改进的差分进化算法在电力经济调度中的应用

李荣雨 陈菲尔

(南京工业大学计算机科学与技术学院，江苏 南京 211816)



改进的差分进化算法在电力经济调度中的应用

李荣雨 陈菲尔

(南京工业大学计算机科学与技术学院，江苏 南京 211816)

以优化发电系统中的发电总费用为目标，结合实际运行中机组的约束条件和阀点效应，建立了电力经济调度(ED)模型，并提出了求解该模型的改进的差分进化算法(ADE)。针对标准差分进化算法存在的种群多样性和收敛性能之间的矛盾，在度量种群多样性的基础上，引入了基于排序的可行解选取递减策略改进变异策略current-to-best。此外，提出一种新颖的等式约束修复机制，确保求解的可行性。最后，利用13个机组的测试系统进行仿真试验，结果证明了ADE算法求解ED模型的有效性。

发电机组 差分进化 电力经济调度 阀点效应 种群多样性 粒子群算法 变异策略 修复机制

0 引言

电力经济调度(economic dispatch，ED)问题是现代电力系统控制和操作中至关重要的部分[1]。当考虑系统实际运行中由于调节阀出现拔丝现象引起的阀点效应时，ED问题将变得更加复杂，因此寻找最优调度结果是一个巨大的挑战[2-3]。近年来，出现了很多求解ED问题的算法，其中遗传算法[4]、模拟退火算法[5]、粒子群算法[6]、差分进化算法[7]等启发式算法凭借其没有非凸等特征限制的优势，已经成功应用到求解ED问题中，并取得了一定成效。由Storn 和Price提出的差分进化算法(differential evolution，DE)[8]更是被许多专家证明为简单、有效的进化算法，在实际优化中得到了许多成功的应用[9-11]。

本文首先对实际问题建立数学模型，然后设计基于排序的可行解选取递减策略，改进现有变异算子，提出基于度量种群多样性的改进差分进化算法(adaptive differential evolution，ADE )，并处理各约束条件。最终将ADE算法用于求解ED模型，结果表明本文提出的算法获得了更好的优化效果。

1 电力经济调度的数学模型

1.1 目标函数

电力经济调度是指在整个调度周期内，在满足系统负载需求和机组运行约束条件下，优化各机组的负荷分配，使系统发电总成本达到最小。该非线性优化的目标函数如下：

(1)

式中：Fi(Pi)为第i个机组的成本特性函数；Pi为第i个发电机组的输出功率。

在系统实际运行中，为了保证调度结果的可靠性，考虑机组的阀点效应，因此在原先二次方程式的基础上，叠加正弦函数用于模拟能耗亏损。实际的机组能耗特性可表示为：

式中：ai、bi、ci为机组i的成本系数；ei、hi为机组i的阀点效应系数；Pi,min为第i台发电机的最小输出功率。

1.2 约束条件

当考虑实际工况中的阀点效应时，目标函数受到如下三个等式及不等式的约束。

①电力平衡约束：

(2)

式中：PD为系统总负荷；PL为系统总损耗。

②机组出力约束：

Pi,min≤Pi≤Pi,maxi=1,2,…,N

(3)

式中：Pi,min，Pi,max分别为第i个发电机组的有功功率的上下限。

③机组爬坡约束：

2 改进的差分进化算法

2.1 标准差分进化算法

差分进化算法是一种基于种群的启发式随机搜索技术，对于解决连续性优化问题具有较强的鲁棒性。DE算法具有收敛性能好、结构简单、控制参数少等优点。和其他启发式的智能优化算法类似， 差分进化算法主要通过变异、交叉、选择这三个步骤，模拟自然进化过程。通过种群内个体间的相互合作和相互竞争，实现从初始种群到最优种群的演化，引导搜索过程向最优解逼近。 变异操作和交叉操作为丰富种群多样性创造了条件，而选择操作有助于在搜索区域内开发更好的可行解。

标准差分进化算法的具体操作流程如下。

①变异。

(4)

②交叉。

在第二阶段，通过将变异个体与父代个体进行交叉操作，从而产生新个体。交叉操作如下：

③选择。

DE算法采用达尔文的“适者生存”思想进行择优保留，采用“贪婪”的选择方式来确定适应度好的个体作为进化子代。

(5)

式中：f(x)为待优化的最小化问题。

2.2 改进的差分进化算法

在传统DE算法中，从种群中随机选取个体进行变异操作不仅会减慢收敛速度，而且在处理复杂的多峰问题时全局搜索能力不佳。此外，随着迭代次数的增加，种群个体间的差异会慢慢减小。不断缩小的个体差异就会导致种群多样性降低，从而过早地导致算法收敛到局部极值点周围，形成早熟收敛现象。针对以上问题，本文提出一种基于度量种群多样性的改进变异策略的差分进化算法。

