采用快速近似幂迭代子空间估计的贝叶斯波束形成①

徐皖峰 韩玉兵 TRAN Vanha



采用快速近似幂迭代子空间估计的贝叶斯波束形成①

徐皖峰②韩玉兵③TRAN Vanha

(南京理工大学电子工程与光电技术学院 南京 210094)

针对深空探测过程中射电天文望远镜的输出性能会受到导向矢量不确定和强干扰的严重抑制的问题，进行了波束形成研究，提出了一种新的贝叶斯波束形成算法。该算法首先通过快速近似幂迭代(FAPI)来准确地估计干扰子空间，再通过子空间投影使得波束形成权重垂直于干扰子空间以实现对强干扰的有效抑制，最终在贝叶斯估计的框架下，递归地估计出波束形成权重。仿真实验的结果表明，该算法具有很好的鲁棒性和抗干扰能力。该算法在收敛后具有与最优Max-SINR波束形成器相似的性能。

贝叶斯估计， 子空间投影， 快速近似幂迭代(FAPI)， 导向矢量不确定， 强干扰

0 引 言

在阵列信号处理过程中，常常采用自适应波束形成来增强传感器阵列输出的有用信号和抑制干扰和噪声[1]。自适应波束形成技术随着阵列信号处理的不断发展已被广泛应用于雷达、声纳、射电天文学、语音处理和无线通信等领域[2]。然而，自适应波束形成器对信号导向矢量的误差是极其敏感的，这会严重抑制自适应波束形成器的输出性能。目前有多种克服任意导向矢量误差的方法，其中应用较多的是最小方差无失真响应鲁棒自适应波束形成[3]、对角加载方法[4]以及约束最小方差方法[5]。但这些方法提高对不确定导向矢量的鲁棒性是以降低对噪声和干扰的抑制为代价的，从而导致其难以在实际中广泛应用。而文献[6]给出的最大似然(maximum likelihood，ML)估计和最大后验(maximum aposteriori，MAP)估计显示，以随机统计为基础的方法也可用来解决导向矢量的不确定问题[7-9]。最为流行的随机方法则是贝叶斯波束形成算法，它派生于最小均方误差(minimum mean square error，MMSE)估计[10]。贝叶斯估计方法假定不确定的导向矢量或波束到达方向(direction of arrival，DOA)为一个带有能够描述不确定性水平前验分布的随机向量或随机变量。

本文主要研究射电天文望远镜相控阵馈源系统的数字波束形成技术。在此背景下，除了导向矢量误差问题外，深空探测过程中的环境干扰，尤其是人工电磁干扰，也会严重影响射电天文望远镜的探测性能。与微弱的天文信号相比，人工电磁干扰都可视为强干扰。对于这种情况，由于常规的自适应波束形成算法不能形成很深的零限，以迫零准则为基础的子空间投影方法就成为一个更好的选择[11]，这就需要准确地估计干扰子空间。本文对射电天文望远镜探测过程中的强干扰和导向矢量不确定的问题展开了深入研究，并提出了一种新的贝叶斯波束形成算法。该算法先用快速近似幂迭代(fast approximated power iteration ，FAPI)在线估计强干扰的子空间[12]，然后通过子空间投影使得波束形成权重垂直于干扰子空间，实现强干扰的抑制，再运用贝叶斯模型消除导向矢量不确定的影响，最终递归地估计出波束形成权重。该算法能够在递归贝叶斯估计的框架[13]下实现自适应波束形成，并且在波束形成的过程中，干扰加噪声协方差矩阵和信号功率均被假定为已知。该算法的优势在于可以充分利用之前采样的数据，而不仅仅是近期短时积分(short time integration，STI)窗中包含的少量有效信息也不同于参考文献[14,15]中给出的波束形成器，它将波束形成权重建模为复高斯随机矢量，而将波束到达方向(DOA)的不确定性建模为一个随机变量，并在假设强干扰远离期望的波束形成器主瓣后，采用最大后验(MAP)估计来确定波束形成权重。

1 信号模型

假设接收天线阵列是G个阵元均匀排布的一维线阵，阵元间距λ/2(λ为接收信号波长)，窄带信号处理，在快拍k时的阵列输出为

(1)

