一种基于余数周期的PRI精确估计算法

苏焕程，张　君，程良平，程亦涵，冷　魁

(中国航天科工集团8511研究所，江苏 南京 210007)



·工程应用·

一种基于余数周期的PRI精确估计算法

苏焕程，张君，程良平，程亦涵，冷魁

(中国航天科工集团8511研究所，江苏 南京 210007)

针对传统脉冲重复间隔(PRI)分选算法在估计PRI方面存在的不足，提出了一种对PRI周期信号的周期进行精确估计的算法。该算法首先从待分选脉冲序列中提取出属于一部雷达的脉冲样本，然后利用同余方程的余数周期性质对该雷达脉冲序列的PRI进行精确的估计。相对于传统的PRI估计算法，该算法有效地消除了TOA量化误差对PRI估计造成的影响，可以精确地估计出雷达脉冲序列的准确PRI数值，从而能够更好地满足信号分选算法的处理需求。理论推导及仿真实验均表明了该算法的有效性。

信号分选；脉冲重复间隔；余数周期；量化误差

0　引言

传统的PRI分选算法的处理流程可分为脉冲重复间隔(PRI)估计和脉冲序列抽取两部分[1-2]，即先通过PRI估计得到一个可能的雷达辐射源PRI，再以该可能的PRI为参考对脉冲序列进行抽取，从而实现对雷达辐射源的分选。目前的研究重点基本都集中在对PRI的快速、准确的估计上，这是由于如果不能准确地估计出PRI，则后续的脉冲序列抽取会出现抽取错误、抽取不彻底以及脉冲断裂[3]等问题，最终导致信号分选失败、或者雷达辐射源参数估计不准。

传统的PRI估计算法的处理流程可以分为PRI粗估计和PRI精估计两部分，PRI粗估计是在没有成功匹配到任何脉冲之前，对原始脉冲序列进行首次处理后得到一个可能的PRI，而这个PRI往往与真实PRI之间存在较大偏差，但是可以基本满足接下来脉冲序列抽取的要求，例如经典的统计直方图法、累积差值直方图法(CDIF)、序列差值直方图法(SDIF)、PRI变换法及其改进算法等[4]；而PRI精估计则是在PRI粗估计的基础上再次进行的估计，它通常建立在已经成功抽取得到的部分脉冲序列的基础上，故往往可以得到比PRI粗估计更好的精度，例如算术平均法[5]、最小邻聚类法、最佳拟合直线法[6]等。但是以上PRI精估计算法都没有考虑到雷达截获系统由于自身TOA量化精度对PRI测量造成的影响，导致估计得到的PRI不能消除量化误差。该量化误差在脉冲序列抽取过程中被不断累积放大，导致出现脉冲抽取错误或抽取不彻底的情况。为了解决这一问题，本文提出了一种对PRI周期信号进行精确估计的算法。该算法建立在PRI粗估计的基础上，利用同余方程的余数周期性质，对通过PRI粗估计抽取得到的部分脉冲序列进行处理，从而得到精确的PRI估计结果。与传统的PRI精估计算法相比，该算法可以有效地消除雷达截获系统TOA量化误差对PRI估计结果产生的影响，并且可以大幅度减少PRI精估计所需要的算法运算量。本文提出的算法适用于重频固定、重频参差以及重频组变等重复周期变化相对固定的雷达辐射源信号。

1　相关算法

PRI粗估计算法的估计结果通常偏差较大，需要依靠PRI精估计进行再次修正，故本文只对传统的PRI精估计算法的原理进行分析。

假定雷达截获系统输出到内部信号分选模块的脉冲序列的TOA量化精度为Δ(Δ>0)，则对于一部PRI固定为NΔ+Φ(0≤Φ<Δ，N为正整数)的雷达辐射源信号，信号分选模块接收到的第i个脉冲(i>0)的TOA可以表示为：

(1)

式中，η是一个常数，这个值的引入是由于雷达辐射源TOA起始点的随机性导致的。

不失一般性，假设η=0，则T(i)可表示为：

(2)

当iΦ满足MΔ≤iΦ<(M+1)Δ，且(i+1)Φ≥(M+1)Δ时，M为非负整数，序号为i的脉冲与序号为i+1的脉冲之间的TOA满足：

(3)

而当iΦ不满足以上关系时，则序号为i的脉冲与序号为i+1的脉冲之间的TOA满足：

(4)

