赏析抛物线中的三个“相切”

梁宗明●

甘肃省兰州市西固区兰化一中(730060)



赏析抛物线中的三个“相切”

梁宗明●

甘肃省兰州市西固区兰化一中(730060)

【相切一】以抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦|AB|为直径的圆与抛物线的准线相切.

【相切二】以抛物线y2=2px(p>0)的焦半径|PF|为直径的圆与y轴相切.

【相切三】AB为抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,A,B在准线上的射影分别为A1,B1,以A1B2为直径的圆与AF相切于焦点F.

利用这些性质解决一些问题往往思路清晰，方法简捷,回避复杂的运算，缩短解题时间，提高准确率.本文对几个常用的结论进行了证明并列举实例.

【相切一】以抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦|AB|为直径的圆与抛物线的准线相切

这表明圆心C到准线l的距离等于半径，故以焦点弦|AB|为直径的圆与抛物线的准线相切.

【相切二】以抛物线y2=2px(p>0)的焦半径|PF|为直径的圆与y轴相切.

这表明圆心C到y轴的距离等于半径，故以抛物线焦半径|PF|为直径的圆与y轴相切．

【相切三】AB为抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,A,B在准线上的射影分别为A1,B1,以A1B1为直径的圆与AB相切于焦点F.

证明:易证FA1⊥FB1,说明点F在以A1B1为直径的圆上.

当AB⊥x轴，显然成立.

这表明以A1B1为直径的圆与AB相切于焦点F.

【2013年全国卷】设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( ).

A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8x

C.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x

故选C.

【2009湖北卷文】如图，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线相交于M,N两点，自M,N向准线l作垂线，垂足分别为M1,N1. 求证：FM1⊥FN1.

解析 当MN⊥x轴，显然成立

G632

B

1008-0333(2016)28-0041-01