一种基于改进阈值函数的小波阈值降噪算法*

倪培峰，胡 雄

（上海海事大学 物流工程学院，上海201306）

一种基于改进阈值函数的小波阈值降噪算法*

倪培峰，胡 雄

（上海海事大学 物流工程学院，上海201306）

针对小波阈值降噪中硬阈值函数和软阈值函数的不足，结合现有文献提出一种新的阈值函数。新阈值函数克服了传统阈值函数的缺点，保证了阈值函数的连续性，同时可以通过改变参数灵活地调节函数。在新阈值函数的基础上结合改进的阈值确定方法，提出一种新的降噪算法。通过MATLAB仿真，对几种小波降噪算法进行了试验分析，利用信噪比和均方根误差两个指标进行评价。结果表明，相比于传统的降噪算法，新降噪算法取得了更好的降噪效果。

小波降噪；阈值函数；阈值选取；信噪比；均方根误差

0　引言

实际的工程测量测试中，工程信号在采集和传输过程中，总会因外界的干扰引入噪声，为了准确地获得有用信号，降噪是信号分析前必须经过的预处理环节。传统降噪方法的不足在于使信号变换后的熵增高，无法刻画信号的非平稳特性并且无法得到信号的相关性[1]。而小波变换在时域和频域同时具有良好的局部化性质，并且小波变换具有众多优良的特性，如多分辨率特性、低熵性、去相关性和选基灵活性等。这些特性很好地克服了传统方法的不足，使得小波变换适用于信号的降噪处理。因此利用小波变换进行降噪，已经成为近几年研究的热点。

运用小波变换处理噪声的方法主要分为3类：MATLAB提出的模极大值处理算法[2]；XU提出的空域相关降噪算法[3]；DONOHO提出的阈值降噪算法[4]。其中，以阈值降噪算法最为常用。阈值降噪算法中，通过对分解后的小波系数进行阈值处理以达到降噪的目的。最常用的阈值函数是由DONOHO在1995年提出的硬阈值函数和软阈值函数，但这两种函数也存在不足之处。采用硬阈值函数时，由于硬阈值函数的不连续，导致重构信号可能出现局部震荡；采用软阈值函数时，与真实小波系数之间存在恒定的偏差，导致重构后信号的精度下降[5]。针对软、硬阈值函数存在的缺点和不足，本文提出一种新的阈值函数。新阈值函数既保证了阈值函数的连续性，又能避免软阈值固定偏差的缺点。并通过MATLAB仿真分析验证了改进的小波阈值降噪算法优于传统阈值算法。

1　小波阈值降噪原理

假设一维离散含噪信号由式(1)表示：

其中，X(k)是含噪信号；S(k)是原始标准信号；E(k)是叠加的高斯白噪声，其服从N(0，σ2)分布。

小波变换后，有用信号的能量集中于幅值较大的小波系数，而噪声能量则分布在整个小波域中[6]。因此，较大的小波系数是由有用信号引起的，较小的小波系数则代表噪声。基于小波系数的特征，DONOHO和 JOHNSTONE[7]提出了阈值降噪算法。首先确定一个阈值，即选择一个合适的数，当小波分解系数小于阈值时，认为这部分系数主要是由噪声引起的，予以舍弃；当系数大于阈值时，认为这是由信号引起的小波分解系数，就把这一部分进行阈值处理，然后用阈值处理后的量化系数进行重构，即为降噪后的信号。小波阈值降噪的基本步骤如图1所示。

图1　小波阈值降噪步骤

2　改进阈值算法

阈值的确定直接影响着小波阈值降噪的效果。如果阈值取得太小，噪声依然存在；如果阈值取得太大，那么有用信号的重要信息也可能被滤除。最常选用的通用阈值可用式(2)表示：

