连续系数一维倒向随机微分超前方程的解

周会会，梅　端

（广东海洋大学理学院，广东 湛江 524088）

连续系数一维倒向随机微分超前方程的解

周会会，梅端

（广东海洋大学理学院，广东 湛江 524088）

证明了具有连续系数的一维倒向随机微分超前方程（超前BSDE）存在适应解，并得到了最小解的存在性。

倒向随机微分超前方程；适应解；连续系数

Pardoux和Peng［1］引入了非线性倒向随机微分方程（BSDE），并证明了在Lipschitz条件下非线性BSDE适应解的存在唯一性。BSDE在随机控制、偏微分方程、数理金融、经济等领域都有着广泛的应用，吸引了众多学者对其研究。例如：Lepeltier和Martin［2］研究了具有连续系数的BSDE适应解的存在性及最小解的存在性；Jia［3］研究了具有连续系数的BSDE解的结构；El Karoui，Peng和Quenez［4］给出了具有Lipschitz条件的BSDE适应解的比较定理；Liu和Ren［5］讨论了具有连续系数的BSDE解的比较定理等。

Peng和Yang［6］引入了一类新的倒向随机微分方程，即倒向随机微分超前方程（超前BSDE），并证明了在Lipschitz条件下超前BSDE适应解的存在唯一性及解的比较定理，随后，陈丽［7］研究了超前BSDE中Z的性质，许哓明［8］研究了超前BSDE的反射解等。

本文主要研究了如下形式的超前BSDE。即

1） 存在常数

使得

有

2）存在常数

使得

在 Liu和 Ren［5］论文的启迪下，如果把超前BSDE所满足的Lipschitz条件减弱，只让其满足线性增长条件，所对应的超前 BSDE是否存在适应解？本文主要讨论具有连续系数的一维超前BSDE适应解的存在性，并得到了最小解的存在性。

1　具有连续系数的超前BSDE适应解的存在性

引理 1［2］令是具有线性增长的连续函数，即存在常数K0＜∞，使得，

有

那么下面的函数列

（i）线性增长条件：

（iii） Lipschitz条件：

（iv） 强收敛性：若

那么

引理2［9］在引理1的假设下，设m=1，f关于x单调增，则

使得当n＞N时，引理1给出的fn均关于x单调增。

定理1

设f满足：

（H1） 线性增长条件：

对

有

（H2） 对于固定的s，ω，y，z，f（ s，ω，·，·，·）连续且f（ s，ω，y，z，·）递增。

则对任意给定的终端条件

超前BSDE式（1）有适应解，即：∃tF-适应的过程

满足方程式（1）。

证明：给定（t，ω ），由引理1可知函数f对应函数列

考虑函数

那么函数fn和函数h都是Lipschitz函数。又由于

由［6］中定理4.2可知下面的超前BSDEs在

上有唯一解。

由（H2）及引理2可知fn关于递增且关于n单调，由参考文献［6］中的定理5.4可得，

所以存在仅依赖于

的常数B使得

由于

则存在常数C，使得

我们有

另一方面，由于

取一子列可得

且

且

由一致收敛定理可得，当n→∞时，

由随机积分的连续性可得，

对m取极限，对t取sup，可得

例：考虑超前BSDE，

其中δ≥0为给定常数。容易验证方程式（3）中f 满足线性增长条件，且有解

2　结　论

考虑到具有连续系数的BSDE存在唯一适应解，在此基础上，进一步研究了超前BSDE，从理论上得到了具有连续系数的超前BSDE存在适应解，并得到了最小解的存在性，对超前BSDE有了进一步的认识。

［1］PARDOUX E，PENG S G.Adapted solution of a backward stochastic differential equations［J］.Syst Cont Lett，1990，14（1）：55-61.

［2］LEPELTIER J P，SAN M J.Backward stochastic differential equations with continuous coefficient ［J］.Stat Prob Lett，1997，32（4）：425-430.

［3］JIA Guangyan.On the set of solutions of a BSDE with continuous coefficient［J］.C R Acad Sci Paris ，2007，344（6）：395-397.

［4］EL Karouin，PENG S G，QUENEZ M C.Backward stochastic differential equations in finance［J］.Math Fin，1997，7（1）：1-71.

［5］LIU J C，REN J G.Comparison theorem for solutions of backwardstochasticdifferentialequationswith continuous coefficients［J］.Stat Prob Lett，2002，56（1）：93-100.

［6］PENG S G，YANG Z.Anticipated backward stochastic differential equations［J］.Ann Prob，2009，37（3）：877-902.

［7］陈丽.超前BSDE中Z的性质及其在时滞随机控制中的应用［J］.山东大学学报（理学版），2010，45（4）：16-20.

［8］许哓明.超前倒向随机微分方程的反射解及相应的最优停时问题［J］.山东大学学报（理学版），2013，48（6）：14-17.

［9］杨哲.超前BSDE及SDE中的相关结果［D］.济南：山东大学，2007.

（责任编辑：任万森）

Solutions of One-dimensional Anticipated Backward Stochastic Differential Equations with Continuous Coefficient

ZHOU Hui-hui，MEI Duan
（College of Science，Guangdong Ocean University，Zhanjiang 524088，China）

In this paper，it is proved that the existence of a solution to one dimensional anticipated backward stochastic differential equations where the coefficient is continuous.The existence of a minimal solution is also obtained.

anticipated backward stochastic differential equations； Adapted solutions；continuous coefficient

O211.6

A

1673-9159（2016）04-0078-05

10.3969/j.issn.1673-9159.2016.04.013

2016-04-29

广东省高校创新强校工程项目（2014KQNCX080）

周会会（1984—），女，讲师，硕士，主要从事金融数学、倒向随机微分方程的研究。E-mail：huihui0325@126.com