假定不考虑雷达截获系统的测量误差，则完成首次脉冲抽取后，得到的脉冲序列的脉冲间隔为N或N+1，两者的比例关系与雷达截获系统的量化精度、雷达辐射源的实际PRI数值、具体采用的脉冲抽取方式均相关。为了便于接下来的分析，不妨假设脉冲间隔N与N+1的比例关系为L∶K，其中L、K为非负整数。

传统的PRI精估计算法主要包括算术平均法、最小邻聚类法以及最佳拟合直线法，下面对以上各个估计算法的估计结果进行分析。

算术平均法的原理是对脉冲序列抽取得到的脉冲计算相邻脉冲之间的脉冲间隔，然后对计算得到的脉冲间隔求其均值。根据以上对脉冲间隔N与N+1的比例关系的假定，可以得到算术平均法的PRI精估计的结果为N+K/(L+K)。

最小邻聚类法的原理是对脉冲序列抽取得到的脉冲计算相邻脉冲之间的脉冲间隔，然后对计算得到的脉冲间隔进行聚类，找到最大类。对于信号分选模块，如果类间距离大于1个量化单位，则所有的脉冲间隔将归属为同一个类，如果取类中心为类元素的平均值，那么最小邻聚类法将与算术平均法等效，得到的PRI精估值结果同样为N+K/(L+K)。

最佳拟合直线法的原理是对脉冲序列抽取得到的所有脉冲的TOA进行直线拟合，最佳拟合直线就是各个TOA点偏离该直线的偏差所构成的总偏差最小的1条直线，并以拟合后的直线两点之间的间距作为PRI精估值。在目前提出的各个拟合算法中，对最佳拟合的定义并不一致，但拟合后的直线显然在y=Nx与y=(N+1)x之间，且与L、K的比例关系相关，不妨设拟合后的直线为：y=(N+Ω)x，其中Ω是L、K的函数，则可以得到最佳拟合直线法的PRI精估值结果为N+Ω。

通过以上分析，我们得到了在雷达截获系统测量误差较小的条件下，3种传统的PRI精估计算法的估计结果为N+K/(L+K)或N+Ω。

根据雷达截获系统模型，雷达辐射源的实际PRI应当为N+Φ/Δ。对于算术平均法和最小邻聚类法，要准确地估计出雷达辐射源的PRI，则必须保证K/(L+K)等于Φ/Δ；而对于最佳拟合直线法，则必须保证Ω等于Φ/Δ。然而在实际信号分选过程中，由于雷达辐射源的准确PRI是个未知数，从而导致Φ也是一个未知数，故对上述的L和K所要求的比例关系在算法层面是无法保证的。

综上所述，传统的PRI精估计算法得到的PRI估计结果必然与真实PRI之间存在一个偏差，不妨设为Φ′。如果信号分选模块在进行脉冲序列抽取时以该PRI数值为参考进行脉冲抽取，且设置的匹配容差为Γ(Γ<Φ′M)，则当脉冲序列中发生连续M+1根脉冲丢失时，显然脉冲抽取将失败。

2　本文算法

2.1余数周期

同余方程的余数周期性是指对于同余方程an≡cn(modb)，(a、b、n为正整数,c为整数，且a>b,a、b互质)，0≤cn

如果从数列的角度来描述上述同余方程的余数周期性，那么可以建立以下定理。

定理1：对于首项等于公差的等差数列xn=na(n、a为正整数)，如果各项都对b求模(b为正整数且与a互质)，则得到的余数数列c1，c2，…，ci，…，(0≤ci

实际上，对于首项不等于公差的等差数列也具有余数数列周期循环的性质，下面证明定理2。

定理2：对于等差数列xn=d+na(n、a、d为正整数)，如果各项都对b求模(b为正整数，且与a互质)，则得到的余数数列c1，c2，…，ci，…，(0≤ci

例如，对于等差数列xn=11+100×n：111，211，…，11+100×n，…，如果该数列对7进行求模，则得到余数数列ci为：6，1，3，5，0，2，4，6，1，3，5，0，2，4，…，余数数列以6，1，3，5，0，2，4为循环节周期循环，且对于∀i，满足ci=ci+7。

