高中数学解析几何高考试题分析与教学策略研究

陈晨

（广东省开平市开侨中学）

高中数学解析几何高考试题分析与教学策略研究

陈晨

（广东省开平市开侨中学）

高中数学解析几何是重要的教学内容之一，有着丰富的数形结合思想，同时在高考试题中又占有举足轻重的地位，分值较大。通过分析近年来高考数学试题中的解析几何试题，基于高考试题谈解析几何教学，从解析几何高考试题引发思考，探究高中数学解析几何教学策略。

高中数学；解析几何；高考数学；教学策略

一、高中数学中解析几何内容及学习问题

在高中数学中解析几何有着重要地位，是高考中重要的考查内容。在人教A版教材中，解析几何内容编排在《直线与方程》《圆与方程》《圆锥曲线与方程》《坐标系与参数方程》等章节，有平面解析几何、立体解析几何两大部分内容，通过平面直角坐标系，分析点与实数对、曲线与方程之间的对应关系，用几何方法研究代数问题或用代数问题研究几何问题。

在高考解析几何试题中，学生的得分率普遍较低，很多学生学习解析几何的水平尚未达到高考要求。高中数学解析几何教学存在一些问题，主要表现为学生懂而不会、会而不对、对而不全、全而不快。其中，懂而不会，学生只是生搬硬套、表面理解解析几何概念，产生自我假懂的现象；会而不对，解析几何问题的解决，通常用到直角坐标系，包括大量的运算，可是学生的运算能力较薄弱，即使找对了解法，也难以做对解析几何题目；对而不全，学生在解析几何问题解决过程中，往往忽视动点轨迹方程；全而不快，学生在解析几何过程中，往往照搬解题程序，对于思路宽的解析几何问题则缺少创新意识，学生不敢动笔，或者直接放弃尝试高效率的算法。笔者基于分析高考解析几何试题，给出恰切的解析几何教学策略，提高解析几何教学效益，帮助学生克服解析几何考试畏惧心理，取得理想的解析几何得分成绩。

二、高考解析几何试题分析

笔者所在广东省高考使用试卷为全国卷I卷，故此笔者对2013～2015年的全国卷1中的解析几何考查部分进行梳理总结，剖析典型高考题，为解析几何教学提出策略与建议。

1.高考解析几何试题考查对比

从全国卷I中解析几何考查知识点整体看，覆盖范围宽，视角高，层次性的考查学生对知识点的掌握程度，同时还渗透了对数学思想的考查，从2013年-2015年，全国卷I中对文科和理科不同学生的解析几何知识点考查具体见下表所示。

2013～2015年全国卷I解析几何试题题量看，是“两小一大”，两个小的客观题，一个大的解答题，分值分别为5∶5∶12。近3年的全国卷I试题中，文科理科解析几何试题共有11个选择题和填空题，题目一样的只有1个，文科和理科的试题考查差异性较大，对解析几何知识点的考查交错互补，对学生综合知识运用和问题解决能力的要求较高；文科和理科解析几何试题共有5个解答题，题目一样的只有1个，题型相对常规，考查重点是解析几何通性通法。

2013～2015年，全国卷I中对解析几何的知识点（直线、圆和椭圆、双曲线、抛物线）基本全部有所涉及。其中，选择题和填空题常考内容为双曲线渐近线方程、圆锥曲线的定义与方程、离心率、几何性质、抛物线准线，客观题区分度明显，是能力立题的集中体现；解答题考查内容多是直线与椭圆、直线与圆、直线与抛物线位置关系，直线与圆位置关系分量较重，常考内容是位置关系中相交弦构成图形的取值范围、最值问题。在解答题设计中，多以三角形面积计算为导引，转化为弦长和距离的求解，在具体运算中用到韦达定理、弦长公式、焦半径等公式，设而不求的代换思想，简化解答题的运算，全国卷I对解析几何的考查本质集中体现了代数问题研究几何问题。

全国卷I文科与理科试卷中解析几何知识点考查对比

2.高考解析几何试题具体评述

（1）数学知识：从记忆到联想

从高考试题中解析几何考查知识点看，对双曲线、抛物线、椭圆的定义和性质进行基本考查，考点有：定义、性质、轨迹方程的求解，这就需要学生在解题时，结合自己对定义的深刻理解，联想到定义、性质，在应用中“得心应手”。

A.3 B.6 C.9 D.12

【点评】圆锥曲线几何性质的考查，解题基础：明确概念、分清基本量关系，题目具有一定的综合性。

（2）数学能力：运算能力与思维能力并重

高考解析几何试题中，每年必考大的解答题，几乎都可以用坐标法求解，这就需要学生在运算中熟悉几何条件本质特征，能够以恰当的代数形式，表示平行、垂直、面积、中点、距离等关系，学生需要弄清算理，明确算法，运算算法，得出结论。数学思维决定数学算理的正确性、数学运算的方向，而运算能力则决定了数学思维具体转化施行的有效性。

【点评】利用直线与椭圆关系联立方程，应用韦达定理计算a、b关系，再利用差点法设而不求思想，计算中点弦问题，运算简单快捷。

（3）数学思想：融会贯通数学思想与方法

高考解析几何试题以知识点为载体，但又蕴含着丰富的数学思想与方法，综合考查了学生的数学能力和思想。解析几何试题的基本特点是利用坐标系，求解几何问题，究其核心是数形结合思想。而且，高考解析几何解答题具有综合性，对综合数学知识的考查，在问题解决中涉及了转化与化归思想、分类与整合思想、函数与思想、特殊与一般思想。

