五年级和六年级学生分数表征转化能力的调查研究

郭 萌，熊妍茜，杨新荣，陈朝东



五年级和六年级学生分数表征转化能力的调查研究

郭 萌1，熊妍茜1，杨新荣1，陈朝东2

（1．西南大学数学与统计学院，重庆 400715；2．四川大学数学学院，四川成都 610000）

分数表征是分数概念学习的一部分，也是概念理解的重要方法．分数表征包括面积表征、集合表征、数轴表征和符号表征等，这4类表征及其转化与分数概念理解紧密相连，对分数教学具有重要意义．通过改编Kurt和Cakiroglu的分数表征转化测试工具，研究者调查了247名5年级学生和264名6年级学生的分数表征转化能力．调查发现小学生在数轴表征和假分数表征相关转化问题上表现较差，不能很好地理解面积（集合）表征与数轴表征的区别．此外六年级学生数轴表征转化能力较五年级有显著提升．建议教师应该重视分数多元表征的教学尤其是数轴表征和假分数表征的教学，通过分数表征转化任务帮助学生建立起全面的分数表征系统和知识结构，促进学生分数概念的发展．

分数表征；分数表征转化；分数概念；数轴；小学生

1 引 言

当前国际数学课程改革的一个重要特点在于培养学生多元数学表征能力．如在美国教师协会颁布的《学校数学课程标准和原则（2000）》中就明确将表征作为过程标准之一．通过数学学习，学生要能：（1）创建和使用表征组织、记录和交流数学思想；（2）选择、运用和转化各种数学表征来解决问题；（3）使用表征来解读物质的、社会的、和数学现象[1]．《义务教育数学课程标准（2011）》[2]也指出课程内容的呈现应该注意多样性，以丰富学生的数学学习经验．然而要培养学生多元数学表征能力，不仅要求在数学教材编写中用多种形式呈现数学概念，更要求在数学课堂教学中给学生提供使用多种表征的机会．

在数学领域，表征主要包括：（1）内部表征．如有关数学活动的抽象或者学习者通过自身经历所形成的认知图示；（2）外部表征．如数字、代数方程、图象、表格、图表等有关数学概念的外在表示[3]．而对于一个抽象的数学概念而言，其都可以通过多种外部表征予以表达，如图象、符号、语言等．不过由于数学自身的复杂性和抽象性，单一外在表征难以充分揭示数学本质，由此学生需要借助多元外部表征从多元具体形式中抽象知识或问题的内在结构[4]．真正理解一个数学概念不仅需要学生能在多种本质各异的表征中辨别相关的数学概念，更要求学生能灵活自如地在各种不同表达中进行转化[5]．此外，在解题过程中，借助一个好的形象表征学生可以形成一个有效的抽象表征，从而更好地了解问题解决的实质和关键，然后再借助形象表征的各种方式达到对问题的解决[6]．由此可见，表征转化能力在数学概念理解和问题解决中有着不可替代的作用．然而，现实中，老师和学生却常常忽视多元表征转化能力的培养和训练．教师所教的和学生所学的数学内容通常在单一的表征系统中就已结束，而没有在不同的表征之间建立起应有的联系[1]．贝洱认为表征系统是互动的而不是线性的，同一表征内部的转化以及不同表征方式之间的转化有利于学生知识理解，应该像单个表征的学习一样受到重视[7~8]．

