颗粒材料粒度分布特征参数拟合方法研究

冯 岩，杨云川，唐宏新

(沈阳理工大学 a.装备工程学院；b.材料科学与工程学院，沈阳110159)



颗粒材料粒度分布特征参数拟合方法研究

冯 岩a，杨云川a，唐宏新b

(沈阳理工大学 a.装备工程学院；b.材料科学与工程学院，沈阳110159)

应用Matlab软件、高斯-牛顿法和最小二乘法原理，以高炉渣、氧化镁及菱镁矿三种材料粒度测量结果为研究对象，以Rosin-Rammler分布函数为例，编程实现颗粒材料粒度分布特征参数拟合的自动计算。通过实验数据和拟合值的离差平方和、剩余标准偏差计算分析以及拟合曲线对比表明，高斯-牛顿法优于文献中的拟合方法，计算方法合理、可行。

颗粒材料；Rosin-Rammler分布；高斯-牛顿法；参数拟合

Rosin-Rammler(R-R)分布函数是1933年由德国人P.Rosin和E.Rammler在研究磨碎煤粉的颗粒尺寸分布时提出的，适用于描述诸如煤粉和水泥等物料粉碎的粒径分布，在粉体工程中应用广泛[1-2]。R-R分布函数是双参数概率分布函数,探求更为准确的粒度分布参数对于深入认识颗粒材料的内在规律[3]、准确评价颗粒材料性能[4-5]，从而更有效地指导工程实践具有重要意义。

分形维数可作为表征颗粒粒度分布的一个特征参数已成共识[6]，分形维数测定取决于颗粒材料粒度分布的测量和R-R分布特征参量分析的准确性。目前，在工程实际应用中大多采用分布函数两边取两次对数后对ln[-ln(y/100)]=mlnx-mlnxe进行线性回归分析计算特征粒径xe及分布模数m(本文称之为方法一)[6]。李坦平等[7]通过建立数学模型并采用极大似然法在一定假设条件下实现了对xe、m的估算。赵三银等[8]根据最小二乘法原理，在Excel中采用尝试法计算了xe和m,并通过离差平方和、剩余标准偏差的计算与方法一进行了比较(本文称之为尝试法)。王亮等[9]通过选择合适的粒度区间对R-R分布函数进行线性回归，计算了xe和m，说明了粒径区间选择对回归分析结果有影响(本文称之为方法二)。本文以高炉渣、氧化镁及菱镁矿粒度分布测量结果为研究对象，应用最小二乘法原理和高斯-牛顿法(称之为本文方法)编程，实现R-R分布特征参数xe与m拟合的自动计算，通过实验数据和拟合值的离差平方和、剩余标准偏差计算与上述三种方法进行比较。

1 基本原理

以质量正累积率表示的R-R分布函数为

(1)

式中：y为质量正累积率；xe为特征粒径(μm)；m为分布模数；x为粒径。

高斯-牛顿法(Gauss-Newtonmethod)是使数据与非线性方程之间的残差平方和最小的一种算法。其关键在于利用泰勒级数展开，以一种线性形式近似地表示原非线性方程后，用最小二乘理论来计算参数新的估计值，这个新估计值使残差逐步达到最小。为简单起见，将式(1)表示为如下形式：

yi=f(xi;xe,m)+ei

(2)

式中yi是xi、xe、m和随机误差ei的非线性函数。在xi处将式(2)泰勒展开，并省略一阶导数后面的高阶项得

(3)

式中：下标为j的是初始值；下标为j+1的是预测值；△xe= △xe ,j+1-△xe,j；△m=△mj+1-△mj。将式(3)带入式(2)可得

(4)

上式以矩阵形式表示为

{D}=[Zj]{ΔA}+{E}

(5)

式中：ET=[e1e2… en]；[Zj] 为函数的偏导数在第j步初始参数值处的值组成的矩阵：

(6)

(7)

向量{△A}由连续两次迭代之间特征参数值的差组成：

(8)

应用线性最小二乘法理论可得如下正规方程：

[[Zj]T[Zj]]{ΔA}={[Zj]T{D}}

(9)

通过求解式(9)得到{△A}，再用{△A}计算改进后的特征参数值：

xe,j+1=xe,j+Δxe

(10)

mj+1=mj+Δm

(11)

重复上述过程，直到求解过程收敛且小于一个设定的终止条件[10]。

(12)

(13)

为减少迭代次数，本文采用插值法确定特征粒径的迭代初值，因为y=36.8%时,x=xe；分布模数的迭代初值定为1。终止条件设为εxe、εm同时小于10-6。

2 结果与讨论

2.1 实验材料与实验结果

本文以含钛高炉渣、氧化镁、菱镁矿三种材料为研究对象，采用南京大学仪器厂生产的QM-QX2全方位行星式球磨机进行破碎，破碎条件如表1所示。采用辽宁仪表所生产的GSL-101BI型激光粒度仪进行粒度测量，测量中以水为分散介质，折射率取为默认值，数学模型选用R-R模型、夫郎和费衍射理论。

为节省篇幅，仅以高炉渣为例，原料的D10、D50和D90 (Da表示累计率为a时对应的粒径)分别为：0.37μm、1.98μm、5.73μm，破碎后的粒度分布测量结果如表2所示。

