时变时滞区间神经网络指数鲁棒稳定性改进的判别方法

陈昊，钟守铭，康卫

（1.淮北师范大学数学科学学院，安徽淮北235000；2.电子科技大学数学科学学院，四川成都611731）

时变时滞区间神经网络指数鲁棒稳定性改进的判别方法

陈昊1，2，钟守铭2，康卫2

（1.淮北师范大学数学科学学院，安徽淮北235000；2.电子科技大学数学科学学院，四川成都611731）

文章研究具有时变时滞区间神经网络系统的指数鲁棒稳定性.采用Halanay不等式、不动点理论及矩阵理论推导出指数鲁棒稳定性的一个改进的判别条件.该结果不同于以往线性矩阵不等式形式的条件，是通过计算矩阵的算子范数来判断稳定性的.

区间神经网络；同胚映射；时变时滞；指数鲁棒稳定性

0 引言

自从神经网络被提出以来，由于在联想记忆、模式识别、信号处理、优化求解、不动点计算等领域的广泛应用，迅速受到国内外众多学者的关注.然而在网络的硬件实现中由于信号传输速度的有限性，使得系统不可避免地出现时间滞后现象.时滞的出现往往会破坏系统的稳定性，甚至产生震荡现象、混沌现象，从而给神经网络在实际应用中带来诸多困难.所以，具有时滞神经网络的稳定性分析成为当前的一个研究热点，并取得了很多有意义的成果［1-10］.

文献［11］构造了新的Lyapunov泛函，得到了具有多时滞神经网络鲁棒稳定性的一个判别条件.文献［12］通过构造Lyapunov泛函并结合不等式分析技巧研究了时变时滞神经网络的全局稳定性的一个充分条件.文献［13-14］通过构造Lyapunov泛函和非负矩阵理论推导了时变时滞神经网络的全局指数鲁棒稳定性条件.文献［15］运用Lyapunov方法和H-矩阵理论进一步分析了时变时滞神经网络的全局指数稳定性条件.由于区间神经网络在实际应用中的重要性，对其稳定性的研究受到众多学者的重视.本文运用Lyapunov方法和不动点理论，得到了区间神经网络指数鲁棒稳定性的一个新的充分条件.数值算例表明新结果的有效性.

1 预备工作

考虑如下的时滞神经网络系统：

（1）式可改写为如下向量形式：

其中，zi（t）是第i个神经元的状态变量，C=diag（ci）≥0，A=（aij）n×n，B=（bij）n×n是连接权矩阵，f（z（t））=（f1（z1（t），f2（z2（t），…，fn（zn（t））T；f（z（t-τ（t））=（f1（z1（t-τ（t）），f2（z2（t-τ（t）），…，fn（zn（t-τ（t））T是神经元激励函数；时滞τ（t）是连续的有界函数，满足0≤τ（t）≤τ；u=（u1，u2，…，un）T为外部输入.

连接权矩阵的取值满足如下条件：

假设神经元激励函数fi（z（t）是全局连续的，且满足

下面的引理和定义对于本文主要结论的证明是非常有用的.

引理1［10-11］如果函数w（x）：Rn→Rn为连续函数，且满足：

（1）w（x）为单射，即w（x）≠w（y），∀x≠y；

（2）w（x）为满射，即当‖‖x→+∞时，‖‖w（x）→+∞；则w（x）为Rn上的同胚映射.

引理2［13］（Halanay不等式）常数k1，k2满足k1＞k2＞0，u（t）是［t0-τ，t0］上的非负连续函数，且当t≥t0时，满足D+u（t）≤-k1u（t）+k2u¯（t），其中为常数.当 t≥t0时，则有，其中λ是方程λ=k1-k2eλt的唯一正根.

定义1［15］设C∈CI，A∈AI，B∈BI，如果系统（1）有唯一的不动点且存在常数

，则称系统（1）是全局指数鲁棒稳定的.其中φ（s）：［-τ，0］→Rn是连续函数，且是具有初始值zi（s）=φi（s），i=1，2，…，n的系统（1）的解.

本文中的记号：

1）对矩阵D=（dij）n×n，D≥0表示D为非负矩阵，即

分别表示矩阵D的算子1-范数、算子2-范数、算子∞-范数；矩阵D≤E，即dij≤eij，其中E=（eij）n×n.

2）对向量x=（x1，x2，…，xn）T，||x=（||x1，||x2，…，||xn）T；‖‖x2表示向量x的2-范数.