2.2算法原理

在定理2的基础上，再对雷达截获系统输出到内部信号分选模块的脉冲序列进行分析。

在实际的雷达截获系统中，由于其内部信号检测模块的算法处理需要，TOA的量化单位Δ不一定是一个整数，但通常可表示为分数形式的有理数，不妨记为p/q，p和q为正数，则可将(1)式转换为：

(5)

对于内部的信号分选模块，雷达辐射源信号的准确PRI应当是N+Φ/Δ，即N+Φq/p。

既然我们关心的是如何能精确地估计出雷达辐射源的实际PRI，则可以构造一个偏差函数：

(6)

式中，Y(n,m)=(T(n+m)-T(n))/m

(7)

显然Ζ(n,m)的值越小，则表示与雷达辐射源信号的准确PRI越接近，其最小值为零。

不妨令m=kp，并代入(6)、(7)式，得：

(8)

(9)

式中，k为任意正整数。

根据模运算的性质，(5)式可以转换为：

(10)

(11)

将(10)式代入(9)式，可得：

Y(n,kp)=(T(n+kp)-T(n))/p=(λ(n+kp)-λ·(n+kp)modp-λ(n)+λ(n)modp)/(kp2)

(12)

显然，λ(i)是一个首项为ηq，公差为(Np+Φq)的等差数列。不妨假定等差数列λ(i)各项对p求模后得到的余数数列为c1，c2，…，则可得λ(n)modp=cn，λ(n+kp)modp=cn+kp。

根据定理2可知cn=cn+kp，并将(11)式代入(12)式，化简后可得：

Y(n,kp)=(kp(Np+Φq))/(kp2)=N+Φq/p

(13)

代入(8)式，可得：Ζ(n,kp)=0

(14)

根据以上分析结果，可以得出结论：对于任意整数n，如果令m=kp，则偏差函数Ζ(n,m)=0，达到偏差函数的最小值。

通过对偏差函数的构造可知，实际上函数Y(n,m)等价于雷达辐射源的第n+m根脉冲的TOA减去第n根脉冲的TOA的差值除上m，而偏差函数表示的是Y(n,m)与真实PRI的近似程度。

根据以上分析，可以得到一个非常重要的结论：对于截获的PRI固定的雷达辐射源脉冲序列，如果用脉冲个数间隔为整数倍量化精度分子的2个脉冲的TOA相减，并除上所间隔的脉冲个数，得到的值等于雷达辐射源的PRI数值。

2.3算法流程

在实际信号分选过程中，由于计算精度有限，导致cn=cn+kp+ξ，其中ξ是与系统计算精度相关的残差，将其代入(12)式，化简后可得：

Y(n,kp)=(ξ+kp(Np+Φq))/(kp2)=N+Φq/p+

ξ/(kp2)

(15)

代入(6)式得：Ζ(n,kp)=ξ/(kp2)

(16)

即得到的PRI数值与真实值之间存在一个估计残差ξ/(kp2)，为了使这个估计残差趋近于零，显然k值越大越好。

基于以上分析过程，下面给出基于余数周期的PRI精确估计算法的处理流程：

Step1将雷达截获系统输出到信号分选模块的脉冲序列的TOA量化精度表示为分数形式p/q；

Step2通过PRI粗估计结果，在脉冲序列中选择2个脉冲间隔等于PRI粗估计结果的脉冲(在容差范围内)，并标记为序号1和2，以这两个脉冲为基准进行脉冲匹配，并记录所有匹配成功的脉冲序号；

Step3如果匹配失败，则以2倍的PRI粗估计结果进行匹配，如果匹配成功则以上次匹配成功的脉冲序号加2作为本次匹配成功的脉冲序号，同理进行N倍的PRI粗估计结果匹配(N可设置)；

Step4检测匹配成功的脉冲序列，找到脉冲间隔数最大且是整数倍p的2个脉冲，将2个脉冲的TOA之差除脉冲间隔，将相除结果作为新的PRI估计结果进行匹配，并不断重复Step4直到匹配结束；

Step5以最后一次得到的PRI估计结果作为雷达辐射源信号的PRI精确估计结果。

3　仿真结果

3.1算法有效性分析

下面对本文提出算法的有效性进行仿真验证。

仿真信号源为一部PRI固定为1999μs的雷达辐射源信号，雷达截获系统的TOA量化精度为11μs，不考虑系统的测量误差。

不防假定雷达截获系统截获的首脉冲的TOA为341854μs，则后续截获的脉冲序列的TOA分别为343853μs，345852μs，… ，(341854 + 1999×i)μs，经过雷达截获系统量化后输出到信号分选模块的脉冲序列的TOA分别为31077，31259，31441，31622，31804，… ，341845+1999×i。

