模空间中一类四映射公共不动点问题及迭代程序的稳定性

魏超

（南京财经大学应用数学学院，江苏南京210023）

模空间中一类四映射公共不动点问题及迭代程序的稳定性

魏超

（南京财经大学应用数学学院，江苏南京210023）

文章利用Δ2条件，在模空间中证明一类四映射公共不动点的存在性.在此基础上讨论相关公共不动点的迭代程序的稳定性.所得结果从空间角度对相关文献的结论进行推广.

模空间；公共不动点；相容性

0 引言

众所周知，不动点理论在诸多领域有着广泛的应用，尤其是在微分方程和积分方程这些领域，其中一个非常著名的不动点定理就是人们所熟知的Banach不动点定理.模空间理论是由Nakano［1］提出并进行推广的.有关模空间的基础理论及其相关性质可参见文献［1］.近年来，越来越多的学者开始关注模空间的不动点问题的研究，相关结果可以参见文献［2-6］.2008年，Khamsi［7］讨论了模空间中没有Δ2条件（Δ2条件：若当n→∞时，由ρ（xn）→0可推出ρ（2xn）→0成立）的拟压缩映射.2012年，Wang等［8］第一次将Banach空间中的渐近逐点非扩张映像的概念引入到模空间中，即映射T：C→C使得

成立.并且在模空间中证明了映射T有不动点.2016年，Özturk等在文献［9］给出了模空间ψ-φ广义压缩映射的概念，并且证明了一类公共不动点问题.

本文在前人的基础上，首先将文献［10］讨论的四映射公共不动点推广到模空间；其次又讨论了相关公共不动点的迭代程序的稳定性，推广了文献［11］中相关结果.

1 预备知识

定义1［1］设X为K（=RC）上的任一向量空间.对于X中的∀x，y，泛函ρ：X→［0，+∞）被称为X上的模，如果：

（a）ρ（x）=0当且仅当x=0.

（b）ρ（αx）=ρ（x）当α∈K且|α|=1.

（c）ρ（αx+βy）≤ρ（x）+ρ（y），如果α，β≥0且α+β=1.

若（c）被ρ（αx+βy）≤αsρ（x）+βsρ（y）替代，其中αs+βs=1，α，β≥0且s∈（0，1］，则称模ρ为s-凸模.如果s=1，则称模ρ为凸模.

定义2［8］若向量空间Xρ=｛x∈X|ρ（λx）→0，当λ→0｝，则称向量空间Xρ为模空间.

定义3［8］设ρ为定义在X上的模，Xρ为模空间.

（c）若Xρ中的每个ρ-柯西列都收敛到模空间Xρ的某个点，则称Xρ为完备的模空间.

（d）称模ρ为满足Δ2条件：若当n→∞时，由ρ（xn）→0，可推出ρ（2xn）→0成立.

定义4设映射对｛f，g｝为模空间Xρ上的自映射对，若对于t∈Xρ、Xρ中的任意序列｛xn｝.称映射对｛f，g｝称为相容的，当且仅当当时，有成立.

引理1设Xρ为模空间，ρ满足Δ2条件.若有其中m∈N.

证明由于ρ满足Δ2条件，故当成立时，有成立.进一步考虑由于成立，再由ρ满足Δ2条件，可得依次类推，最终可得

引理2设Xρ为模空间，ρ满足Δ2条件.若存在两个序列｛xn｝、｛yn｝，使得

证明由ρ（αx+βy）≤ρ（x）+ρ（y），α+β=1得两边同时取极限有

引理3设a，b∈R+且有a＜b，则有ρ（a）＜ρ（b）成立.

证明对于任意的n＞m，n，m∈N，

由Δ2条件、引理1及，对上式两边取n，m→∞，有ρ（yn-ym）→0.因此序列｛yn｝为ρ-柯西列.设f，g，S，T为完备模空间Xρ上的自映射，且有f（Xρ）⊂T（Xρ），g（Xρ）⊂S（Xρ）.任取x0∈Xρ，存在x1∈Xρ使得fx0=Tx1.又因为gx1∈S（X），则存在x2∈X使得gx1=Sx2.故一般地，则有fx2n=Tx2n+1和gx2n+1=Sx2n+2.进一步地设

至此由上述（1）式过程得到了模空间中一序列｛yn｝.

