二次函数易错点分析

吴存红

二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型，其图像和性质都比一次函数和反比例函数复杂，二次函数与一元二次方程联系紧密，相关的计算量也较大，特别是二次函数的应用更加广泛和灵活多变，因此本章的学习有一定难度，同学们常常会在以下方面出现错误.

易错点一 概念不清，忽略系数

例1 已知二次函数y=kx2-6x+3的图像与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）

A.k<3 B.k<3且k≠0

C.k≤3 D.k≤3且k≠0

【错解】选C.由题意，得Δ=（-6）2-4k·3≥0，解得k≤3，故选C.

【正解】选D.由题意，得Δ=（-6）2-4k·3≥0且k≠0，解得k≤3且k≠0，故选D.

【点评】当k=0时，二次项系数为0，此时原函数不是二次函数.欲求k的取值范围，须同时满足：①函数是二次函数；②图像与x轴有交点.不能只注意Δ≥0而忽略了二次项系数不等于0.

例2 若y关于x的函数y=（a-2）x2-（2a-1）x+a的图像与坐标轴有两个交点，求a的值.

【错解】因为函数y=（a-2）x2-（2a-1）x+a的图像与坐标轴有两个交点，而其中与y轴有一个交点（0，a），则与x轴就只有一个交点，所以关于x的一元二次方程（a-2）x2-（2a-1）x+a=0有两个相等的实数根，所以Δ=[-（2a-1）]2-4（a-2）·a=0，解得a=-[14].

【正解】当函数y是x的一次函数时，a=2，函数的解析式为y=-3x+2，函数图像与y轴的交点坐标为（0，2），与x轴的交点坐标为[23，0]，所以a=2符合题意；

当函数y是x的二次函数时，因为函数y=（a-2）x2-（2a-1）x+a的图像与坐标轴有两个交点，而其中与y轴有一个交点（0，a），则与x轴就只有一个交点，所以关于x的一元二次方程（a-2）x2-（2a-1）x+a=0有两个相等的实数根，所以Δ=[-（2a-1）]2-4（a-2）·a=0，解得a=-[14]；

而当a=0时，与y轴的交点为原点，此时，解析式为y=-2x2+x，它的图像与x轴还有一个交点[12，0]，符合题意.

综上所述，a=2或a=-[14]或a=0.

【点评】本题关于函数的描述是“y关于x的函数”，并没有指明是二次函数，而且二次项系数（a-2）的取值不确定，所以需要分情况进行讨论.

易错点二 已知图像，忽略隐含

例3 如图1，已知二次函数y=x2+bx+c的图像与y轴交于点C，与x轴的正半轴交于A、B，且AB=2，S△ABC=3，则b的值为（ ）.

A.-5 B.4或-4 C.4 D.-4

【错解】选B.根据题意AB=2，S△ABC=3，得OC=3，所以C（0，3），即c=3.

由AB=2，得方程x2+bx+c=0的两根值差为2，所以[-b+b2-122]-[-b-b2-122]=2，

解得b=±4.故选B.

【正解】选D.

【点评】错解中忽略了“抛物线的对称轴x=-[b2]在y轴的右侧”这一隐含条件，正确的解法应是同时考虑-[b2]>0，得b<0，所以b=4应舍去，故应选D.

易错点三 交点问题，忽略前提

例4 已知抛物线y=-[12]x2+（6-[m2]）x+m-3与x轴有两个交点A、B，且A、B关于y轴对称，求此抛物线的解析式.

【错解】因为A、B关于y轴对称，所以抛物线对称轴为y轴，即直线x=-[b2a]=0，所以-[6-m21]=0，解得m=6或m=-6.

所以所求的抛物线的解析式为y=-[12]x2+3或y=-[12]x2-9.

【正解】因为A、B关于y轴对称，所以抛物线对称轴为y轴，即直线x=-[b2a]=0，所以-[6-m21]=0，解得m=6或m=-6.

当m=6时，抛物线的解析式为y=-[12]x2+3，此时Δ=b2-4ac=6>0，抛物线y=-[12]x2+3与x轴有两个交点，符合题意；

当m=-6时，抛物线的解析式为y=-[12]x2-9，此时Δ=b2-4ac=-18<0，抛物线y=-[12]x2-9与x轴没有交点，不符合题意，舍去.

所以所求的解析式为y=-[12]x2+3.

【点评】抛物线与x轴有两个交点，等价于，相应的一元二次方程有两个不相等的实数根.所以必须满足前提条件：b2-4ac>0.也就是说，抛物线与x轴的交点问题，一定不能忽略前提b2-4ac的范围！同学们可以思考：抛物线与x轴有一个交点的时候，b2-4ac应该满足什么条件？而抛物线与x轴没有交点的时候，b2-4ac又该满足什么条件？

易错点四 最值问题，一顶两端

例5 求二次函数y=x2+4x+5（-3≤x≤0）的最大值和最小值.

【错解】当x=-3时，y=2；当x=0时，y=5.所以，当-3≤x≤0时，y最小值=2，y最大值=5.

【正解】二次函数y=x2+4x+5图像的对称轴是直线x=-2，顶点坐标是（-2，1），如图2，它的图像是位于-3≤x≤0范围内的一段，显然图像的最高点是端点C（0，5），最低点是顶点B（-2，1）而不是端点A，所以，当-3≤x≤0时，y最小值=1，y最大值=5.

【点评】在自变量x的给定范围内，二次函数的最大值和最小值可能在三点处取得：顶点和两个端点（简称“一顶两端”）.我们首先要判断的是顶点处的最值是否可取？再来比较两个端点处的函数值大小就可以轻松解决问题！

同学们还可以用类似的方法尝试解决下面的两个问题：

（1）二次函数y=x2+4x+5（-3≤x≤1）的最大值是 ，最小值是 .

（2）二次函数y=x2+4x+5（-1≤x≤3）的最大值是 ，最小值是 .

（作者单位：江苏省太仓市沙溪实验中学）