Rx=E{x[k]xH[k]}=Rs+Rd+Rn

(2)

式(1)对应的窄带波束形成器是由G个复权重组成的线性处理器，输出表示为

z[k]=wHx[k]

(3)

其中w是波束形成权重矢量。

需要强调的是，式(1)中给出的干扰被假设为连续的强干扰。这个假设在射电天文学和无线通信等领域普遍存在。借助强干扰与信号及噪声之间在特征值上的显著差别，通过一些方法可以在接收信号中区分并且滤除干扰。通常，对于一个信号加干扰加噪声接收机模型，只有当干信比(interferencetosignalratio，ISR)和干噪比(interferencetonoiseratio，INR)都大于10dB时，干扰才可以被称为是强干扰。

2 子空间投影波束形成

为了消除干扰，波束形成器权重矢量w被设计为满足

wHV=0

(4)

其中V=(v1,…,vM)表示干扰子空间。运用子空间投影空域滤波算法，以短时积分(STI)为单位进行的时变子空间投影波束形成权重矢量计算可以表示如下：

w=Pa

(5)

其中P是干扰子空间V的垂直投影矩阵。显然，子空间投影波束形成权重w可以被视为是导向矢量a在V的垂直子空间中的投影。

在上述推导的基础上，可以采用贝叶斯方法递归地估计波束形成器权重w。假设已知STI长度为K，在第j个STI中接收到的信号样本为Xj=(x[jK],…,x[(j+1)K-1])，可以如下计算Rx的样本估计：

(6)

因为强干扰的存在，投影算子P可以估计为

(7)

其中Ud, j包含由Rx特征值分解产生的m个最大的特征值响应得到的归一化特征向量。在强干扰和已知干扰个数M的条件下，采用垂直子空间投影的方法会显著抑制干扰[16]。实际上，强干扰的个数M可以由最小描述长度(minimumdescriptionlength，MDL)算法来估计[17]。

3 基于FAPI的贝叶斯波束形成

本节提出了一种基于快速近似幂迭代(FAPI)进行子空间估计的贝叶斯波束形成算法。贝叶斯估计模型可以用来消除不确定导向矢量的影响，而FAPI算法可以准确地估计出干扰子空间。

3.1 贝叶斯波束形成

为了估计波束形成权重w=Pa，在每一个STI中，首先构造一系列新的信号样本Yj=(y[jK],…,y[(j+1)K-1])，即

(8)

(9)

y[k]在第j个短时积分(STI)中的协方差计算如下：

(10)

给出样本Y0:j={Y0,…,Yj}，可以采用最小均方误差(MMSE)估计来确定波束形成权重：

(11)

根据贝叶斯原理，后验概率密度函数(probabilitydensityfunction，PDF)可以表示为

(12)

其中，p(Yj|Y0:j-1)=∫p(w|Y0:j-1)p(Yj|w)dw是归一化概率。

因为导向矢量不确定，所以波束形成权重w=Pa也同样是不确定的。假设已知后验PDFp(w|Y0:j-1)是一个均值为wj-1，协方差为Cj-1的复高斯随机分布，则有

p(w|Y0:j-1)=

(13)

这样假设的原因是高斯分布可以公式化表示，在此基础上可以将wj-1和Cj-1表示成递归形式。根据上述假设，得到似然函数

p(Yj|w)

(14)

式中|Ry, j|有如下形式：

(15)

(16)

再根据文献[15]，似然函数可以如下计算：

(17)

(18)

考虑到式(13)中的复高斯随机分布，可以得到如下推导：

(19)

由此，式(17)可以被简化为

p(Yj|w)

(20)

其中，

且知γj可以对函数进行归一化。将式(13)和式(20)代入式(12)中，得到后验概率密度p(w|Y0:j)如下：

p(w|Y0:j)

(21)

上式的推导中，

(22)

综上可知后验PDFp(w|Y0:j)是一个均值为wj，协方差为Cj的复高斯随机过程，并且可以表示为以下形式：

(23)