分数概念是学生在中学前所遇到的最困难，同时也是最重要的数学知识之一[9]．其困难的根源在于分数概念的多重结构，其包括部分整体、测量、商、算子、比五种子概念[10]．同时分数也有多种外部表征，如符号表征、图形表征、语言表征、实物表征、现实情景表征等．过去关于分数教与学的研究中，国内研究者主要关注于学生分数概念的掌握和分数表征的使用．如倪玉菁调查了深圳五、六年级小学生对分数意义和性质的学习，测试卷涉及面积表征、线段表征、集合表征和数线表征[11]．该研究发现学生在测量概念和等值分数的理解上存在困难．此外，张睆和辛自强研究了分数概念的个体建构机制[12]．多数研究聚焦于多种分数概念的认知和教学，学生分数表征转化能力的研究在国内很少受到关注．然而，分数表征转化能力对学生分数的学习非常重要．在学习分数概念时，学生需要经历从分月饼到分圆形，再到抽象出分数符号的过程，这本质上是实物表征到图形表征，再到符号表征的转化．各种表征间的转化过程连同3种分数表征方式一方面可以帮助学生从直观到抽象地理解分数概念．但同时，各种表征抽象复杂程度上的差异也将造成学生对分数概念理解和转化上的困难．分数表征转化对学生分数学习和思维发展有至关重要的作用，却未受到教师和研究者的重视．基于此，研究主要探讨五、六年级学生分数表征转化能力现状和存在的问题（主要涉及：符号表征、面积表征、集合表征、数轴表征），以期为数学教学和教材编写提供更为直接的建议．

2 研究方法

2.1 研究对象

参与研究的511名学生选自重庆3所背景各异的小学．其中247名五年级学生和264名六年级学生，其中男生269人，女生242人（具体信息见表1）．3所学校使用的教科书都是西南师范大学版小学数学教材．根据教材知识编排，小学生在五年级下学期已完成分数的意义、真分数与假分数、分数的基本性质、分数的加减法等内容的学习，接触过研究所涉及的4种分数表征方式．

表1 被试学生基本情况

2.2 研究工具

研究主要采用测试法，以Kurt和Cakiroglu的分数表征转化测试卷[13]为基础，根据中国数学教学情况和教材使用情况对测试工具进行修改与调整．测试工具包括4种分数表征方式即符号表征、数轴表征、面积表征、集合表征．其中数轴表示分数“测量”的概念，面积和集合表示分数“部分整体”概念．测试卷共设置12道题目涵盖任意两种表征之间的转化，每道题目预先给出一种分数表征方式，要求学生将其转化为规定的表征方式，并写出自己的思考过程．整个测试卷的Cronbach’s Alpha系数为0.663，表明其内部一致性较好．测试卷样题如图1所示．

图1 分数表征转化测试卷样题

2.3 数据分析

数据分析按如下3步完成．首先对于学生回答进行记分．每题答对记1分，答错记0分．所有学生回答由第一作者判分，第二作者检查了所有判分情况且与第一作者讨论了不同意见部分．此后对测试卷结构做了因子分析，提炼出了3个因子．最后针对这3个因子，就学生性别和年级进行了差异检验．

3 研究结果

3.1 测试卷结构

为分析测试卷的结构同时了解中国学生分数表征能力结构，对测试卷所得数据进行了因子分析．Bartlett球形检验卡方值统计显著，因此可认为相关矩阵与单位阵有显著差异．同时，KMO值为0.75，根据Kaiser给出的KMO度量标准可知原变量适合做因子分析．因子中特征根大于1的共有3个，3个因子分别解释测试卷的29.73%、17.60%、15.16%，方差累计贡献率有62.48%，可解释12道转化题目多于一半的信息，故提取3个主成分．

表2为使用Varimax最大方差法旋转旋后的因子载荷矩阵．第一个因子包含题项有T1、T5、T6、T8、T11、T4，这些题目都与数轴相关，命名为“数轴相关表征转化”．第二个因子包含题项有T2、T9、T7，题目至少涉及面积表征和集合表征其中之一，且不涉及假分数，命名为“面积和集合表征转化—真分数”．第三个因子包含有题项T12、T10、T3，题目至少包含面积表征和集合表征其中之一，且都涉及假分数，故命名为“面积和集合表征转化—假分数”．3个主成分将12道测试题分为3个部分，分类标准为是否涉及数轴和假分数．按照原测试卷的设计和中国学生的情况将测试卷题目作如表3所示划分．

表2 旋转后的因子载荷矩阵

表3 题目分类表

注：“T2符号转面积”：T2为符号表征转化为面积表征的题目；“T12面积转集合（假）”：T12为面积表征转化为集合表征的题目，且其涉及假分数

3.2 五六年级小学生分数表征转化能力基本情况

学生在各个题目上的表现列于图2．总的来说，学生在分数表征转化问题上表现一般，其平均正确率为71.59%，不同题目上的表现有较大差异．测试结果的平均数和标准差按3个维度列于表4，从表中可以看出平均正确率

