数字“1”与高中数学的渊源

钱见宝

高中数学中有许多与“1”有关的知识，指数函数图象经过的定点（0，1），对数函数图象经过的定点（1，0），三角函数中借助单位圆定义正弦、余弦、正切，sin2α+sin2α=1，椭圆、双曲线的标准方程右边为1，椭圆离心率在0到1之间，双曲线离心率大于1，抛物线离心率等于1，平面向量中的单位向量，必然事件的概率为1等.如此多的知识都与它有关，可见“1”确实与高中数学知识与较深的渊源.

高中数学中有许多题目与“1”有关，若能准确地应用与“1”有关的知识，合理地利用“1”在题目中所扮演的角色，巧妙的转化“1”， 将大大地简化计算量和计算过程，能收到事半功倍的良效.

一、可以被代换的“1”

例1已知

sinα+3cosα3cosα-sinα=5，则sin2α-sinαcosα的值是.

解由

sinα+3cosα3cosα-sinα=5得

tanα+33-tanα=5，即tanα=2，所以sin2α-sinαcosα=

sin2α-sinαcosαsin2α+cos2α=tan2α-tanαtan2α+1=25.

评价由于任何非0实数与1相除都等于这个数，所以把所求式子看成分母为1的分式，并用平方关系整体代换1，将其化成齐次式，目的是可利用商数关系向正切函数转化，进而求值.

例2若正数x，y满足x+y=4xy，则x+y的最小值为.

解由x+y=4xy得14y+14x=1（x>0，y>0），

则x+y=（x+y）（14y+14x）=x4y+y4x+12≥2x4y·y4x+12=1，

当且仅当x4y=y4x，即x=y时等号成立.

评价由于任何非0数与1相乘都等于这个数，所以通过已知等式生成1，整体代换，将其化成齐次式，目的是为应用基本不等式两数相乘时提供定值.

二、容易被遗忘的“1”

例3已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2n+b，求数列an的通项公式.

解当n=1时，a1=S1=2+b；

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（2n+b）-（2n-1+b）=2n-1.

当b=-1时，a1适合此等式；当b≠-1时，a1不适合此等式.

所以当b=-1时，an=2n-1；当b≠-1时，an=2+b，n=1，2n-1，n≥2.

例4求证：（n+1）（n+2）·…·（n+n）=2n·1·3·5·…·（2n-1）（n∈N*）.

证明（1）当n=1时，等式左边=2，右边=21·1=2，所以等式成立.

（2）假设当n=k（k∈N*）时，等式成立，

即（k+1）（k+2）·…·（k+k）=2k·1·3·5·…·（2k-1）.

当n=k+1时，左边=（k+2）（k+3）·…·2k·（2k+1）（2k+2）

=2·（k+1）（k+2）（k+3）·…·（k+k）·（2k+1）

=2·2k·1·3·5·…·（2k-1）·（2k+1）

=2k+1·1·3·5·…·（2k-1）（2k+1）.

这就是说当n=k+1时，等式成立.

根据（1）、（2）知，对n∈N*，原等式成立.

评价解答数列中an与Sn相关的问题和利用数学归纳法证明时，不能忘记对n=1的研究.三、隐藏在深处的“1”

例5若a=30.6，b=log30.2，c=0.63，则a ，b，c 从大到小的顺序为.

解由于30.6>1，

log30.2<0，0<0.63<1，所以a>c>b.

评价在指数式、对数式的大小关系比较时，通常会选择1作为中间量.

例6已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（X<4）=0.8，则P（0

.

解由P（X<4）=0.8，得P（X≥4）=0.2.由题意知正态曲线的对称轴为直线x=2，P（X≤0）=P（X≥4）=0.2，所以P（0

评价正态分布相关问题，抓好正态曲线的对称性和正态曲线与x轴之间的面积为1完成解答.

例7如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC

于不同的两点M、N，若AB=mAM，AC=nAN，则m+n的值为.

解因为AO=12AB+12AC=12mAM+12nAN，

所以12m+12n=1，得m+n=2.

评价本题应用了直线向量参数方程（已知A、B是直线l上的任意两点，O是l外一点，则对直线l上任意一点P，存在实数t，使OP=（1-t）OA+tOB.）中隐含的1（OA，OB的系数和为1），极大地提高了解题效率.