表1 三种材料破碎条件

表2 高炉渣粒度分布测量结果

表中，xi为粒径，y为区间累计频率。运用高斯-牛顿法编程计算得到高炉渣、氧化镁、菱镁矿三种材料特征粒径的测量结果分别是2.54μm、5.65μm、4.25μm,分布模数的测量结果分别是1.129、1.516、0.928。

2.2 本文实验数据粒度分布分析计算结果对比

图1为三种方法得到的高炉渣和菱镁矿R-R分布曲线与实验结果对比，其中A、B、C和D分别表示实验曲线、本文方法、方法一和方法二拟合曲线。图1中B曲线最靠近A曲线，这表明本文方法拟合结果优于方法一和方法二。氧化镁粉曲线对比图没有列出的原因是三种方法的拟合曲线非常接近。

图1 不同方法R-R分布拟合曲线与实验曲线对比

表3为三种方法得到的高炉渣、氧化镁和菱镁矿粒度分布特征参数及数据分析计算结果。对比表3中的离差平方和(Δ)，剩余标准偏差(Se)可以看出，本文方法计算得到的高炉渣、氧化镁、菱镁矿的Δ、Se最小，方法二计算结果次之，方法一计算结果最大，这说明方法二分析计算结果优于方法一，本文方法分析计算结果优于方法二。

表3 三种不同方法颗粒材料粒度分布分析计算结果 μm

2.3 文献实验数据粒度分布分析计算结果对比

表4为基于文献[8]中的矿渣、钢渣和石灰石粒度分布测量，应用四种方法得到的三种材料特征参数及数据分析计算结果。

表4 四种不同方法颗粒材料粒度分布分析计算结果 μm

与方法一、方法二的计算结果对比表明，本文方法计算得到三种材料的Δ、Se最小，这表明：本文方法分析计算结果优于方法一和方法二;与文献[8]中的尝试法相比，粒度分布特征参数尝试计算结果与本文方法计算结果相同，不同的是本文实现了分析计算的自动化。综上所述，本文基于Matlab平台和高斯-牛顿法编写的R-R分布函数特征参数计算程序合理、可行，实验曲线拟合结果优于文献[8]中的方法。

3 结论

(1)高斯-牛顿法拟合结果优于方法一和方法二，基于Matlab编制的计算程序合理、可行。粒度分布特征参数尝试法计算结果与本文方法计算结果相同，本文方法实现了特征参数拟合计算的自动化。

(2)本文方法计算得到的离差平方和、剩余标准偏差小于方法一、方法二；方法二在多数情况下优于方法一，仅钢渣的数据分析结果有些偏差，方法不够稳定。

(3)高斯-牛顿法粒度分布函数特征参数的拟合计算对于准确分析颗粒材料的平均粒径和方差、定量分析材料性能、在线监测以及颗粒材料破碎的自动控制等实际应用具有重要意义。

[1]贾光明.微粒群的粒度和溶液的折射率测量的研究[D].天津：天津大学，2005:54-55.

[2]郑宇.粉煤灰体系粒度分布特征的统计分析[J].四川建材，2014,179(40):5-9.

[3]逯桂平.分形理论对煤粉粒度和孔隙的表征[J].洁净煤技术，2012,18(3):29-32.

[4]郑克洪,杜长龙,邱冰静.煤矸破碎粒度分布规律的分形特征试验研究[J].煤炭学报,2013,38(6):1089-1094.

[5]刘送永,杜长龙,李建.煤截割粒度分布规律的分形特征[J].煤炭学报,2009,34(7):977-982.

[6]朱再胜,骆振福,杨玉芬,等.含钾页岩粉碎过程中粒度分布的分形表征[J].化工矿物与加工,2011(12):8-11.

[7]李坦平,周光宇.水泥颗粒体系RRB分布方程参数N和X的探讨[J].中国粉体技术,2002,8(5):8-10.

[8]赵三银,赵旭光,余其俊.RRB分布模型特征粒径和均匀性系数的准确计算[J].有色矿冶,2006,22(S1):49-50,52.

[9]王亮，杨云川，唐宏新，等.基于Rosin-Rammler分布的实验拟合曲线优化[J].沈阳理工大学学报,2015,34(5):58-61,75.

[10]Steven C Chapra,Raymond P.Canale.Numerical Methods for Engineers[M].于艳华等译.北京：清华大学出版社，2010:471-478.

(责任编辑：赵丽琴)

Study on Fitting Methods of Particle Size Distribution Characteristic Parameters for Particles

FENG Yan,YANG Yunchuang,TANG Hongxin,

(Shenyang Ligong University,Shenyang 110159,China)

Blast furnace slag,magnesium oxide and magnesite were selected as samples in this paper.The characteristic parameters of Rosin-Rammler distribution function were fitted with the Gauss Newton method and the least square principle.The algorithm programming was developed with MATLAB software.The results for the sum of squares of deviations and the residual standard deviation for the particles showed that the iteration method is superior to the fitting methods mentioned in the

and the algorithm is rational and valid.

particles;Rosin-Rammler distribution;Gauss-Newton method;parameters fitting

2015-10-20

辽宁省教育厅科学技术研究项目(L2013087)

冯岩(1988—)，男，硕士研究生；通讯作者：杨云川(1961—)，男，教授，博士，研究方向：分形理论的应用。

1003-1251(2016)05-0044-04

TB332

A