数据的集中趋势与离散程度“疑难杂症”会诊

陆樱花

同学们在学习《数据的集中趋势与离散程度》这一章节时，会遇到一些共性的问题，现在我们将相关的典型错题做如下整理，希望能对同学们有所帮助.

一、认清本质，算对平均数

例1 （2015·广西玉林）学校抽查了30名学生参加“学雷锋社会实践”活动的次数，并根据数据绘制成了条形统计图，则30名学生参加活动的平均次数是_________.

【错误解答】 x=[3+5+11+114]=7.5.

【诊断分析】30名同学参加社会实践活动次数的平均数不仅与个人社会实践活动次数有关，还与不同活动次数所对应的人员数量有关.

【正确解答】

x=[3×1+5×2+11×3+11×43+5+11+11]=3.

二、应对中位数，排序是关键，奇偶有区别

例2 学校团委组织“阳光助残”捐款活动，九（1）班学生捐款情况如下表：

则学生捐款金额的中位数是 .

【错误解答】将捐款金额5，10，20，50排序，所以取10和20的平均数15（元）；将捐款人数10，12，13，15排序，故12.5（人）.

【诊断分析】对于这种求表格中数据中位数的题目，首先要看清研究对象，此处要求研究捐款金额的中位数，则确定要分析的是以元为单位的那组数据.

【正确解答】若从小到大排列，则为10个5，13个10，12个20，15个50，共有50个数，则中位数为第25、26个数的平均数，第25、26个数均为20，所以中位数是20.

三、多则为“众”，众数必存在于原数据中

（1）众数是出现次数最多的数据，而非出现的次数.

例3 某鞋店销售了9双鞋，各种尺码的销售量如下表：

计算这9双鞋尺码的众数.

【错误解答】22出现了4次，所以众数为4.

【诊断分析】本题研究对象是鞋的尺码，所以众数应围绕鞋的尺码求解.在理解上要明确出现次数最多的那个数据，而不是出现的次数.

【正确解答】这9个数据中出现次数最多的数据是22，所以众数是22.

（2） 一组数据可以同时有多个众数.

例4 10名工人，某天生产同一零件，生产的件数是：15，17，14，10，15，19，17，16，14，12，则这一组数据的众数是 .

【错误解答】15.

【诊断分析】一组数据的众数可能不止一个.求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据.若每个数据都只出现一次，则这组数据没有众数.

【正确解答】题中14、15、17都出现2次，所以这组数据的众数是14、15和17.

四、极差考虑要全面，不确定时要分类

例5 已知一组数据：-1，4，6，x的极差为9，则x的值为 .

【错误解答】8.

【诊断分析】一组数据中最大值与最小值的差叫做这组数据的极差，即极差=最大值-最小值.本题中，确定的三个数据-1<4<6，6-（-1）=7<9，所以x必为最大值或最小值.当x为最小值时，6为最大值；当x为最大值，则-1为最小值 .

【正确解答】x-（-1）=9，x的值为8；6-x=9，x的值为-3.所以x的值为8或-3.

五、方差公式要熟练，重要结论要记牢

（1） 连续五个整数的方差均为2.

例6 （2015·内蒙古包头）一组数据5，2，x，6，4的平均数是4，这组数据的方差是________.

【错误解答】10.

【诊断分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量，通常用s2表示.计算时，经常要用到公式s2=[1n][（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2].记错公式及计算能力不过关是造成错误的主要原因.若能巧用“连续五个整数方差为2”这一结论，此处可起到事半功倍的效果.此结论说明如下：不妨设连续5个整数为 a-2， a-1，a，a+1，a+2，则这五个数的平均数为a，代入公式得：s2=[15]（4+1+4+1）=2.

【正确解答】2.

（2）①若一组数据x1，x2，…，xn的方差是s2，则数据x1+b，x2+b，…，xn+b的方差还是s2；

①若一组数据x1，x2，…，xn的方差是s2，则数据ax1，ax2，…，axn的方差是a2s2。

③ 若一组数据x1，x2，…，xn的方差是s2，则数据的ax1+b，ax2+b，…，axn+b的方差是a2s2.

例7 （2015·贵州遵义）如果一组数据x1，x2，…xn的方差是4，那么另一组数据x1+3，x2+3，…，xn+3的方差是_______.

【错误解答】7.

【诊断分析】当一组数据同时加上或减去同一个数后，新数据的方差不变.

【正确解答】4.

本次“会诊”到此就要结束了，相信同学们可以借助诊断结论，在“作战”中灵活应用，享受不俗的作战成果！

（作者单位：江苏省常州市武进区湖塘实验中学）