2.2.1 基于排序的可行解选取递减策略

变异操作是DE算法的核心。算法迭代过程中，种群的进化方向由选取的变异策略决定，然而现有的变异算子或全局搜索能力强，或局部挖掘能力强，不具有普遍的适用性。以下三个是目前使用广泛、典型的变异算子。

①DE/rand/1:

(6)

②DE/best/1:

(7)

③DE/current-to-best/1:

(8)

(9)

(10)

2.2.2 基于度量种群多样性的自适应缩放因子

为了进一步提高算法的可靠性和全局收敛能力，同时面对实际问题参数设置困难等问题，本文设计了基于度量种群多样性的自适应缩放因子。根据式(4)可知，缩放因子的取值控制了差分向量对基向量造成的扰动作用，因此缩放因子是维持种群多样性的一个关键因素。

(11)

(12)

式中：div(1)为g=1时的种群多样度，即初始种群多样度；div(g)为第g代种群的多样度；c为[0.05,2]区间内随机产生的自适应因子；fi为第i个个体的适应度；favg为当前种群的平均适应度。从理论上说，div(g)的值越大，表明当前种群有丰富的多样性。当算法的种群多样性开始减小时，应增大F以期扩大种群多样性，所以构造了基于种群多样性递减的缩放因子自适应函数。该改进能从一定程度上丰富种群多样性，避免种群中个体过早集中。

2.2.3ADE算法步骤

综合以上分析，基于度量种群多样性改进的差分进化算法的实现步骤如下。

①将以下参数初始化：种群规模NP、维数D、自适应因子c、变异最大进化代数Gm，令G=1并初始化种群。

②计算当前种群适应度和当前种群多样度div(g)，将个体按照适应度从优至劣排序并分配排序号。根据式(10)确定式(9)中基向量的选取范围。

③按式(11)产生当前种群进行变异操作时的缩放因子值F(g)，对种群中的个体根据式(9)进行变异，然后交叉，选择。

④G=G+1，返回步骤②,直到满足最大迭代次数Gm。

3 基于改进差分进化算法的经济调度求解

将ADE算法应用于求解ED问题时，关键在于如何处理其需满足的等式及不等式约束条件。由于受DE算法中随机初始化操作及变异、交叉作用的影响，使得算法寻优过程中产生的解很难满足等式约束条件。为了有效获取算法的可行解，在此将阐述ADE算法对各约束条件的处理。

3.1 种群初始化

首先，在各机组可行的出力范围内，根据式(13)随机产生初始个体。

Pi=Pi,min+(Pi,max-Pi,min)×rand(0,1)

(13)

因此，初始后的个体必然满足机组出力约束条件。

3.2 机组输出功率的限制处理

将ADE算法用于解决ED问题时，算法进行变异操作后产生的新个体可能会违反约束条件。当这种情况发生时，采用式(14)的处理方法对越界的个体进行修正：

(14)

3.3 基于修复机制的等式约束处理

对于如何处理约束条件，近年来，学者们提出了多种处理方案，具体可分为四类：

①基于保护可行解的方法；

②基于罚函数的处理；

③明确区分可行解和不可行解的策略；

④杂交技术。

②若差值PowDiff大于既定阀值，转到步骤③，否则跳转到步骤⑧；

③计算违反系统平衡约束的均值PavgDiff=PowDiff/N;

④根据式(15)，调整所有发电机的输出功率为：

Pi=Pi+PavgDiff

(15)

判断重新生成的输出功率是否违反机组出力约束，若不违反该约束则进行下一步，否则按照式(14)进行修正后再进行下一步；

⑤根据新的Pi值，重新计算差值PowDiff，若小于既定阀值，进行步骤⑧，否则进行下一步；

⑥设置count=count+1,判断是否满足count

⑦随机选取一个发电机组r，调整其输出功率Pr=Pr+PowDiff后，判断重新生成的输出功率是否违反机组出力约束，若不违反该约束则进行下一步，否则按照式(17)进行修正后进行步骤⑧；

⑧迭代终止。

3.4 构造适应度函数

为了评价ADE算法的有效性，构造如下适应度函数：

(16)

式中：w为机组爬坡约束的惩罚因子；Ri为违反机组爬坡约束的指标。根据违反约束的数量,惩罚因子w相应地对机组成本函数进行惩罚。如果系统中不涉及机组爬坡约束，则w取值为0。