面积与集合真分数>面积与集合假分数>数轴，

也就是说面积与集合表征相关转化题目上的表现优于数轴的表征转化．此外，涉及假分数表征的题目上学生也表现出一定的困难．

具体而言，学生在与面积表征转化和集合表征转化相关的题目上表现最好．“面积和集合表征转化—真分数”的平均正确率达97.20%，且学生个体之间表现较为稳定（标准差为0.12）．从图2可以看出“面积和集合表征转化——真分数”相关题目T2、T8、T7正确率都在96%以上，其中T7的正确率最高达98%．其次，学生在假分数表征上表现出一定的问题．相关题目T12、T3、T10正确率均稳定在80%左右．在与面积和集合表征相关的题目中，学生在真分数表征转化题目上平均正确率比假分数高近17个百分点．

值得指出的是，涉及数轴表征的相关转化题目上学生表现最差，平均正确率最低仅55.02%，比“面积和集合表征转化——真分数”低了42个百分点．如图2所示，涉及数轴表征的6道题目（即图2中后6道题）正确率均低于其它题目．其中T4作为数轴表征与假分数表征结合的题目，正确率在所有题中最低，仅32%．此外，在“数轴表征转化”相关问题上学生表现参差不齐，其平均正确率的标准差达0.31，接近“面积和集合表征转化——真分数”的3倍．

表4 学生在测试卷3个因子上的基本情况

注：**<0.01，***<0.001，检验是年级差异检验

图2 测试题目正确率条形图

3.3 性别和年级差异

为检验学生在各个因素上的差异，进行了年级(2)×性别(2)的双因子方差分析．结果显示，不存在显著的年级和性别间的交互效应（Wilks lambda=0.998，[3, 505]=0.31，=0.82）以及性别上的主效应（Wilks lambda=0.996，[3, 505]=0.65，=0.58）．不过存在年级上的主效应（Wilks lambda=0.945，[3, 505]=9.75，<0.001）．

为检验年级间的差异，进一步进行了检验（结果见表4）．在“面积和集合相关表征转化——真分数”上不存在显著的年级间差异（=0.29>0.05）．如图3所示，六年级学生在该维度上的正确率略高于5年级学生．在“数轴相关表征转化”维度上存在显著的年级差异（=0.006<0.05）．如图3所示，在该维度上六年级平均正确率（=58.71%）较五年级（=51.08%）有显著的提高．在“面积和集合相关表征转化—假分数”上亦存在显著的年级差异（<0.001）．从图3可看出，在“面积和集合相关表征转化—假分数”相关问题上五年级平均正确率（=83.94%）反而优于六年级（=74.62%）．

图3 不同年级学生表征转化任务表现条形图

4 讨 论

通过改编Kurt和Cakiroglu的分数表征转化能力测试工具，研究调查了小学五、六年级学生的分数表征转化能力．就具体调查内容而言，研究发现学生在面积表征转化和集合表征转化相关的问题上表现较好，但在数轴表征和假分数相关转化问题上表现较差．

4.1 五六年级学生面积和集合相关表征转化能力较强

如上所汇报，参与研究的小学生在面积和集合相关表征转化问题上表现较好．其原因可能有如下3方面：第一，面积与集合所表示的“部分整体”概念对学生而言较易理解．多数学生在生活中已经接触过如“平均分”、“几分之几”等与“部分整体”概念相关的知识和情景．此外，分数“部分整体”概念可以被学生原有认知中的整数概念所同化[11]．第二，“部分整体”概念是理解其它4个概念的基础[8]，在分数概念教学中非常受到教师的重视，贯穿分数学习始终．第三，教科书编排与呈现方式的影响．通过对现行西南师范大学版小学数学教科书相关章节内容进行统计分析发现，面积与集合表征是最常用的图形表征方式（约占图形表征的92%，见表5）．这些都可能在很大程度上提升了学生面积和集合相关表征的转化能力．