3.2 FAPI子空间跟踪方法

正如第2节所述，为了得到垂直投影矩阵P，必须先求得Ud, j，而Ud, j被视为是M个强干扰的子空间。常用的子空间估计方法包括典型的特征值分解和奇异值分解。受限于它们的计算量，本文需要采用一些新的、计算复杂度较小的算法来实现干扰子空间的准确估计。文献[12]给出了近似幂迭代子空间跟踪的一种快速应用，即FAPI子空间估计算法。该算法具有结构简单，正交性强以及计算复杂度低等优点。表1列出了FAPI算法的计算步骤，在每一个STI的所有快拍中都会进行这些操作，从而获得由强干扰响应得到的干扰子空间。

表1 FAPI子空间估计算法

表1中，βF为遗忘因子，是一个以指数方式来减小前面快拍对当前快拍影响的参数，在本文中设置βF=0.998。对于算法初始化，可以在单个STI的FAPI迭代中，保存由前一个快拍求得的U(k-1)和Z(k-1)来作为当前快拍FAPI子空间迭代的初始值U(0)和Z(0)。这个做法同样适用于不同STI间的迭代传递过程。而针对仿真开始时第一个STI中的第一个快拍，可以将Z(0)设置成维数为M·M(M为干扰个数)的单位阵，而将U(0)设置为G·M(G为阵元数)的零矩阵，且将其对角元素gii(i为正实数，且i≤M)设置为1，以此来模拟FAPI迭代的初始值。

3.3 算法总结

假设p(w|Y1:j-1)是均值为wj-1，协方差为Cj-1的复高斯随机概率密度函数(PDF)，那么在第j个短时积分(STI)中的自适应贝叶斯波束形成可以总结如下：

(1) 运用表1中的FAPI子空间估计算法来递归估计干扰子空间Ud, j；

(4) 运用式(22)和(23)计算p(w|Y1:j)并更新权重矢量wj和Cj。

表2中列出了上述步骤的计算复杂度。若默认K>G>M，则由表2可知，本文提出的算法的计算复杂度为O(G2K)，与线性约束最小方差(linearlyconstrainedminimumvariance,LCMV)和最大信干噪比(Max-SINR)波束形成器的计算复杂度一致(因为在仿真过程中，LCMV波束形成器和Max-SINR波束形成器的计算复杂度均可视为O(G2K))。从表2中还可以看出FAPI迭代过程的计算复杂度低于特征值分解等传统子空间估计方法的计算复杂度。

表2 本文算法的计算复杂度(G：阵元数，M：干扰数，K：STI长度)

4 仿真实验

(24)

针对递归算法的初始化，设置初始值为C0=0.001I，w0=(Pr+δpI)a0。其中，Pr是理想的干扰子空间垂直投影矩阵，a0是均值为ar，协方差矩阵为δaI的复高斯随机过程。参数δa和δp分别满足

(25)

式中tr{·}表示求矩阵的迹；UR表示不确定度，是一个用来表征初始波束形成权重不确定程度的变量，UR越大表明不确定程度越严重[6]。

仿真中提供了具备真实导向矢量ar和理想干扰加噪声协方差矩阵Rd+Rn的最优Max-SINR波束形成器作为参考，它的波束形成权重为

wMax-SINR=(Rd+Rn)-1ar

(26)

4.1 算法的收敛性和鲁棒性

首先检验本文算法的收敛性。图1展示了不同信噪比(SNR)条件下，对于不同的UR，输出SINR随STI参数的变化。由图1可以看到，即便是导向矢量不确定程度很高(例如UR=20dB)，本文提出的波束形成器仍具备良好的收敛性能。随着时间的推移，不同UR和SNR条件下的输出都达到了与Max-SINR波束形成器的SINR输出相同的水平。图2给出了UR=20dB，SNR为-30dB和-40dB时本文提出的波束形成器的收敛性能检验结果。从图中可以看到，本文提出的波束形成器在甚低信噪比的条件下仍能正常收敛，说明它可以被用来探测深空中微弱的天文信号。

图1 不同SNR条件下，对于不同的UR，输出SINR随STI参数的变化

图2 甚低信噪比情况下，UR=20dB时，输出SINR随STI参数的变化

(27)

图3 单次实验中，对于不同情形，Prar和之间的矢量角误差。

干噪比(dB)矢量角误差(°)SINR(dB)Max-SINR(dB)200.204812.763912.7725150.263012.754812.7725100.451312.742812.772551.526912.573212.7725089.9504-52.162012.7725

