等差数列前n项和Sn的最值问题

安徽省太和中学岳峻安徽省太和十一中 薛晓林

等差数列前n项和Sn的最值问题

安徽省太和中学岳峻安徽省太和十一中 薛晓林

等差数列是一种特殊的基本数列模型，常用Sn表示其前n项和。如何求解Sn的最值问题是高中数学的一个重要知识点，体现着函数与方程思想，也渗透着数形结合思想。

一、二次函数法

变式1已知等差数列-11，-9，-7，-5，-3，…的前n项和为Sn，求使得Sn最小的序号n的值。（答案：6）

二、邻项异号法

例2若数列{an}是等差数列，首项a1>0，a4+a5>0，a4a5<0，则使得{an}前n项和Sn取得最大值的正整数n是_______。

解析若d>0，因为a1>0，则{an}满足an>0，a4a5>0，与题意不符，所以d<0，

所以a1>a2>a3>a4>0>a5>a6>…

又因为a4+a5>0，a4a5<0，所以a4>0，a5<0，

故S4最大，即n=4时，数列{an}的前n项和Sn取得最大值。

点评对于公差不为0的等差数列{an}，

若d>0，a1<0，且存在k∈N*，k≥2，使得ak≤0

若d<0，a1>0，且存在k∈N*，k≥2，使得ak≥0>ak+1，则Smax=Sk（ak>0）或Smax=Sk=Sk-1（ak=0）。

变式2已知等差数列{an}的通项公式为an=2n-31，若其前n项和为Sn，则Sn的最小值为。_______（答案：-225）

三、图像法

例3等差数列{an}中，a1>0，p≠q，Sp=Sq，当n取何值时，Sn取得最大值？

点评等差数列{an}的前n项和Sn可视为关于自变量n的二次函数，其定义域为N*，其图像是过原点的抛物线上的“自变量等距离分布”的孤立的点。若Sp=Sq（p、q∈N*，p≠q），则Sp+q=0。

变式3已知等差数列{an}的首项a1<0，设Sn为{an}的前n项和，且S6=S11，则Sn取得最小值时，n=。（答案：8或9）

四、综合法

例4已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn取得最大值的n是。

解析由于{an}为等差数列，所以a1+a5=2a3，a2+a6=2a4，

又因为a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，

所以a3=35，a4=33，

故a1=39，d=-2，

所以an=a3+（n-3）d=35+（n-3）（-2）=41-2n，

方法1：Sn=n（40-n）=-（n-20）2+400，故使得Sn取得最大值的n是20。

方法2：an=41-2n，当n≤20时，an>0；当n≥21时，an<0。故使得Sn取得最大值的n是20。

方法3：Sn=n（40-n），显然有S1=S39，而Sn=n（40-n）的图像是抛物线上的孤立的点，根据抛物线的对称性，Sn取得最大值的n是20。

点评等差数列{an}的前n项和Sn的最值问题求解的方法有二次函数法、邻项异号法、图像法等。

变式4等差数列{an}的前n项和为Sn，S12>0，S13<0，当n=时，Sn取得最大值。（答案：6）

五、方法的拓展

例5若{an}是等差数列，首项a1<0，a2015+a2016>0，a2015a2016<0，则使数列前n项和Sn<0成立的最大正整数n是。

根据数列{Sn}的图像所在的抛物线开口向上的特点，S4029<0且S4030>0，则使Sn<0成立的最大正整数n是4029。

点评求解等差数列的前n项和Sn<0成立时最大正整数n的问题，不是求Sn的最大值，而是求在所有使得Sn<0的正整数n当中，n的最大值。

变式5若{an}为等差数列，首项a1>0，a4+a5>0，a4a5<0，则使{an}的前n项和Sn>0成立的最大正整数n的值是。（答案：8）