两类改进非线性滤波器UKF算法综述

贾文哲 王剑平

(昆明理工大学信息工程与自动化学院，昆明 650504)

两类改进非线性滤波器UKF算法综述

贾文哲 王剑平

(昆明理工大学信息工程与自动化学院，昆明 650504)

通过对卡尔曼滤波的发展进行简述，引出标准无迹卡尔曼滤波和标准无迹变换的采样策略。通过对标准无迹卡尔曼滤波的分析，从两个切入点对标准无迹卡尔曼滤波进行改进,即超球体采样平方根无迹卡尔曼滤波和强跟踪无迹卡尔曼滤波，给出了对应的详细算法，并对无迹卡尔曼滤波算法进行总结与评述。

无迹卡尔曼滤波 采样策略 超球体平方根无迹卡尔曼滤波 强跟踪无迹卡尔曼滤波

1960年，美国数学家卡尔曼提出一种滤波方法，将其命名为卡尔曼滤波[1]。卡尔曼滤波的基本思想是将噪声融入系统的状态空间模型之中，对前一时刻采用估计的办法获得其估计值，对现在时刻采用其测量值，利用相关公式去预估计下一个状态的估计值。卡尔曼滤波是在维纳滤波的基础之上，利用线性最小二乘法求出系统状态估计的最优值[2]。因为是以线性最小二乘法为契机，当处理非线性系统时不能应用，但现实中几乎没有线性系统，很多非线性因素也不能忽略[3,4]。为了解决卡尔曼滤波在非线性系统中的使用障碍[5]，经过研究，Bucy等学者利用泰勒公式将非线性系统展开成泰勒的一阶形式，使它得到近似的线性化，这样再按照线性卡尔曼滤波的方法处理问题。该方法被命名为扩展卡尔曼滤波[6](Extended Kalman Filtering,EKF)。但该方法在非线性较大时精度不够，易失去稳定性。此后，Julier S J等提出了无迹Kalman滤波(Unscented Kalman Filter,UKF)，它是以无迹变换为基础，摒弃了扩展卡尔曼滤波将非线性系统线性化的做法，更好地处理了非线性化问题，同时提高了精度[7]。

1 标准UKF滤波①

标准UKF以标准无迹变换为基础，无迹变换的规则是在原有的状态分布的点集之中，采用一种规则选取一些采样点，保证所选点的均值和协方差与原状态点集均值和协方差相等，将采样点代入非线性系统之中，通过这些点集的变换，再求均值和协方差[8]。

给定一非线性离散系统：

(1)

定义Xk、Zk为系统的状态向量和量测向量矩阵；wk、vk为噪声观测值和量测值，wk～(0,Qk)，vk～(0,Rk)，将所述噪声规定为高斯白噪声，Q、R分别为其方差。

初始化估计值和状态协方差矩阵：

(2)

Sigma点计算：

(3)

一步预测及其协方差矩阵时间更新：

ξi,k|k-1=f(ξi,k-1),i=0,1,…,2n

(4)

(5)

(6)

(7)

量测更新：

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

2 超球体采样平方根UKF(SR-UKF)

SR-UKF是在UKF算法的基础上采用一个状态协方差矩阵的方根矩阵形式[9～11]，根据QR分解、Cholesky一阶更新和最小二乘法，在滤波过程中求出状态协方差矩阵的平方根，将所得值不断进行迭代，不再每一个时刻都对矩阵进行再分解，有效防止协方差矩阵非正定的发生[12]。在进行Sigma点选取时，采用超球体采样策略代替标准无迹变换可以有效地减少计算量。

选择0≤W0≤1。确定Sigma权值：

(13)

(14)

其中，α(0≤α≤1)为缩放因子，通过α可以控制采样点与均值的距离。

初始化向量序列：

(15)

当输入维数为j(j=2,…,n)时，迭代公式为：

(16)

其中，i是采样点顺序。

定义如下：

(17)

(18)

其中，β(β≥0)是非负加权项。

(19)

SR-UKF的算法如下：

a. 初始化；

b. 计算Sigma点；

c. 时间更新；

d. 量测更新方程。

步骤a采用的公式为：

(20)

其中规定矩阵下三

角Cholesky分解运算简写成chol()。

步骤b采用的公式为：

(21)

步骤c采用的公式为：

(22)

步骤d的公式为：

(23)

采用协方差阵的平方根形式Sx代替协方差矩阵Px参加递推运算，可以有效提高滤波算法的数值稳定性[14]。

3 强跟踪UKF

由于标准UKF算法缺乏对系统状态异常的自适应调整能力，导致滤波精度降低[15]。文献[15]提出一种改进的强跟踪UKF算法，该算法采用假设检验的方法对异常状态进行检测，当系统状态发生异常时，对预测协方差阵引入次优渐消因子[16,17]自适应地调整滤波增益，实现对系统真实状态的强跟踪。该算法中次优渐消因子的确定无需计算系统模型的雅克比矩阵。

强跟踪滤波器(Strong Tracking Filter，STF)的概念是根据新息向量的正交性原理提出的。这种滤波器与通常采用的滤波器相比，主要表现在它具有较强的关于模型参数失配的鲁棒性，同时对于噪声和初值统计特性的敏感性较低，当有突变状态产生时，STF具有极强的跟踪能力，同时在达到滤波定后，这种跟踪能力依然能够继续保持下去，与标准的UKF相比，STF的计算复杂性很低[18～20]。基于以上结论，可以将STF与标准的UKF结合起来，弥补标准UKF鲁棒性不足和对突变抵抗性差的问题。

将次优渐消因子λk引入预测协方差阵Pk|k-1以提高自适应能力：

(24)

计算新息序列：

(25)

(26)

(27)

令Vi=0，最终可得：

(28)

将式(28)代入式(24)可得：

(29)

其中V0为STF实际输出的基于新息的协方差矩阵，可根据下式计算：

(30)

其中，ρ为遗忘因子，0<ρ≤1，通常取为0.95。

强跟踪滤波UKF算法流程如下[21]：

a. 按式(2)对式(1)进行初始化；

b. 按式(3)进行Sigma点采集；

c. 按式(4)、(5)进行一步预测；

d. 如果有异常协方差矩阵采用式(24)，如果没有则采用式(6)；

e. 按式(8)～(12)进行其余的计算。

4 结束语

目前对UKF的改进方法有很多种，除了笔者提到的两种外，还有将小波变换与UKF算法进行融合、UKF算法的自适应采样平方根策略及双UKF算法等。在不同的系统、不同的条件、不同的场合下,应选择不同的改进方法，完全适用于任何系统的算法是不存在的,很多算法都是在彼此的基础上进行改进,相辅相成,互相配合，具体选择哪种算法,还应根据实际的系统来决定。

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OverviewofEstimationAlgorithmforTwoUKFFilters

JIA Wen-zhe, WANG Jian-ping

(FacultyofInformationEngineeringandAutomation,KunmingUniversityofScienceandTechnology,Kunming650504,China)

Through reviewing Kalman filter’s development, the sampling strategies for standard UKF and unscented transform were proposed.Through analyzing standard UKF, the square root UKF and the strong tracking UKF were improved and their corresponding algorithm was presented and UKF algorithm was summarized and reviewed.

UKF, sampling strategy, square root UKF, strong tracking UKF

TP14

A

1000-3932(2016)10-1011-04

2015-12-17(修改稿)

国家自然科学基金项目(61364008)；云南省应用基础研究重点项目(2014FA029)；云南省教育厅重点基金项目(2013Z127)；昆明理工大学复杂工业控制学科方向团队建设计划项目