基于正则化的GPS/BDS单频单历元模糊度固定

王 静 赵兴旺 刘 超 张翠英

1 安徽理工大学测绘学院，淮南市舜耕中路168号，232001



基于正则化的GPS/BDS单频单历元模糊度固定

王 静1赵兴旺1刘 超1张翠英1

1 安徽理工大学测绘学院，淮南市舜耕中路168号，232001

针对单频单历元模糊度固定中的秩亏问题，给出一种基于双差载波系数阵奇异值分解的正则化方法。通过对坐标改正参数进行约束，改善法矩阵的病态性，并结合LAMBDA方法实现单历元模糊度固定。采用长度不同的两组GPS/BDS基线数据进行单频单历元模糊度解算，并与选权拟合法比较。结果表明，采用该方法，5.8 m基线BDS系统模糊度解算成功率提高17.61%，2.34 km基线GPS、BDS及GPS/BDS模糊度解算成功率分别提高4.67%、3.56%和3.63%。当截止高度角为10°时，E、N方向定位精度达到mm级，U方向达到mm至cm级。

单频单历元；正则化；GPS/BDS；模糊度固定

单历元模糊度解算具有无需考虑卫星升降、有效避免周跳探测和修复、失锁后能够快速实现再固定等优点，相对于多历元解算更高效、更具稳定性[1-2]。目前单历元模糊度解算多基于双频或三频。如祝会忠等[3]通过对宽巷模糊度进行分组，选择方差较小的宽巷组合进行模糊度搜索，实现单历元模糊度解算；唐卫明等[4]利用LAMBDA方法搜索3组最佳宽巷模糊度组合，通过设置不同的阈值依次对3组模糊度组合进行Ratio值检验；陶庭叶等[5]基于伪距和宽巷载波相位双差观测方程，采用Helmert验后方差估计定权，实现GPS/BDS组合系统单历元基线解算。单频单历元模糊度固定的研究相对较少，一般利用先验信息或其他外部观测值来辅助解算模糊度，或通过正则化方法解决单历元方程的病态问题。如戴吾蛟等[2]利用变形特征和最大变形量作为约束，直接建立模糊度搜索空间；唐卫明[6]通过附加基线长度约束实现BDS单频单历元模糊度固定，固定率较伪距联合载波相位法提高了1倍，但低于双频单历元模糊度固定；王振杰等[7]提出一种考虑随机模型精化的单频单历元算法，取得较好的效果。

综上所述，尽管伪距和载波相位组合方法可以解决法方程秩亏的问题，但因伪距观测值与载波相位观测值精度相差较大，在一定程度上降低了基线解算的精度；而通过基线长度等约束条件虽然可以降低法方程的病态性，但对先验信息的依赖性较强。本文通过对系数阵进行奇异值分解构造正则化矩阵，改善了法方程的秩亏问题，得到更加可靠的模糊度浮点解和均方误差矩阵，并结合LAMBDA算法实现GPS/BDS单频单历元模糊度固定。最后，通过与伪距联合载波相位的选取拟合法进行对比，验证了本文方法的有效性。

1 GPS/BDS单频单历元解算的数学模型

对短基线而言，双差观测模型可消除或削弱基准站和移动站间大部分共性误差。在GPS/BDS组合相对定位中，由于接收机锁定GPS和BDS卫星信号时存在时间基准偏差，当采用GPS和BDS系统载波相位观测值L1、B1进行单历元解算时，需在各自系统内部独立选取参考卫星构建双差方程[8]。设某历元基准站与移动站间共视n+2颗卫星，则可以组成n个双差观测方程：

(1)

式中，G、C分别表示GPS和BDS卫星；k、r分别表示基准站和移动站；i、j表示GPS观测卫星，其中i为参考卫星；p、q表示BDS观测卫星，其中p为参考卫星；λ为载波波长；φ为载波相位观测值；N为载波相位整周模糊度；l、m、n为接收机到卫星视线方向单位向量；dX、dY、dZ为待求坐标改正数；L为卫星到接收机间距离；ε为双差观测噪声。在数据处理时，各系统内部采用高度角定权，而系统间则采用经验值1∶1定权[9]。

简化后GPS/BDS组合相对定位载波双差方程的矩阵形式为：

(2)

将观测值权阵P单位化，对式(2)进行等价单位权变换得：

(3)

