借助圆锥曲线知识和求导方法解决抛体运动问题——对2015年高考海南物理卷第14题的另解

冯海燕

(大庆实验中学 黑龙江 大庆 163316)



借助圆锥曲线知识和求导方法解决抛体运动问题
——对2015年高考海南物理卷第14题的另解

冯海燕

(大庆实验中学 黑龙江 大庆 163316)

在高中阶段， “抛体运动”是在物理学科的“曲线运动”部分学习的，主要是利用运动的分解将抛体运动分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的加速度为g 的匀变速直线运动．“抛物线”是在数学学科的“4圆锥曲线”部分学习的，主要是学习抛物线的标准方程、准线、焦点等知识．鉴于抛体运动中平抛和斜抛运动的轨迹就是抛物线，故在教学中完全可以将两者有机地结合起来，以更好地落实《普通高中物理课程标准》中关于加强用数学知识解决物理问题能力的要求，更好地促进学生综合能力的发展．下面笔者就2015年高考海南物理卷第14题(2)问尝试用与参考答案不同的方法——用圆锥曲线知识和求导的方法来解决抛体运动问题．

(1)一小环套在轨道上从a点由静止滑下，当其在bc段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，求圆弧轨道的半径；

(2)若环从b点由静止因微小扰动而开始滑下，求环到达c点时速度的水平分量的大小．

图1

原参考答案如下：

(1)环在bc段与轨道无相互作用，即环在这段以某一初速度v0做平抛运动，运动轨迹与轨道相同．由平抛运动公式有

s=v0t

(1)

(2)

设圆弧轨道半径为R，由机械能守恒定律得

(3)

联立式(1)～(3)，并代入题给条件得

R=0.25 m

(4)

(2)环由b处静止下滑过程中机械能守恒，设环下滑至c点的速度大小为v，有

(5)

环在c点速度的水平分量为

vx=vcos θ

(6)

式中，θ为环在c点速度的方向与水平方向的夹角．由题意知，环在c点速度的方向和以初速度v0做平抛运动的物体在c点速度的方向相同；而做平抛运动的物体末速度的水平分量为

(7)

因此

(8)

联立式(1)、(2)、(5)～(8)，得

(9)

笔者对该题目(2)问的解答方法如下：

以b点为原点O′，以过b点的水平线为x轴，以过b点的竖直线为y轴建立坐标系，如图2所示.由题目可知，该抛物线轨道过原点(0，0)和(s，h)点．令该抛物线轨道的轨迹方程为

y=ax2+bx+c

图2

易知b=0，c=0，则轨迹方程可简化为

y=ax2

将点(0，0)和点(s，h)代入轨迹方程可得

则该抛物线的轨迹方程为

y=x2(x>0)

其导数方程为 y′=2x

图3

易知

根据机械能守恒定律

得

则

上述方法方法也可以作为检验解答是否正确的一个方法．

2015-11-30)