论述高中数学中集合的类型及基本运算

陈俊昊

摘 要：集合是高中数学教学中一个重要的组成部分，同时也是开展数学更深层次探索的基础，数学的很多其他分支都是建立在集合的理论上，例如逻辑推理、函数分析、概率等方面。集合不单单在学习中，生活中也得到越来越广泛的运用，学生在学习和生活中都应当给予重视，它已经成为理解、掌握和运用数学这门语言的关键。因此，在高中数学教学中，集合成为引领学生踏入高中数学的开篇。针对这门基础语言，本文主要介绍关于高中数学中集合的类型、关系以及相关运算。

关键词：高中数学;集合概念;类型;运算方法

一、集合中元素的特性

首先是确定性。只要构成一个集合，那么集合中的元素就是确定的，可以明显的知道这个元素对象是否属于这个集合，不会出现含糊的现象。例如，“所有的无理数”构成一个集合，意思是任何一个数要么属于无理数，要么不属于，这个集合的范围和元素是非常清晰、确定的。反之，“高个子的人”无法构成一个集合，不具有确定性，无法对它进行元素的归属，其范围是模糊的，除非对它给予一个确定的数值。我们一般用A、B、C或其他表示集合，用a、b、c或其他表示集合中的元素，符号“∈”表示属于，“?”表示不属于。

其次是互异性。一个集合当中的元素是互异的，也就是集合中不存在重复的元素。例如，一个集合中包含“1、2、3”这几个数字，那么不能写成这个集合包含数字“1、2、2、3”，因为数字“2”不能出现重复的元素。假如可以重复，就无法明确这个集合的范围，造成混乱的局面，这也就是为什么集合具有互异性。

还有就是无序性。我们对一个集合中元素的顺序不作要求，一般只关注这个集合当中包含哪些元素，而不是它的排序如何。因此，一个集合中的元素可以是无序的。比如说数字“1、2、3”和数字“2、3、1”所表示的是同一个集合，其中元素的顺序可以随意颠倒。

二、集合的类型及表示方法

（一）集合的分类

集合的类型主要有并集、交集、补集和空集这几个类型。

并集指的是一个集合中的所有元素，其中任意一个元素要么属于集合A或者属于集合B，那么称这个集合为A和B的并集，同时也称作全集U，集合A和集合B也叫集合U的子集，不管集合U中的元素在A和B中的出现次数，只要保证元素会出现在这两个集合中。

交集是指既属于集合A又属于集合B，所构成元素的集合，表示这个集合中的所有元素都会同时出现在A和B当中，该集合同属于A和B的子集。

补集指的是该集合所有元素属于全集U却不属于集合A的元素所构成的集合，叫做集合A的补集，与集合A都是全集U的子集，但相互之间元素不存在任何的交叉。

所谓空集，顾名思义指的是不含任何元素的集合，同时它也是任何一个集合的子集，在学习过程中通常也是学生最容易忽略的，以致计算结果不全面。

（二）集合的表示方法

通常在书面上表示集合的方法主要有三种，分别是列举法、描述法和图示法。

所谓列举法，是在该集合为有限集，并且元素数量不多的情况下实现的，将其中的元素进行一一列举，归纳在大括号内表示。这种方法既简单明了，又能清晰的反映出集合当中的所有元素。

通常一个集合中的元素较多、无限制的时候，不可能用列举法来进行一一列举，可以采用描述法的方法进行阐述，对其中的元素的规律进行探索。同一个集合中的元素存在一定的共性，可以针对它们的共同性质来进行描述，比如说“2的倍数”所构成的集合。

还有一种方法就是图示法，常用的表示形式就是用一条封闭的曲线构成一个集合，可以是圆形或椭圆形。这个图形的个体就是一个集合，其内部包含的元素就是这个集合中的元素。

三、关于集合基本运算

集合的运算是相当广泛的，在求解不等式的过程中，集合和不等式存在紧密联系，往往需要通过转换和数形结合进行求解。在求解一个函数时，此时函数的定义域和值域其实就是以两个集合的形式存在的，集合之间的对应关系可以通过解析式来表示，通过定义域求得值域，成为解答函数的一个载体。在表示一个数列时，可以用集合的方式来表示该数列当中所包含的元素，使整个数列更直观、更明了的以一定规律的形式呈现。

除此之外，在排列组合、圆锥曲线和三角函数的运算当中，集合同样与它们有着千丝万缕的关系，成为解题的关键。因此，在高中数学教学中，集合可以说是整个教学的基础，充当着一个重要的角色。

四、结语

其实高中数学中的集合并不难学，只要了解清楚它的概念和特征，把握其基本运算方式，就可以轻易的解决与之关联的其他问题。学生需要重视集合这一概念的学习，其概括性是极强的，无论是在学习中还是生活中都广泛运用。其实学好数学不难，主要理清整个脉络和相互之间的联系，所有的难题都会迎刃而解。不管是教师还是学生都应该注重这一点，只有打好坚实的基础，才能以更好地姿态迎接后面的挑战。

参考文献：

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