根据本文提出的算法的原理，构造一个新的偏差函数Y(i)：

Y(i)=|X(i)-1999/11|

(17)

式中，X(i)=(T(i)-341854)/(i-1)，表示的是截获的脉冲序列第i根脉冲的TOA减去首脉冲TOA的差值再除上间隔脉冲个数。

显然，Y(i)的数值越小，则表示X(i)与射源的真实PRI越接近，得到Y(i)函数如图1所示。

如图1所示，Y(i)是一个非单调函数，但是可以发现在所有i等于12，23，34，… 的点上，即满足与首脉冲序号之差等于整数倍量化精度11的点上，函数Y(i)的值均等于零，即函数X(i)完全等价于雷达辐射源的真实PRI。

从仿真结果可以看出，本文提出的通过间隔整数倍量化精度分子数值的2个脉冲估算雷达辐射源精确的PRI的算法是有效可行的。

图1　PRI偏差函数图

3.2算法性能比较

下面将本文提出的算法与传统的算术平均法、最小邻聚类法以及最佳拟合直线法三种PRI精确估计算法的性能进行对比，如表1所示。

仿真信号源为1000部PRI固定、参差或组变的雷达辐射源信号，PRI在50μs～50ms之间随机，首脉冲到达时间在0～10μs之间随机，信号的持续时间为10s，雷达截获系统的TOA量化精度在1～10μs之间随机。

表1　四种估计算法性能比较

从表1的仿真结果可以看出，本文所提出的基于余数周期的PRI精估计算法的PRI估计偏差为0且运算量只有几十个指令周期，性能明显优于其他3 种传统的PRI精估计算法。

4　结束语

本文提出了一种基于余数周期的PRI精确估计算法，该算法能够克服传统PRI估计算法的不足，有效地消除雷达截获系统的TOA量化误差，精确地估计出雷达辐射源的真实PRI，同时可以大幅度地减少算法所需的运算量。但是，该算法也具有自身的局限性，即算法要求雷达截获系统截获的脉冲序列中至少要有2个脉冲满足其序号之差等于整数倍的量化精度分子值。■

[1]杨文华,高梅国.基于PRI的雷达脉冲序列分选方法[J].现代雷达,2005,27(3):50-59.[2]关一夫,张国毅,刘志鹏.一种基于脉冲样本序列的PRI周期信号分选算法[J].电讯技术,2014,54(7):915-920.

[3]何艾玲,陶荣辉,蔡英武,等.基于截距分析的改进雷达信号分选算法[J].信息与电子工程,2012,10(1):88-92.

[4]栾超.雷达信号分选关键技术研究[D].哈尔滨：哈尔滨工业大学, 2012.

[5]曹阳.基于PRI 的高密度脉冲信号分选算法研究[D].哈尔滨：哈尔滨工业大学,2008.

[6]朱红亮.脉冲重频分选算法的研究[D].西安：西安电子科技大学, 2010.

[7]孙梁.余数周期表和辗转相除法[J].凯里学院学报,2008,26(3):125-128.

An accurate estimation algorithm for PRI based on remainder of the cycle

Su Huancheng, Zhang Jun, Cheng Liangping, Cheng Yihan, Leng Kui

(No.8511 Research Institute of CASIC, Nanjing 210007, Jiangsu, China)

For the defects in estimating pulse repetition interval(PRI) of traditional PRI de-interleaving algorithms, a new algorithm of estimating the period of PRI periodic signals is put forward. The algorithm firstly extracts the pulse sample sequence of certain radar from the raw pulse sequence, and then executes precise period estimation process based on the remainder of the cycle. Compared with the traditional PRI estimating algorithms, this algorithm accurately estimates the PRI with TOA quantization error removing, which satisfies the requirement of the de-interleaving process. Both theoretical derivation and simulation results verify the validity of the proposed algorithm.

signal sorting; PRI; remainder of the cycle; quantization error

2016-03-18；2016-05-17修回。

苏焕程(1983-)，男，高工，主要研究方向为电子对抗信息处理。

TN971+.1

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