2 主要结论

定理1若系统（1）或（2）满足（3）式，且不等式：成立，则称系统（1）或（2）是指数鲁棒稳定的.其中

证明分两步证明.先证明不动点的唯一性.

根据系统（1）定义下面的映射H（x）=-Cx+Ag（x）+Bg（x）+I.先证明此映射是单射.对任意x，y∈Rn，x≠y，有：

（5）式两边乘以2（x-y）T得

对（6）式右端三项逐项分析

其中v1是任意常数.令由（8）式可得

同样地，

其中v2是任意常数.令v2=n/‖‖S1，由（10）式可得

由于（9）式和（11）式同时成立，故

类似地分析（6）式右端第三项

其中v3是任意常数.令由（13）式可得

其中v4是任意常数.令v4=n/‖‖R1，由（15）式可得

由（14）和（16）式得

根据（7）（12）（17）式有

所以，当x≠y，Ω＞0时，

因此，x≠y，H（x）≠H（y）.故H（x）为单射.再证H（x）为满射.在（18）式中，令y=0，有

（19）式两边取范数，

由于‖‖H（0）2有界，所以当‖‖x→+∞时，‖‖w（x）→+∞，因此H（x）为满射.由引理1可知，H（x）为同胚映射.所以系统（1）有唯一的不动点z*.

再证明平衡点的指数鲁棒稳定性.对系统（1）做变量代换，令y（t）=z（t）-z*.

其中fj（yj（t）=gj（yj（t）+zj*）-gj（zj

*）.系统（21）满足（4）式且有唯一不动点z*.

考虑如下Lyapunov泛函：

显然V（y（t））正定且径向无界.

求V（y（t）沿（21）式的轨道对时间t的导数：

根据式（7）（12）（17）式得

其中

当系统（1）的系数矩阵固定时，即C，A，B为常数矩阵时有如下推论成立.

推论1若系统（1）或（2）满足（3）式，且不等式：

3 数值实例

例1设系统（1）的参数如下

易知文献［5］中结论的条件不能满足，所以不能适用本例稳定性的判定.应用定理1，则所以系统（1）是指数鲁棒稳定的.

例2设系统（1）的参数如下

文献［16-17］中的结论显然不能满足，故无法判断本例的稳定性.应用定理1，则因此，系统（1）是指数鲁棒稳定的.

对任意的初值，系统（1）都是指数鲁棒稳定的.为了更直观地体现系统（1）的指数鲁棒稳定性，下面给出在时系统的状态曲线.图1是初始值为［5，2］时系统的状态曲线，图2是初始值为［8，-5］的状态曲线.

图1 初始值为［5，2］时系统（1）的状态曲线

图2 初始值为［8，-5］时系统（1）的状态曲线

4 结束语

本文运用Lyapunov方法、不动点理论和非负矩阵理论，研究了一类具有时变时滞区间神经网络指数鲁棒稳定性，得到了一个新的充分条件.新判据较文献［10-15］有更广的应用范围.可以将本文的方法推广到具有离散和分布时滞的区间神经网络系统的稳定性研究，有望得到其指数鲁棒稳定的新的判定条件.

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An Improved Criterion for Exponential Robust Stability of Interval Neural Networks with Time-varying Delays

CHEN Hao1，2，ZHONG Shouming2，KANG Wei2
（1.School of Mathematical Sciences，Huaibei Normal University，235000，Huaibei，Anhui，China；
2.School of Mathematical Sciences，University of Electronic Science and Technology，611731，Chengdu，Sichuan，China）

This paper investigates the exponential robust stability of interval neural networks with time-vary⁃ing delays.By employing the Halanay inequality，fixed point theory and matrix theory，an improved criterion for exponential robust stability is derived.The proposed result is different from the ones in the form of Linear inequalities（LMIs）.The stability is to be judged by calculating matrix norms.

interval neural networks；homeomorphism；time-varying delays；exponential robust stability

O 175.13

A

2095-0691（2016）03-0001-06

2016-04-05

安徽省高校省级自然科学研究重点项目（KJ2016A625）；安徽省高校省级自然科学研究重点项目（KJ2014A223）；安徽省自然科学基金项目（1508085MA14）；安徽省自然科学基金项目（1408085MA14）

陈昊（1982-），男，安徽濉溪人，副教授，博士生，研究方向为神经网络稳定性.