4 算例分析

本文以13个机组的测试系统为例，将本文提出的ADE算法与DE、JADE算法进行对比试验，以验证ADE算法的有效性。在把ADE算法应用到求解ED问题前，通过两个标准测试函数上对ADE进行算法仿真测试。测试函数列表如表1所示。

表1 测试函数列表

表1中：f1(x)为高维的单峰函数；f2(x)为存在多个局部最小值的复杂多峰函数，且局部最小值的数量随着问题的维数呈指数增加，因此在搜索过程中很容易进入到造成局部收敛的区域中。

各参数设置如下：函数维数D=30，种群规模NP=100，算法迭代最大终止次数Gm=9 000。原始DE算法中，变异因子取值0.5，交叉概率取值0.9。JADE中，各参数设置参考文献[12]。对3个算法分别连续独立运行20次得到的函数收敛曲线如图1所示。

图1 平均适应度变化曲线

图1(a)所示为截取 1 500代前Sphere函数的仿真结果。虽然在搜索前期，ADE收敛速度与JADE几乎接近，然而在搜索后期，DE算法和JADE算法因为种群多样度减少，在寻找最优解的过程中陷入了局部最优，而ADE算法通过不断调整种群多样度很快地收敛至全局最优解。从图1(a)可以看出，两个对比算法最后可能收敛到全局最优处，但是收敛时间明显比ADE耗时更多，且精度不如ADE算法。

由图1(b)可知，在处理多峰函数时，ADE算法无论是从收敛速度，还是从全局寻优能力上都明显优于另外两个算法，在很短时间之内搜索到了全局最优解，有效避免了算法进入局部收敛和算法早熟等问题，同时也提高了种群的收敛速度，搜索性能更为稳定。

为了进一步验证ADE算法的有效性，将以上三个算法同时应用到解决ED问题的实际情况中。测试系统总负荷1.8 GW，等式约束修复机制中惩罚因子w=107，阀值=50，最大迭代次数t=5，各机组的参数设置参照文献[13]。经过30次的反复试验后，本算例的各机组负荷分配优化结果如表2所示，系统发电费用比较如表3所示。

表2 13个机组负荷分配优化结果

表3 系统发电总费用及总出力比较

由表2及表3可知，ADE算法在求解带阀点效应的ED问题时具有明显的优势，所求得的系统总出力、系统最优发电费用及系统平均发电费用均优于DE算法和JADE算法所求结果，表明本文提出的ADE算法全局搜索能力更强、适应性更好。

5 结束语

实际优化问题往往具有未知性、复杂性、高维度等特性，标准差分进化算法不能有效实现其建模过程。本文在DE算法的基础上，引入BFS-best机制改进变异算子；考虑到算法进化过程中逐渐丧失的种群多样性，提出基于度量种群多样性的缩放因子自适应方法，从而提高了算法的全局收敛性能和搜索效率，避免了算法陷入局部最优。

此外，对于重点讨论的ED问题，本文提出了一种解决系统等式约束的修复机制,在满足约束条件和优化目标的前提下，将ADE算法成功运用到带约束的最优化问题中。试验结果表明，基于ADE算法实现的电力经济调度问题优化方法能在较短的时间内实现负荷的最优经济分配，在提高解的可行性和精度方面起了较好的作用。

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Application of the Improved Differential Evolution Algorithm in Power Economic Dispatch

For the purpose of optimizing the total cost of power generation for power generating system,the power economic dispatch (ED) model is built by combining the constraints of the unit in practical operation and the valve-point effect,and an improved differential evolution (ADE) algorithm is proposed to solve the model.Aiming at the contradiction between population diversity and convergence performance which is existing in standard traditional differential evolution algorithm,on the basis of measuring population diversity,a diminishing feasible solution selection mechanism based on sequencing is introduced to improve the mutation strategy current-to-best.In addition,the novel equality constraints repair mechanism is put forward to guarantee the feasibility of the solutions.Finally,test system with 13 units is used for simulation experiment; the results prove the effectiveness of ADE for solving ED model.

Generator unit Differential evolution Power economic dispatch Valve-point effect Population diversity Particle swarm optimization(PSD) Mutation strategy Repair mechanism

李荣雨(1977—)，男，2007年毕业于浙江大学控制科学与工程专业，获博士学位，副教授；主要从事工业过程优化与监控方向的研究。

TH86;TP18

A

10.16086/j.cnki.issn 1000-0380.201611012

修改稿收到日期：2016-05-05。