例析带电体的圆周运动问题

安徽省灵璧黄湾中学　华　峰

例析带电体的圆周运动问题

安徽省灵璧黄湾中学华峰

圆周运动是高中物理中的重要内容，对同学们来说属于有一定难度的知识，若将圆周运动与带电物体结合起来，对同学们来说难度更大。为了帮助同学们解难释疑，下面举例分析此类问题。

例1两个粒子带电量相等，在同一匀强磁场中只受洛伦兹力的作用而做匀速圆周运动，则（）。

A.若速率相等，则半径必相等 B.若质量相等，则周期必相等

C.若动量相等，则半径必相等 D.若动能相等，则周期必相等

例2如图1所示，质量均为m、形状完全相同的小球A、B置于光滑绝缘的水平面上，光滑水平面接光滑绝缘的圆弧面。B球带电量为-q，在半圆面内存在着竖直向下的匀强电场E。小球A不带电且绝缘，以某一初速度v0沿水平向右的方向与静止的B球发生无机械能损失的碰撞（小球B静止在匀强电场外），已知圆弧的半径为R。求：

（1）若mg＞qE，碰后小球B恰能通过圆弧，初速度v0为多少？

（2）若mg＜qE，碰后小球B恰能通过圆弧，初速度v0为多少？

解析A、B小球碰撞，由动量守恒得mv0=mvA+mvB，

图1

联立以上两式可解得vA=0，vB=v0。

例3在水平方向上的匀强电场中，一不可伸长的不导电细线的一端连着一个质量为m的带电小球，另一端固定于O点，把小球拉至A点（细线水平），然后无初速度释放。已知小球只能摆到最低点的另一侧C点，此时线与竖直方向的夹角为θ，如图2所示。求小球经过最低点B时细线对小球拉力的大小。

解析对带电小球从开始释放到摆到C点的全过程运用动能定理，有mglcosθ-qEl（1+sinθ）=0-0；

图2

在最低点，根据牛顿第二定律，绳的拉力与小球重力的合力作为小球做圆周运动的向心力，有。

例4如图3所示，在光滑绝缘水平桌面上，固定放置一条光滑绝缘的挡板ABCD，AB段为直线，BCD段是半径为R的圆弧，挡板处于场强为E的匀强电场中，电场方向与圆直径MN平行。现使一带电量为+q、质量为m的小球由静止从斜挡板内侧上某点释放，为使小球沿挡板内侧运动并从D点抛出，求：

（1）小球从释放点到N点沿电场方向的最小距离s。

（2）在（1）问中，小球经过N点时对挡板的压力FN大小。

图3

解析（1）小球做匀加速直线运动，由B点进入圆轨道，若恰能做圆周运动，则小球在M点的速度最小，此时，电场力提供向心力，即；再由动能定理得。由以上两式可解得。

由牛顿第三定律可知，小球对挡板的压力FN大小为6qE。

例5在竖直平面内有一水平向右的匀强电场，带正电的小球质量为m，其所受电场力等于重力。用轻绳系住小球，小球位于最低点A，若给小球一水平向右的初速度v0，要使小球能够完成竖直平面内的圆周运动，求：

（1）绳的最大长度。

（2）小球运动中相应的最大速率。

图4

从图4中可以看出，球的“最低点”与“最高点”分别是图中的B点、C点，于是根据能量关系，

在“最高点”C处，向心力由等效重力提供（轻绳模型），则有。

例6一条长为L的细绳上端固定在O点，下端系一个质量为m的带电小球，将它置于一个很大的匀强电场中，电场强度为E，方向水平向右，已知小球在B点时平衡，细绳与竖直方向的夹角为θ，如图5所示。当细绳与竖直方向成θ角时，至少要给小球一个多大的冲量，才能使小球在竖直平面内做圆周运动？

图5

解析小球在重力场中竖直平面内恰好做圆周运动时，在最高点的临界速度vmin可由求得，

带电小球在复合场中运动，受到向下的重力，向右的电场力，如图5所示。其合力即等效场力为，则等效重力加速度为。

绳系小球在复合场中做圆周运动的临界条件与在单一重力场中类似，只不过其等效最高点为D，最低点为B，等效重力加速度为，如图6所示。

图6

对带电小球从B运动到D应用动能定理，

例7在竖直平面内有水平向右、场强为E=1×104N/C的匀强电场，在匀强电场中有一根长L=2 m的绝缘细线，一端固定在O点，另一端系一质量为0.04 kg的带电小球。静止时悬线与竖直方向成37°角，如图7所示。若小球恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动，求：

（1）小球的带电量q。

（2）小球动能的最小值。

（3）小球机械能的最小值。（取小球在静止时的位置为重力势能零点，cos37°=0.8，g=10 m/s2）

图7

（3）小球由B点运动到圆的最左端C点，电场力做负功，小球在C点电势能最大。由能量守恒可判断，小球在C点机械能最小。小球在B点的机械能为：

EB=Ek+mg·2Lcos37°=0.5 J+0.04×10×2×2×0.8 J=1.78 J。

小球在C点的机械能最小值为：EC=EB-qE（L-Lsin37°）=1.78 J-3×10-5×1×104×（2-2×0.6）J= 1.54 J。

求解此类问题，首先应确定物体的平衡位置，物体恰能做圆周运动的最小速度所对应的向心力由非接触力的合力提供，其最小速度的位置与平衡位置关于圆心对称。

例8如图8所示，在x＜0与x＞0的区域中，存在磁感应强度大小分别为B1和B2的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，且B1＞B2。一个带负电荷的粒子从坐标原点O处以速度v沿x轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过O点，B1与B2的比值应满足什么条件？

图8

解析粒子在整个运动过程中的速度大小恒为v，交替地在xOy平面内B1和B2磁场区域中做匀速圆周运动，轨道都是半个圆周。

设粒子的质量与电荷量的大小分别为m与q，在两磁场中做圆周运动的半径分别为r1和r2，则有

现分析粒子的运动轨迹，如图9所示。在xOy平面内，粒子先沿半径为r1的半圆C1运动至y轴上方离O点距离为2r1的A点，接着沿半径为r2的半圆D1运动至y轴上的O1点，OO1的距离d=2（r2-r1）③。

此后粒子每经历一次“回旋”（即从y轴出发沿半径为r1的半圆和半径为r2的半圆回到原点下方的y轴），粒子的y坐标就减小d。

设粒子经过n次回旋后与y轴交于On点，若OOn，即nd满足

图9

nd=2r1④，

则粒子再经过半圆Cn+1就能够经过原点，式中n=1，2，3，…为回旋次数。

联立①、②、⑤式可解得B1、B2应满足的条件为（n=1，2，3，…）。