①求E的方程；

②设过点A的动直线L与E相交于P、Q两点，当△OPQ面积最大时，求L的方程。

【点评】该题集中体现了函数思想，整体处理时用到韦达定理，简化运算；在计算中引入关联变量，构建函数关系，是解决该题的重要数学思想和方法。

三、高中数学解析几何教学策略

1.理解是关键：数学实验，动态探究

在高中数学解析几何基础知识夯实教学中，笔者建议可以适当应用信息技术，将信息技术与解析几何整合教学，为学生创设数学实验教学，体现几何直观，提高解析几何教学效率。通过信息化的数学实验，带领学生沟通数式与图形的表征，在动态化课件中，感受解析几何的直观性，通过演示几何图形运动变化过程，帮助学生观察现象，发现几何规律，探究几何问题，得出解析几何结论。通过信息技术制作的课件，以数学实验的形式，为学生提供从感性到理性的解析几何认识过程，对解析几何进行动态探究，感受解析几何的动态美，激发学生学习解析几何的兴趣，增强学生解析几何想象力，培养学生数学观察力，为更好地理解解析几何基础知识奠定基础，加深学生对解析几何知识的理解与掌握。

理解是关键，在信息技术数学实验教学中，笔者建议：第一，注意交互。教师将信息技术与解析几何教学整合，实现传统解析几何教学和信息技术教学整合，扩充学生学习时空，观察解析几何动态演变，或开展自主解析几何学习，增强数学学习能力；第二，动静结合。信息技术课件数学实验演示下，解析几何问题的表现形式多样化，点、线、图形变化，让课堂扑朔迷离，有别样的动态美，让学生赏心悦目。在数学实验教学中，动中有静，形中有数，静中有动，数中藏形，动静相宜，数形相生，揭示了解析几何本质规律，推动学生图形和数式学习，培养学生直觉思维和逻辑思维；第三，适度适时。在解析几何传统教学难点、重点中，适时使用信息技术，创建数学实验，聚焦学生认知冲突，把准学生认知生成，促进学生认知成长，为学生学习解析几何指明方向。

2.算理是主线：强化运算，达成求简

在高中解析几何教学中，也要注重对学生运算能力的培养，关注学生数与式的运算能力，奠定解析几何正确解答，三角函数、不等式、向量、立体几何等综合问题正确解答基础，教师教会学生算理，合理设计算法，强化运算，运算结论，欣赏解析几何运算美，鼓励学生迎难而上，在耐心细致中“不怕繁”，最终发现简，达成求简。

算理是主线，在高中解析几何强化运算教学中，笔者建议：第一，要“精讲多练”，赋予解析几何运算练习新内涵。在解析几何运算教学中，经典做法就是精讲多练，教师精讲，学生多练。教师通过对解析几何典型例题的讲解，特别是高考试题中解析几何的重点知识点和试题，教师要详细讲解，巩固解析几何知识的同时，讲述解析几何解题思路、解答方法；第二，教师结合学生解析几何解题现状，发现学生解析几何运算存在的问题，剖析成因，对症下药，引导学生明确解题目的，转化、分析解析几何图形，构建坐标系，求解解析几何，按照清晰的解题思路运算解答。通过“双重”运算能力强化，培养学生解析几何求解举一反三的能力，阐释精讲多练新内涵。总之，在解析几何运算中，算理是主线，学生作为解析几何运算主体，亦是算理的主体，教师要引导学生把握运算方向，认清算与理的关系，做好运算准备，通过多练习强化运算能力，达成求简。

3.数形结合是核心：分析解题，诱思导悟

数与形，相倚相依，数缺形则少直观，形缺数则难入微，数形结合则代数与几何统一，万事休。高中解析几何了谎，那就让调解法官审问我好了。他的法律上说得明白，现在大家都平等啦。不瞒您说，我的兄弟就在当宪兵……”俄国的19世纪80年代，正是沙皇亚历山大三世统治的最反动时期。沙皇亚历山大三世采取高压政策，加强了宪兵、警察等专政机构，整个俄罗斯笼罩在军警宪兵的白色恐怖中。沙皇的虚假政治影响着每一个人，赫留金先引用法律为自己辩护，接着抬出“当宪兵”的兄弟。赫留金的话揭露沙皇法律的实质是：宪兵就是法律，权势决定一切。这正是军警宪兵当道的沙皇统治的真实写照，具有鲜明的时代特征，反映出当时俄国“警察国家”的黑暗与反动。这是对沙皇法律的又一次尖锐讽刺。奥楚蔑洛夫听巡警说拿得准将军家里没有这样的狗后，说：“……要是这样的狗在彼得堡或者莫斯科让人碰见，你们猜猜看，结果会怎样？一眨眼的工夫就叫它断了气！……”“那儿的人可不管什么法律不法律”揭露了这个封建专制国家在华丽庄严掩盖下的丑恶与卑劣，具有鲜明的时代特征，反映出当时俄国“警察国家”的黑暗与反动，揭露沙俄专制统治下警察制度的反动与虚伪。

从体裁和传播上说，没有比小说更合适担当社会启蒙任务的了。小说通过刻画人物、描写环境、反映社会现实等所承载的内容，反映的社会广度和深度，相比其他文学作品具有更大的优势。所以我们在小说教学中，在品味人物语言时，不妨把角度打得更开一些，可以引领学生去发现人物语言背后的深刻含义，这样会更有利于深切领会作品的思想和作者的写作目的，也更有利于学生文学素养的生成和发展。

［1］王尚文.走进语文教学之门［M］.上海教育出版社，2007.

［2］王文龙，魏玉亭.电影中人物语言的作用［J］.戏剧文学，2010（4）.

［3］中国古代文学鉴赏［M］.中国纺织出版社，1998.

［4］中外文学名著精品赏析：中国现当代文学卷［M］.首都师范大学出版社，1999.

·编辑 鲁翠红