定义5设序列｛yn｝由（1）式迭代产生，p为映射f，g，S，T的公共不动点.任取模空间中一序列｛zn｝，称迭代程序（1）为（S-T）稳定的.有成立.

2 主要结果

定理1设序列｛yn｝为ρ-收敛列且ρ满足Δ2条件，则有序列｛yn｝为ρ-柯西列.

证明设序列｛yn｝ρ-收敛列到点y，即有故由ρ满足Δ2条件，则有成立.考虑

定理2设f，g，S，T为完备模空间Xρ上的自映射，且有f（Xρ）⊂T（Xρ），g（Xρ）⊂S（Xρ）；映射S，T是连续的且映射对｛f，S｝、｛g，T｝相容.若对于任意的x，y∈Xρ、k≥1和q∈（0，1），都有

成立，ρ连续且满足Δ2条件，则映射f，g，S，T有唯一公共不动点.

证明任取x0∈Xρ，由于f（Xρ）⊂T（Xρ），故存在x1∈Xρ使得fx0=Tx1.又因为gx1∈S（X），则存在使得故一般地，则有进一步地设接下来证明序列｛yn｝为ρ-柯西列.

若ρ（y2n-y2n+1）＞ρ（y2n-1-y2n），则有ρ（y2n-y2n+1）＜qρ（y2n-y2n+1）.由于q＜1，故ρ（y2n-y2n+1）＜qρ（y2n-y2n+1）不成立.因此ρ（y2n-y2n+1）＜ρ（y2n-1-y2n），从而有

类似可得

由（3）和（4）式可得ρ（yn-yn-1）＜qρ（yn-1-yn-2），依此类推可得

由ρ连续，对上式两边取极限，有ρ（Sy-y）≤qρ（Sy-y）.由于q＜1，故ρ（Sy-y）=0，从而有Sy=y成立.由映射T的连续性，同理可得Ty=y成立.在（2）式中取x=y、y=x2n+1，由Sy=Ty=y可推得fy=y成立.最后由

可得gy=y成立.因此有Sy=Ty=fy=gy=y.

下证唯一性：

若还存在一点x为映射f，g，S，T的公共不动点，则

从而有x=y.故映射f，g，S，T有唯一的公共不动点.

定理3设f，g，S，T为完备模空间Xρ上的自映射，且有f（Xρ）⊂T（Xρ），g（Xρ）⊂S（Xρ）；映射S，T是连续的且映射对｛f，S｝、｛g，T｝相容.若对于任意的x，y∈Xρ、k≥1和q∈（0，1），都有

成立，ρ连续且满足Δ2条件，则映射f，g，S，T有唯一公共不动点.

证明类似定理2容易证得.

推论1设f，g，S，T为完备模空间Xρ上的自映射，且有f（Xρ）⊂T（Xρ），g（Xρ）⊂S（Xρ）；映射S，T是连续的且映射对｛f，S｝、｛g，T｝相容.若对于任意的x，y∈Xρ、k≥1和q∈（0，1），都有

成立，ρ连续且满足Δ2条件，则映射f，g，S，T有唯一公共不动点.

证明由于k≥1，故由引理3有ρ（fx-gy）≤ρ（k（fx-gy）成立.因此结合（5）式有

成立.从而由定理3可证得.

定理4设f，g，S，T为完备模空间Xρ上的自映射，且有f（Xρ）⊂T（Xρ），g（Xρ）⊂S（Xρ）；映射S，T是连续的且映射对｛f，S｝、｛g，T｝相容.若f，g，S，T满足连续且满足Δ2条件，则：

（a）映射f，g，S，T有公共不动点p，且序列｛yn｝由（1）式迭代产生且收敛到点p.

证明结论（a）可由推论1中k取4即可证得.下证结论（b）：

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The Problems of Common Fixed Point of a Class of Four Mappings in Modular Space and its Stability of the Iterative Procedure

WEI Chao
（School of Appl.Math.，Nanjing University of Finance and Economics，210023，Nanjing，Jiangsu，China）

By using the condition ofΔ2，the existence of a class of four mappings’common fixed point is proved in the modular space.On this basis，we discuss the stability of iterative procedure of the related com⁃mon fixed points.The results of this paper are new and extended in modular space.

modular space；common fixed point；compatibility

O 177.91

A

2095-0691（2016）03-0028-05

2016-04-27

魏超（1991-），男，江苏淮安人，硕士生，研究方向：非线性分析及其经济应用.