NSD随机变量加权和的强收敛性质

张 玉,沈爱婷

(安徽大学 数学科学学院,安徽 合肥 230601)



NSD随机变量加权和的强收敛性质

张 玉,沈爱婷

(安徽大学 数学科学学院,安徽 合肥 230601)

负超可加相依(negatively superadditive dependent,NSD)随机变量是一类包含独立随机变量和负相协(negatively associated,NA)随机变量在内的非常广泛的相依变量。文章利用NSD随机变量的三级数定理和随机变量的截尾技术,在较弱的条件下建立了NSD随机变量加权和的若干强收敛性质。所得结果推广了独立随机变量和NA随机变量的相应结果。

加权和;NSD随机变量;收敛性质;NSD三级数定理;随机变量截尾

0 引 言

定义1[1]称随机变量{Xi,1≤i≤n}为负相协(NA)的,若对任意2个非空不交子集A,B⊂{1,2,…,n}均有Cov (f1(Xi,i∈A) ,f2(Xj,j∈B))≤0,其中fi(i=1,2)是使此式有意义且对各变元非降(或同时对各变元非升)的函数。称随机变量序列{Xn,n≥1}是NA的,如果其每个有限子集是NA的。

文献[2-7]系统研究了NA随机变量的概率极限性质及其应用,文献[8]提出了一类比NA随机变量范围更为广泛的相依随机变量——负超可加相依(negatively superadditive dependent,NSD)随机变量,此概念是建立在超可加函数的基础上。

定义2[2]称函数φ:Rn→R是超可加的,如果x,y∈Rn满足:

其中,x∨y表示对各分量取大者;x∧y表示对各分量取小者。

定义3[8]称随机向量X=(X1,X2,…,Xn)为NSD,如果满足:

文献[8]举例说明了NSD不能推出NA,文献[9]指出NA是NSD的。文献[10-11] 研究了NSD随机变量的概率极限性质以及统计大样本性质。本文在已有结果的基础上,利用NSD随机变量的三级数定理,进一步研究NSD随机变量的若干强收敛性。

1 相关引理

引理2[8](NSD随机变量的基本性质) 如果随机变量(X1,X2,…,Xn)是NSD的,且g1,g2,…,gn都是非降函数,则(g1(X1),g2(X2),…,gn(Xn))也是NSD的。

2 主要结果

(1)

由于{gn(t),n≥1}为非负函数列,且对每个n≥1,gn(t)单调不减,结合(1)式有:

(2)

(3)

(4)

由Cr不等式、gn(t)单调不减、(4)式以及(1)式得:

(5)

因此由(5)式得:

(6)

定理2 设{Xn,n≥1}是NSD随机变量序列,{an,n≥1}是正常数序列,{gn(t),n≥1}是非负函数列,且对每个n≥1,gn(t)单调不减。假定存在δ>0, 使得gn(t)≥δt,0

(7)

(8)

再由gn(t)≥δt,0

(9)

由于gn(t)≥δt,0

(10)

由Cr不等式和(10)式得:

(11)

由(11)式和(7)式得:

(12)

推论2 设{Xn,n≥1}是NSD随机变量序列,{an,n≥1}是正常数序列。若存在常数0<β≤1，使得:

定理3 设{Xn,n≥1}是NSD随机变量序列,{an,n≥1}是正常数序列，{gn(t),n≥1}是非负函数列,且存在常数β≥1 使得gn(t)≥δtβ,t>0。如果

(13)

证明 由(13)式和引理4可得:

(14)

由于gn(t)≥δtβ,故由(14)式得:

(15)

根据(13)式和(15)式,以及gn(t)≥δtβ得:

(16)

再由Cr不等式及gn(t)≥δtβ得:

由此及(13)式、(14)式得:

(17)

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(责任编辑 张淑艳)

Strong convergence properties of weighted sums of negatively superadditive dependent random variables

ZHANG Yu,SHEN Aiting

(School of Mathematical Sciences, Anhui University, Hefei 230601, China)

Negatively superadditive dependent(NSD) random variables include independent random variables and negatively associated(NA) random variables as special cases. In this paper, by using the three series theorem of NSD random variables and the truncated method of random variables, some strong convergence properties of weighted sums of NSD random variables are established under some much weaker conditions. The results obtained in the paper generalize the corresponding ones of independent random variables and NA random variables.

weighted sum; negatively superadditive dependent(NSD) random variable; convergence property; three series theorem of NSD; truncated method of random variable

2015-05-19；

2015-07-31

安徽省自然科学基金资助项目(1308085QA03)

张 玉(1989-),男,安徽合肥人,安徽大学硕士生;

沈爱婷(1979-),女,安徽合肥人,博士,安徽大学副教授,硕士生导师.

10.3969/j.issn.1003-5060.2016.10.028

O211.4

A

1003-5060(2016)10-1437-04