其中，N为信号的长度，σ为噪声的均方差估计值，由式(3)给出：

因为通用阈值有过扼杀有用信号的风险，文献[6]提出一种基于层间相关性的阈值选取方法。本文在此基础上结合分层阈值的思想对该阈值算法进行改进，如式(4)所示：

其中，r为常数，Tj，n为小波分解第j层位置 n处的阈值，λj为第j层的阈值，其表达式如式(5)所示：

式中，Wj，k为第j层上的小波系数，j为分解层数。

K(n)为定义的一个参数，用来表征小波系数的层间相关性，其定义如式(6)所示：

式中，W(:，n)表示点n处的所有小波系数。

当 K(n)∈[0，r)，点 n处的小波系数相关性较强，点n处可能是一个信号点；当 K(n)∈[r，+∞)，点 n处的相关性较差，该点可能是由噪声引起的。由式(4)可知，新阈值方法通过比较小波系数层间相关性，对不同点n的阈值进行修正。当K(n)∈[0，0.5r)时，小波系数间的相关性很大，该点非常有可能是纯信号点，对阈值进行收缩，取为 0.7λj；当 K(n)∈[0.5r，0.8r)时，小波系数的相关性比较大，该点有可能是信号点，该点的阈值取为 0.8λj；当K(n)∈[0.8r，r)时，相关性较大，该点依旧可能是信号点，减小阈值收缩程度，取为0.9λj；当K(n)∈[r，+∞)时，认为小波系数的相关性较小，该点几乎不可能是纯信号点，将阈值取为λj。

K(n)在计算时，要求不同层上的小波分解系数的数目一致，因此需要采用平稳小波变换(SWT)。r是测量小波系数相关性的一个重要参数，取值太小，可能会过扼杀有用信号，取值过大，可能会保留较多的噪声信息。通过相关实验，r取为 0.5～1.5之间时，降噪效果比较好。本文中，r取为1。

3　构造新阈值函数

传统的阈值函数是由DONOHO提出的软阈值函数和硬阈值函数，软阈值函数定义如式(7)所示，硬阈值函数定义如式(8)所示。

硬阈值函数在小波域内存在间断点，在重构信号时会出现局部震荡现象；软阈值函数虽然在小波域内连续，但是阈值处理后的小波系数与真实小波系数存在恒定偏差，会造成信号高频有用信息的丢失。

本文结合文献[8]与文献[9]中的方法，构造了一个新的阈值函数，如式(9)所示：

由式(9)可知，当|Wj，k|→±λ时，j，k→0，即新阈值函数在 Wj，k=±λ处是连续的，克服了硬阈值函数不连续的缺陷，重构信号不会有震荡产生；当 Wj，k→±∞ 时，j，k/Wj，k→1，即当小波系数足够大时，新阈值函数等同于硬阈值函数，从而克服了软阈值函数j，k与 Wj，k之间具有恒定偏差的问题；同时新阈值函数具有高阶可导性。从表达式中可以看出，当α→0且β→0时，新阈值函数即为软阈值函数；当 α→+∞时，u→1，新阈值函数即为硬阈值函数；适当选取α和β的值，新阈值函数可以在硬阈值函数与软阈值函数之间进行调整，灵活性更强。硬、软阈值函数的图形如图2(a)、图2(b)所示，选取不同的α和β的新阈值函数如图2(c)、图2(d)所示。

图2　新阈值函数与硬、软阈值函数比较

4　仿真分析

为了验证本文降噪算法的有效性，用MATLAB对其进行仿真试验。选用 Matlab自带的 Heavy sine信号，对其加入一定的高斯白噪声，并用软阈值降噪算法、硬阈值降噪算法、本文新阈值降噪算法分别对其做降噪处理，其结果如图3所示。其中，选用sym4小波基，分解层数选为3层，新阈值函数中将α取为0.1，β取为7。

图3　不同降噪算法降噪结果

从视觉上，降噪效果很难评价，为了量化地评价降噪性能，采用信噪比和均方根误差[10]作为评价指标。信噪比指原始信号能量与噪声能量的比值，记为SNR，其值越大，信号中噪声含量越少，降噪效果越好；均方根误差指重构信号与原始信号的均方误差，记为 RMSE，均方根误差体现了原始信号和降噪之后的信号间的差异，均方根误差越小，表示重构信号与原始信号的差异越小，即降噪效果越好。其表达式分别如式(10)和式(11)所示。

