为L（x）|x=101=-160<0

故当x=101时，L（x）有极大值，因x=101是唯一驻点，所以L（x）有最大值，即最大利润为L（x）|x=101=167080元。

[责任编辑：田吉捷]