4.2 五六年级学生数轴相关表征转化能力较差

如上所汇报，研究发现五六年级小学生在数轴相关表征转化问题上表现最差，很多学生在相关转化问题上出现较大困难．其可能原因主要涉及3方面：第一，数轴所表示的分数“测量”概念对学生而言较为抽象难懂．它要求学生理解分数是一个数，这与学生原有知识体系中的“整数”概念产生冲突，从而出现“整数偏向”的现象．此外，整数表示的是离散的数量，而分数表示的是无限可分的连续量[14]．这都造成了学生在分数“测量”概念和数轴表征上的困难．

第二，学生没有理解面积（或集合）表征与数轴表征的本质区别．面积表示分数“部分整体”概念，数轴表示分数“测量”概念．对于分数（不为0），“部分整体”概念强调分数分子与分母的部分整体关系，而“测量”概念要求将看做一个整体，强调分数“数”的特征．学生将两类分数表征混淆起来，误认为数轴也表示分数的“部分整体”概念．此外，在访谈中还发现学生对单位“1”思想太过依赖，甚至出现“遇到分数问题，先找单位‘1’”的解题策略．这会使学生对分数概念的理解局限于“部分整体”，影响学生对分数多重概念和多元表征的掌握．

第三，教科书呈现与编排原因．通过对西南师范大学版小学数学教科书分数相关内容的分析比较，发现在分数表征的分布和呈现上存在3方面的问题．数量上，面积表征和集合表征占总表征数的92.08%，数轴表征出现频次过少仅占7.92%（见表5）；分布上，面积表征几乎贯穿所有分数相关章节，而数轴表征仅在五年级下册分数的意义、分数大小比较、真分数和假分数、分数的基本性质以及分数小数中有所涉及，在五年级下册分数加减法以及六年级的相关内容中没有出现；知识呈现上，教材中对分数的界定是“把单位‘1’平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数”，这有利于学生理解“部分整体”概念，但它没有清楚界定分数“数”的特征，“表示一份或几份”的数究竟是自然数还是分数[15]？含混的定义容易影响学生对分数“测量”概念的理解．

表5 西师版小学数学教材中3类分数图形表征年级分布

4.3 五六年级小学生在假分数表征相关问题上存在困难

如上所述，通过调查发现五六年级小学生在假分数表征相关问题上也存在较大的困难．主要原因在于用集合表征假分数时，学生对单位“1”的选取．假分数的分子大于分母，此时的单位“1”不再是整个“图形”．这与学生原有的分数认识产生冲突，学生较难理解单位“1”变成整个“图形”的一部分．假分数表征要求学生更全面地理解分数“部分整体”概念．单位“1”是相对的，它的选择需要根据实际情况进行重组和调整．

特别值得注意的是“面积和集合相关表征转化—假分数”的正确率随年级升高反而下降．这可能主要由于假分数相关内容仅在五年级下册第一章第三节出现而六年级完全未涉及相关内容．随年级升高，学生对真分数的理解不断巩固，而假分数及其表征逐渐被遗忘和混淆．

4.4 典型错误讨论

学生在分数表征转化的过程中遇到一些困难和障碍，问题集中于与数轴相关的表征转化．根据测试卷结果分析，研究发现学生在分数表征转化问题上的7种典型错误（见表6）．其中错误类型E1~E6具有共同的特征：学生在完成数轴相关表征转化时，将数轴上标出的所有刻度看作整体，依据“部分整体”概念来寻找对应的点．以错误类型E1为例，题目要求学生将符号表征转化为数轴表征，学生错误地将数轴所有呈现出来的所有刻度作为单位1（共14个刻度），取其中的8份（）．他们没有意识到数轴上单位1是已确定的并且每个点代表确定的数值．这种错误出现的根本原因是学生没有真正理解数轴表征所代表的“测量”概念，他们将“部分整体”概念与“测量”概念相混淆．错误类型E2中，题目要求学生将代表“部分整体”概念的集合表征转为代表“测量”概念的数轴表征，概念的混淆导致错误率高达36.67%．