各种降噪方法的性能指标如表1所示。从表中可以看出，改进的阈值降噪算法相比于其他算法，降噪后信噪比最大，均方根误差最小，所以改进的阈值降噪算法优于其他算法。

表1　不同阈值函数降噪后结果对比

5　总结

本文分析了小波阈值降噪的原理，针对软、硬阈值函数的缺点，结合相关文献，提出了一种新的阈值函数，该阈值函数可以通过调整α和β参数来调整阈值函数，进而获得最佳的降噪效果。本文基于改进的新阈值函数，并结合改进的阈值确定方法，提出了一种新的阈值降噪算法。利用MATLAB进行仿真分析，实验结果表明，本阈值降噪算法降噪性能优于其他常用算法。

[1]张德丰.Matlab小波分析[M].北京：机械工业出版社，2011.

[2]MALLAT S，HWANG W L.Singularity detection and processing with wavelets[J].IEEE Trans Inform Theory，1992，38(2)：617-643.

[3]XU Y S，WEAVER J B，HEALY D M，et al.Wavelet transform domain filters：a spatially selective noise filtration technique[J].IEEE Trans Image Processing，1994，3(6)：747-758.

[4]DONOHO D L.De-noising by soft-thresholding[J].IEEE Transactions on Information Theory，1995，41(3)：613-627.

[5]王立东，张凯，王良润.改进小波阈值算法在电机振动信号降噪中的应用[J].电子技术应用，2015，41(5)：77-80.

[6]HE C，XING J C，LI J L，et al.A new wavelet threshold determination method considering interscale correlation in signal denoising[J].Mathematical Problems in Engineering，2015.

[7]DONOHO D L，JOHNSTONE I M.Ideal spatial adaption by wavelet shrinkage[J].Biometrika，1994，81(3)：425-455.

[8]胡俊文，周国荣.小波分析在振动信号降噪中的应用[J].机械工程与自动化，2010，158(1)：128-130.

[9]王蓓，张根耀，李智，等.基于新阈值函数的小波阈值降噪算法[J].计算机应用，2014，34(5)：1499-1502.

[10]陶珂，朱建军.小波去噪质量评价方法的对比研究[J].大地测量与地球动力学，2012，32(2)：128-133.

A new wavelet threshold de-noising method based on improved threshold function

Ni Peifeng，Hu Xiong
(College of Logistics Engineering，Shanghai Maritime University，Shanghai 201306，China)

Aiming at the defects of hard threshold function and soft threshold function in wavelet threshold de-noising algorithm,a new threshold function was proposed combining with the existing literatures.The new threshold function can overcome the weakness of traditional threshold functions,and guarantee the continuity of threshold function.At the same time,the function can be flexibly adjusted by changing the parameters.Based on the new threshold function,a new wavelet threshold de-noising algorithm was proposed combing with an improved threshold selection method.Though MATLAB simulation,several kinds of wavelet de-noising algorithm were tested and analyzed,using signal-to-noise ratio and root-mean-square-error as two indicators for evaluation.The results showed that the new noise reduction algorithm proposed obtained better noise reduction effect compared to the traditional denoising algorithm.

wavelet de-noising；threshold function；threshold selection；SNR；RMSE

TP391

A

10.16157/j.issn.0258-7998.2016.08.024

上海海事大学研究生创新基金资助项目（YXR2015122）

倪培峰（1992-），通信作者，男，硕士研究生，主要研究方向：机电系统故障诊断、信号处理，E-mail：summitnpf@163.com。

胡雄（1962-），男，博士，教授，主要研究方向：机电系统故障诊断与系统集成。

中文引用格式：倪培峰，胡雄.一种基于改进阈值函数的小波阈值降噪算法[J].电子技术应用，2016，42(8)：98-100，104.

英文引用格式：Ni Peifeng，Hu Xiong.A new wavelet threshold de-noising method based on improved threshold function[J].Application of Electronic Technique，2016，42(8)：98-100，104.