2 基于正则化的载波相位解算模型

对于秩亏问题，常用的解决方法有岭估计、截断奇异值法、Tikhonov正则化方法。但在GNSS快速定位中，前两种方法效果不太理想，而正则化是目前解决病态问题的主要方法。借鉴其思想，同时避免对先验信息的过分依赖，根据Tikhonov正则化原理[10-11]，通过选择合适的正则化矩阵R,对法方程增加3个约束条件，将单频单历元双差载波方程转化成满秩问题。对式(3)采用如下估计准则：

(4)

式中，Ω(X)为稳定泛函，‖·‖为欧氏2范数，α为正则化参数，R为正则化矩阵。在稳定泛函约束下，求得正则化后的解：

(5)

对应于载波双差方程中解的表达形式为：

(6)

2.1 正则化矩阵R的构造

(7)

式中，U为n×n阶正交矩阵，D为n×1阶矩阵，V为(n+3)×n阶矩阵。令D1=diag(D)，通过对V、D1分块，对待求坐标改正参数添加约束。具体分块形式如下：

(8)

令

(9)

得：

(10)

由式(10)得到的正则化矩阵R是秩为3的n+3 阶奇异方阵，其中左上角的3阶矩阵不为0。

2.2 正则化参数α的选择

当正则化矩阵R选定后，利用L曲线法[12]求解正则化参数α。令

(11)

两边分别取对数,得：

(12)

(13)

由式(13)中最大曲率kmax得到正则化参数α后，结合式(10)得到的正则化矩阵R，便可对坐标改正参数进行约束，进而求得待求未知数。

3 算例分析

为了验证本文方法在单频单历元解算中的有效性，分别采用长度为5.8 m和2.34 km的两条基线进行GPS、BDS、GPS/BDS静态单历元基线解算。其中，5.8 m基线选取2013-03-16 10:10～10:40观测数据，2.34 km基线选取2015-11-08 14:20～14:45观测数据，采样间隔均为1 s，截止高度角均设为10°。

3.1 模糊度解算结果分析

分别采用伪距联合载波相位的选权拟合法[13](简称选权拟合法)和本文所提出的正则化方法(简称正则化法)对GPS、BDS及GPS/BDS组合系统进行单频单历元模糊度解算，从模糊度的固定率和成功率两方面对模糊度解算结果进行有效性检验[14-15]：

图1给出了两条基线基于正则化方法和选权拟合法的模糊度解算Ratio值序列，表1统计出两种方法下模糊度解算的固定率。

图1 两种方法下两基线Ratio值序列Fig.1 Ratio values of two baselines in two methods

基线解算方法固定率GPSBDSGPS/BDS5.8m正则化法100%100%100%选权拟合法100%70.78%98.17%2.34km正则化法96.67%100%98.52%选权拟合法65.85%71.56%62.44%

从图1和表1可以发现，采用正则化法，单系统和组合系统在模糊度固定率得到提高的同时Ratio值也得到相应改善，使大于阈值的历元数得到增加。尤其是BDS的病态性改善效果最佳，固定率提高比例高于GPS和GPS/BDS。分析表1中的结果可知，2.34 km基线使用选权拟合法时，组合系统固定率低于单GPS系统和单BDS系统，这跟阈值的选择及北斗观测卫星在观测时段保持较高的卫星高度角有关。当阈值定为2时，组合系统固定率高于单GPS系统而低于单BDS系统。总的来说，利用正则化法改善病态后，短基线下单系统与组合系统单频载波单历元相对定位的模糊度解算性能基本相当。

表2 模糊度解算成功率

从表2可知，基于选权拟合法的单频单历元模糊度解算效果稍差，且GPS/BDS组合系统与观测质量较好的单系统解算成功率相当。但采用本文正则化方法后，模糊度解算成功率均有显著提高，各系统模糊度解算成功率均达到100%。对于5.8 m基线，GPS和GPS/BDS系统在两种方法下的固定率一样，而BDS模糊度解算成功率比选权拟合法提高了17.61%；2.34 km基线中各系统模糊度解算成功率相对于选权拟合法分别提高4.67%、3.56%、3.63%。

3.2 定位精度分析

由于选权拟合法进行基线解算时模糊度固定成功率相对较低，定位效果较差，本节仅对基于正则化方法的单频载波相位定位精度进行分析，采用事后静态处理获得的坐标作为参考值。图2(a)～(b)给出了两基线各系统在E、N、U方向的基线偏差。

图2 两基线GPS、BDS、GPS/BDS在E、N、U方向的偏差Fig.2 The deviation components in E, N and U for GPS, BDS and GPS/BDS of two test baselines