表6 分数表征转化典型错误表

5 结论与建议

不同的数学表征给学生提供了不同解读和思考问题的视角，所以提升学生数学素养的重要途径之一在于培养学生对数学知识的多元表征能力以及在各种表征之间灵活转化的能力．这不仅可以帮助学生理解不同表征与分数概念的关系，更可以促使其今后能灵活选择合适的表征解决复杂分数问题．经调查，得出如下结论：五、六年级学生对分数概念的理解、假分数和分数数轴表征转化任务上存在较大困难．这些研究结果可以对分数表征及分数表征转化的教学提供些许建议．

5.1 课程内容和教学应注重多元表征

总的来说学生在分数表征转化任务上存在不足，不能灵活地使用和转化分数表征．比如在面积（或集合）表征与数轴表征转化时，大量学生出现混淆，没能理解这两类表征的区别和联系．而表征转化能力是影响学生数学学习、问题解决及产生、有意义学习的重要因素[9]．基于此，课程标准和分数教学中都应注重多元表征以及表征转化教学，帮助学生建立起全面的分数表征系统和知识结构．

首先，数学课程标准应该对分数“表征教学”以及“表征转化”给予充分的重视，针对“表征”设立具体可操作的教学目标．课程标准是指导教材编写和老师教学的重要依据，而《义务教育数学课程标准》[2]中未提到“多元表征”和“表征转化”的相关内容．这自然会导致教师缺乏培养学生“多元表征能力”以及“表征转化能力”的意识．

此外，在教学中教师需注重分数多元表征，让学生在应用多元表征的过程中感受表征间的关系，从而建立更全面的分数表征系统．在不同表征间建立联系的过程有利于加深学生的数学理解[16]．

5.2 教师和教材编写者可在分数教学中更多使用数轴表征

学生在数轴相关转化问题上存在较大困难，这主要由于数轴表征所对应的“测量”概念的抽象性，以及教材对数轴表征使用的欠缺．

基于此，在教学中教师首先要帮助学生理解“测量”概念．这需要学生经历一个概念转变的过程——即从离散性的整数系统转变为连续性的有理数系统[17]．教师要让学生感受整数扩充到有理数的过程，并利用数轴表征帮助学生理解分数与整数的关系，形成新的认知结构．

其次，在教材相关章节中可适当增加数轴表征的内容．特别是“分数加法”章节，数轴表征的使用可以使学生更容易理解和掌握分数加法的原理．这是由于数轴表征所表示的“测量”概念与分数加法运算联系紧密，它是教授分数加法最适合的表征工具[18]．此外，对于教材中分数概念界定问题，张奠宙先生曾建议在定义中加上“大小”二字，既将“一个整体平均分成若干份，表示这样的一份或几份的大小的数，叫做分数”[15]．这样的定义更强调分数“数”的特征，利于“测量”概念的理解．

5.3 假分数及假分数表征转化应受到重视

假分数是分数的重要组成部分，调查结果显示学生在假分数表征上存在较大困难，而这些困难一定程度上源于真分数表征及教材编写的影响．基于此，教师需要帮助学生理解真分数表征与假分数表征在整体（单位“1”）选取上的区别，更全面理解“部分整体”概念．其次，教学中可用数轴来表征假分数，这样一方面让学生直观地体会真分数小于1，而假分数等于1或大于1的特征；另一方面让学生对真分数、假分数的意义有系统的认识，从而完善分数体系[19]．最后，教材编写时也应充分考虑假分数知识的巩固和螺旋上升，可在六年级分数章节中增加与假分数相关的知识和情景．

［参考文献］

[1] National Council of Teachers of Mathematic.[M]. Reston, VA: NCTM, 2000.

[2] 中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（2011年版）[M]．北京：北京师范大学出版社，2011．

[3] Goldin G A. Representation in School Mathematics: A Unifying Research Perspective [A]. In: Kilpatrick J, Martin W G, Schifter D.[C]. Reston, VA: NCTM, 2003: 275–285.