表4 不同STI长度下本文算法的鲁棒性能评估

4.2 与其它算法的比较

图4 不同UR条件下，对于不同的波束形成器，输出SINR随SNR的变化

由图4和图5可以知道，本文所提出的贝叶斯波束形成器在大多数情况下性能优于其他方法的波束形成器，且知该波束形成器具备与最优Max-SINR波束形成器相似的性能。与LCMV和子空间投影方法相比较，本文提出的波束形成器能产生更高的SINR输出和更好的波束形状。这是因为本文提出的方法能够利用包含在过去STI窗中的波束形成权重信息，而LCMV和子空间投影方法只能简单地利用包含在当前STI窗中的信息。与文献[14,15]中给出的其他三种递归贝叶斯波束形成器相比，本文提出的方法在SINR输出和波瓣形状上有一定的改善效果，特别是在高SNR的情况下改善效果更为明显。此外，从图4中还可以知道，在低SNR的情况下，本文所提出的波束形成器与文献[14,15]中的波束形成器之间的差异很小。原因之一是当SNR较小时，包含在接收数据中的波束形成权重信息很少；另一个原因是DOA的前验PDF对于文献[14,15]中的波束形成器更好。所以在这种情况下，本文所提出的方法对于SINR的改善不是很重要。与ML和MAP波束形成器相比，本文所提出的方法在低SNR的条件下展现出了更好的SINR输出。这是因为相较于ML和MAP，本文所提出的方法能利用到所有先前观测的有效数据。然而，在高SNR的条件下，ML和MAP在一定程度上具备更好的SINR输出性能。出现这种情况的原因是在仿真中利用了理想的干扰加噪声协方差矩阵Rd+Rn来计算ML和MAP的波束形成权重，与此同时，这种假设在本文所提出的方法中是不必要的。

图5 单次实验中，不同波束形成器的波瓣图

表5 不同干扰移动速率下所提出算法的鲁棒性能评估

5 结 论

本文提出的递归贝叶斯波束形成算法能够有效地解决射电天文望远镜探测过程中导向矢量不确定和强干扰的问题。在贝叶斯估计的框架下，该算法能够充分利用之前采样的数据而不仅仅是近期的STI窗中包含的少量有效信息，从而实现递归地估计波束形成权重。仿真实验的结果表明，与LCMV，子空间投影，ML，MAP，以及其他三种递归贝叶斯波束形成器相比，本文提出的波束形成器具备更好的性能参数。收敛之后，它具有与最优Max-SINR波束形成器相似的性能。此外，该算法仍然存在三个方面的局限性：(1)对低于-30dB的甚低信噪比情况，该算法未能展现出稳健的波束形成性能；(2)对于干扰移动速率比较大的情况，该算法未能表现出很好的鲁棒性；(3)信号和噪声的功率在本文中都被假设为已知，不符合实际情况的要求。对于这三个问题，有必要开展进一步的研究。

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Bayesian beamforming using fast approximated power iteration subspace estimation

Xu Wanfeng， Han Yubing， TRAN Vanha

(School of Electronic and Optical Engineering, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094)

To solve the problem that in the process of deep space exploration, the output performance of a radio telescope is suppressed severely by steering vector uncertainty and strong interferences, the Bayesian beamforming was studied and a new Bayesian beamforming algorithm was proposed. The algorithm estimates the interference subspace by fast approximated power iteration (FAPI), then, effectively inhibits strong interferences by using subspace projection to make the beamforming weight perpendicular to the interference subspace and finally, recursively estimates the beamforming weight under the Bayesian estimation framework. The simulations demonstrated the good effectiveness and robustness of the proposed beamforming algorithm. After convergence, its performance was similar to the optimal Max-SINR beamformer.

Bayesian estimation， subspace projection， fast approximated power iteration (FAPI)， steering vector uncertainty， strong interference

10.3772/j.issn.1002-0470.2016.01.013

① 国家自然科学基金(11273017，61471196)资助项目。

�，E-mail: hanyb@njust.edu.cn(

2015-06-26)

② 男，1992年生，硕士生；研究方向：阵列信号处理和自适应数字波束形成算法；E-mail： xwfnjust@163.com