从图2可知，GPS/BDS组合系统的基线分量偏差解算结果比单系统要稳定。1)5.8 m基线中GPS和GPS/BDS在E、N方向的偏差在±5 mm范围内，U方向偏差在±2 cm范围内。由于BDS观测噪声较大，且空间几何稳定性较差，定位精度低于GPS和GPS/BDS，E、N方向偏差范围为-1～0.5 cm，U方向偏差范围为-2～6 cm。2)2.34 km基线中GPS/BDS解算结果相对较稳定，在E和U方向上偏差范围明显小于单系统，分别为-1.5～0 cm和1～3 cm；N方向偏差与单系统相近，为-0.15 m～-8 cm。相比之下，GPS中E和U方向偏差在前400个历元有较大的抖动。基线偏差解算结果进一步验证了基于正则化法单历元模糊度固定的可行性。

在单历元模糊度正确固定的基础上，对两基线GPS、BDS及GPS/BDS的内符合精度进行统计，见表3，其中内符合精度为：

(14)

表3 定位精度统计

通过表3可以看出：1)5.8 m基线中GPS 系统和GPS/BDS组合系统单历元定位精度相当，BDS定位精度稍差，尤其是U方向误差，约是GPS和GPS/BDS系统的2倍；2)2.34 km基线中GPS/BDS组合系统单历元定位精度高于单GPS系统和单BDS系统，BDS系统因测段时间内保持较多的可见卫星，且有较高的卫星高度角，噪声较小，定位精度仅次于GPS/BDS而优于GPS。

4 结 论

本文针对单频单历元模糊度固定的秩亏问题，通过对载波双差方程系数阵进行奇异值分解构造正则化矩阵，改善了单频单历元观测方程的病态性。采用长度不同的短基线数据对该方法进行验证，得出以下结论：采用文中正则化法，两基线GPS、BDS和GPS/BDS均可实现单频单历元模糊度固定，模糊度解算成功率均达到100%，同时大于Ratio阈值的历元数也得到增加。5.8 m基线GPS和GPS/BDS定位精度在E、N、U方向达到mm级，BDS定位精度相对差些；2.34 km基线BDS和GPS/BDS定位精度在E、N方向可达mm级，在U方向达到cm级。对于不同长度基线的正则化法单频单历元定位，单系统与组合系统相比定位精度或高或低，相比之下，组合系统具有较好的稳定性。总的来说，短基线下单频单历元载波定位可以达到mm至cm级。

由于双差方程中大气延迟等残余误差的影响，本文仅对短基线GPS/BDS组合系统进行分析，正则化后固定率与Ratio值的关系及中长基线单频单历元模糊度固定问题还有待进一步研究。

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About the first author:WANG Jing, postgraduate, majors in GNSS ambiguity fixing, E-mail：1637077276@qq.com.

Single-Frequency Single-Epoch Ambiguity Resolution for Combined GPS/BDS Based on Regularization

WANGJing1ZHAOXingwang1LIUChao1ZHANGCuiying1

1 School of Geodesy and Geomatics，Anhui University of Science and Technology，168 Shungeng Road，Huainan 232001，China

For the issue of rank deficiency in single-frequency single-epoch ambiguity resolution, a regularization matrix constraining coordinate correction parameters is constructed by singular value decomposition on coefficient matrix of double-differenced carrier phase observation equations, in order to improve the ill-condition of normal equation. Single-epoch ambiguity fixed solutions are then acquired using the LAMBDA method. Compared with fitting method of weights, the results indicate that for a 5.8m baseline, the ambiguity resolution success rate of BDS is increased by 17.61%, while the GPS, BDS and GPS/BDS of 2.34 km are increased by 4.67%, 3.56% and 3.63%, respectively. In addition, positioning precision in the East and North reaches the millimeter and millimeter to centimeter levels in Up , when the cut-off elevation angle of satellites is taken as 10°.

single-frequency single-epoch；regularization；GPS/BDS；ambiguity resolution

National Natural Science Foundation of China, No.41404004, 41474026; Natural Science Foundation of Anhui Province, No.1408085QD72; Postdoctoral Science Foundation of Anhui Province, No.2015B044; Young Foundation of Anhui University of Science & Technology, No. QN201512．

2016-01-05

项目来源：国家自然科学基金(41404004，41474026)；安徽省自然科学基金(1408085QD72)；安徽省博士后基金(2015B044)；安徽理工大学青年基金(QN201512)。

王静，硕士生，主要从事GNSS模糊度固定理论与方法研究，E-mail：1637077276@qq.com。

10.14075/j.jgg.2016.12.011

1671-5942(2016)012-1083-05

P228

A