巧用数学方法解决共点力的动态平衡问题

李润

对于许多物理问题，单一用物理方法是无法求解的，然而用一定数学方法能简单地求得结果。所谓运用数学方法，就是把客观事物的状态、关系和过程用数学语言表达出来，并进行推导、演算和分析，以形成对问题的判断、解释和预测。如运动学中的v-t和x-t图像上就用到了数学的一次函数的斜率、截距、面积等知识。因此，选择合适的数学方法是快速解答出物理问题的关键。物体在共点力作用下的动态平衡问题，既是高中物理的重点内容，又是学生学习的难点。解答共点力的动态平衡问题时常用到数学中的“解析法”、“图解法（矢量三角形法和相似三角形法）”，尤其“图解法”不仅直观、形象，而且学生易于接受、掌握和运用。具体典例列举如下：

一、解析法

【原理】：根据受力分析作出力的图示，利用数学中的三角函数关系解直角三角形，最终根据三角函数的单调性解决问题，寻找出各力的变化情况。

【特点】：适用于三力或者多力作用下的动态平衡问题。

二、矢量三角形法

【原理】：力的矢量三角形定则是从平行四边形定则中演绎出来的新的数学方法，解决共点力问题有很好的作用，特别是动态平衡问题、力的合成与分解中的多解分析，这样的方法非常严密。

【特点】：适用于所受的三个力中，一个力大小、方向不变；一个力方向不变，大小不确定；另一个力的方向发生变化，大小不确定的情况。

【例2】.如图2甲所示，在竖直平面内的直角坐标系中，一个质量为m的质点在外力F的作用下，从坐标原点O由静止沿直线ON斜向下运动，直线ON与y轴负方向成θ角（θ<π/4）。则F大小至少为？摇？摇 ？摇？摇；若F=mgtanθ，则质点机械能大小的变化情况是___________。

【解析】：如图2乙所示，质点受到的力有重力mg和外力F，合力的方向沿着ON方向，将重力、外力、合力归结到一个三角形中，该质点受到重力和外力F从静止开始做直线运动，说明质点做匀加速直线运动。如图2乙中显示当F力的方向为a方向（垂直于ON）时，F力最小为mgsinθ；若F=mgtanθ，即F力可能为b方向或c方向，故F力的方向可能与运动方向相同，也可能与运动方向相反，除重力外的F力对质点做正功，也可能做负功，故质点机械能增加、减少都有可能。两空分别填：mgsinθ，增大、减小都有可能。

三、相似三角形法

【原理】：相似三角形法通常寻找的是一个力的矢量三角形与一个几何三角形相似。利用相似三角形对应边的比例关系求解力的大小。

【特点】：适用于物体所受的三个力中，一个力大小、方向不变，其他两个力的方向均发生变化，且三个力中没有两力保持垂直关系，可以找到力构成的矢量三角形与边构成的几何三角形相似。（特别是当几何三角形的边长已知时）

以上列举了几个解决共点力动态平衡问题的典型例题，其中都用到了数学方法。数学作为工具学科，其思想、方法和知识始终渗透、贯穿于整个物理学习和研究过程中，为物理概念、定律的表述提供简洁、精确的数学语言，在物理学习中用好数学方法为学生进行抽象思维和逻辑推理提供有效保障，为物理学中的数量分析和计算提供有力工具。高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用，借助物理知识考查数学能力是高考命题的永恒主题。

参考文献：

[1]人民教育出版社物理教材必修一.

[2]优化设计、物理教参必修一.