[4] 唐剑岚．国外关于数学学习中多元外在表征的研究述评[J]．数学教育学报，2008，17（2）：30-34．

[5] Lesh R, Post T, Behr M. Representations and Translations among Representations in Mathematics Learning and Problem Solving [A]. In: Janvier.[C]. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum, 1987.

[6] 纪桂萍，焦书兰，何海东．小学生数学问题解决与心理表征[J]．心理发展与教育，1996，（1）：29-32．

[7] Behr M J, Lesh R, Post T R, et al. Rational Number Concepts [A]. In: Richard A Lesh, ‪Marsha Landau.[C]. New York: Academic Press, 1983.

[8] Behr M J, Harel G, Post T, et al. Rational Number, Ratio, and Proportion [A]. In: Grouws D A.[C]. New York: Macmillan, 1992.

[9] Behr M J, Wachsmuth I, Post T R, et al. Order and Equivalence of Rational Numbers: A Clinical Teaching Experiment [J]., 1984, (15): 323-341.

[10]  Charalambous C Y, Pitta-Pantazi D. Drawing on a Theoretical Model to Study Students of Fractions [J]., 2007, 64(3): 293-316.

[11] 倪玉菁．五、六年级小学生对分数的意义和性质的理解[J]．心理发展与教育，1999，（4）：26-30．

[12] 张睆，辛自强．分数概念的个体建构——起点与机制及影响因素[J]．数学教育学报，2013，22（1）：27-32．

[13]  Gonul Kurt, Erdinc Cakiroglu. Middle Grade Students’ Performances in Translating among Representations of Fractions: A Turkish Perspective [J]., 2009, (19): 404-410.

[14]  Ni Y, Zhou Y D. Teaching and Learning Fraction and Rational Numbers: The Origins and Implications of Whole Number Bias [J]., 2005, 40(1): 27-52 .

[15] 张奠宙．“分数”教学中需要澄清的几个数学问题[J]．小学教学（数学版），2010，（1）：4-6．

[16] 胡典顺．美国学校数学教育中的“表征”及其启示[J]．数学教育学报，2009，18（5）：72-74．

[17] 刘春晖，辛自强．五—八年级学生分数概念的发展[J]．数学教育学报，2010，19（5）：59-63．

[18]  Keijzer R, Terwel J. Learning for Mathematical Insight: a Longitudinal Comparative Study on Modeling [J]., 2003, (13): 285-304.

[19] 朱新强．真分数和假分数——教学实录与评析[J]．小学数学教育，2012，（Z2）：136-138．

[责任编校：周学智]

Investigation of Fifth and Sixth Students’ Abilities in Translating among Representations of Fractions

GUO Meng1, XIONG Yan-xi1, YANG Xin-rong1, CHEN Chao-dong2

(1. School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China;2. School of Mathematics, Sichuan University, Sichuan Chengdu 610000, China)

Representation of fraction is an important part of fraction, it also can help student understand the concept better. And the representations include region, discrete objects, number line, symbol and so on, which relate to the concepts of fraction. It’s significant for teachers to teach fraction. This paper modified the Translations among Representations of Fractions Test (Kurt & Cakiroglu) and used it to investigate 247 fifth and 264 sixth students, abilities in translating among representations of fractions. It finds that students have some difficulties in the transforming tasks that associated with number line and improper fraction. They cannot understand the difference between region (discrete objects) and number line. Besides, the sixth grade students perform better than fifth grade students in the tasks related to number line. Based on our finding, we suggest that math teachers should pay more attention to multiple representations of fraction, especially number line and representations of improper fraction. And translating among representation of fraction tasks can help students build a more comprehensive system of representations of fraction and improve students’ comprehensions of fraction concept.

representation of fraction; translating among representations of fraction; fraction concept; number line; elementary students

G420

A

1004–9894（2016）05–0049–06

2016–04–20

重庆市自然科学基金项目——小学生数学概念的发展过程：基于分数概念的研究（CSTC2011BB0010）

郭萌（1991—），女，四川乐山人，硕士研究生，主要从事数学教育研究．