数学归纳法及其拓展

詹妍

摘 要：数学归纳法是数学证明中的重要而有力的工具，通常用于建立一个给定正整数集的命题，而根据应用的需求，数学归纳法有了许多形式的拓展，不仅从正整数集上初始条件、跳跃台阶进行拓展，还进行了适用数集的拓展，从正整数集到良序集，再到实数集；使之成为数学各个分支的重要证明手段.

关键词：良序集 超限归纳法 连续归纳法 集合思想

一、超限归纳法

中学常用的数学归纳法都是建立在正整数集上，随着康托尔在 1897年建立了集合论基础，而后对于良序集的特别理论，在此基础上将数学归纳法扩展为超限归纳法，也称为超穷归纳法.

（一）良序集的定义

定义 1设 S是一个集合， ≤是 S中一个二元关系满足：

（i）对任何 x∈S有 x≤x；

（ii）对任何 x，y∈S若有 x≤y，且 y≤x，则 x=y；

（iii）对任何 x，y，z∈S若有 x≤y，且 y≤z，则 x≤z；

（iv）对任何 x，y∈S均有 x≤y或 y≤x，则称≤为 S中的一个全序，（S，≤）称为一个全序集. 定义 2设 A是一个全序集，若 A的任何非空子集都有昀

小元，则称 A是良序集.

例：正整数集 N*是良序集.设 M是 N*的任意一个非空子集，任取一个数 m∈M，则 M中小于或等于 m的数不多于 m个，即有有限个，故存在一个昀小数 m0.

（二）超限归纳法及其原理

定理 1设（S，≤）是一个非空良序集，P（x）是与元素 x∈S有关的一个命题，如果：

（i）对于 S中的昀小元 a0，P（a0）成立；

（ii）假定对任何 x

立，则 P（x）对任何 x∈S都成立.

（m）不成立 .由（i）知 P（a0）成立，则 m>a0，则对于任意

）m（p）得ii）成立，由（t（P，则Σ.

t，有）t

成立，与 m∈Σ相矛盾，故 Σ=..

二、连续归纳法

数学归纳法和超限归纳法是对 “离散”的无穷数集做出判断的严格的数学方法，对于连续情形，直到 20世纪 80年代，张景中发现有一个十分简单而又便于掌握与应用的关于实数的归纳法，称为连续归纳法.

定理 2（关于实数的连续归纳法）设 P（x）是关于实数的一个命题，如果：

（i）有 a，当 I中的 x

（ii）如果对所有小于 y的 x，P（x）成立，则有 I中的

z>y，使得对所有小于 z的 x，P（x）成立；则对所有实数 x，P（x）成立. 定理 3（实数开区间上的连续归纳法）设 I是开区间，P

（x）是关于实数 x∈I的一个命题，如果：

（i）有 a∈I，当 I中的 x

（ii）如果对所有小于 y的 x∈I，P（x）成立，则有 I

中的 z>y，使得对所有小于 z的 x∈I，P（x）成立；

则对所有 x∈I，P（x）成立.

证：

（法 1）设开区间 I为（a，b），构造 X=

，其中，是使命题 P（x）成立的开区间，证明 X=（a，b）.

（法 2）证明一个适用于任意有序集的一般归纳原理，从中取有序集 I为开区间（ a，b），导出实数区间上的连续归纳法，再取 I为（-∞，+∞）时，就得到关于实数的连续归纳法，即定理 4.

对于实数闭区间的情形连续归纳法同样成立，有赵文静给出的关于实数的第二连续归纳法.

定理 4（实数闭区间上的连续归纳法）设 I是闭区间[a，

b]，P（x）是关于实数 x∈I的一个命题，如果：

（i）有 x0∈I，当 I中的 a≤x≤x0时，P（x）成立；

（ii）如果对所有小于等于 y的 x∈I，P（x）成立，则有

I中的 z≥y，使得对所有小于等于 z的 x∈I，P（x）成立；

则对所有 x∈I，P（x）成立.

证：构造一个实数 x的命题 P（x）*，使得在 x∈[a，b]时，P（x）*仍为 P（x），而当 xb时，P（x）*：x=x.根据定理 4可证明 P（x）*对一切实数成立，从而证明本定理成立.

在实际应用的过程中，还衍生出了其他形式的连续归纳法. 定理 5（绝对值形式的连续归纳法）设 P（x）是一个涉及实数 x的命题，如果：

（1）有某个 x0>0，使对一切|x|

（2）若对一切|x|0）有 P（x）成立，则有 z>y，

使得 P（x）对一切 |x|

则对一切实数 x，P（x）成立.

证：证集合 Σ={x|p（x）不成立 }=..

定理 6（“扩张”形式的连续归纳法）设 P（x）是定义在

（a，b）内的命题函数，如果

证：采用集合论的思想进行证明.设集合

，}a0≥S|x∈{x.

}不成立）x（P且

，a0∈（x，使对一切的）b，a（.

）b0，a0）有某个（l（a≥S|x

b0）有 P（x）成立；

）成立，x（P）有b，a（.

）bl，al∈（x）若对一切2（.

）2b，2a∈（x，使一切l>b2b，l

下证 Σ=..用反证法，若 Σ≠.，

由良序集必有昀小元知 Σ中有昀小元 m，满足 m≥a0，且 P

（a，b）有 P（x）

成立.

那么对一切 x∈（a，b）有 P（x）成立.

证：证集合 Σ={x∈（a，b）|p（x）不成立}=..

应用连续归纳法，可以证明连续函数的确界存在定理、区间套定理、有限覆盖定理、有界性定理、介值定理、昀大值定理等重要定理.

三、结语

本文归纳整理了数学归纳法各种形式的推广，对证明方法进行了简单的叙述，数学归纳法是数学证明中的重要而有力的工具，从正整数集到良序集，再到实数集，都有着各自的形式并得到了广泛的应用，为数学证明提供了一种新思路，甚至可以使原本复杂的证明变得简便.

参考文献：

[1]胡冠章，王殿军.应用近世代数[M].北京：北京大学出版社，2006.23-24

[2]张景中，冯勇.有序集的一般归纳原理和连续归纳法[J].科技导报，2008，26（6）：24-27

[3]李涛，张景中.连续归纳法的新证法及其应用举例[J].科技导报，2012，30（17）：54-55

[4]赵文静.关于第二连续归纳法原理[J].南京师大学报（自然科学版），2002，25（3）：116-117

[5]喻德生，王玉茜.连续归纳法及其应用[J].南昌航空大学学报，2009，23（2）：42-46