抗差自适应Kalman滤波及其在GNSS导航中的应用

邹 敏，王国栋，刘 超

(1.安徽理工大学 测绘学院，安徽 淮南232001；2.浙江有色测绘院，浙江 绍兴312000)



抗差自适应Kalman滤波及其在GNSS导航中的应用

邹 敏1，王国栋2，刘 超1

(1.安徽理工大学 测绘学院，安徽 淮南232001；2.浙江有色测绘院，浙江 绍兴312000)

针对Kalman滤波易受粗差影响而导致结果失真的问题，提出一种抗差自适应Kalman滤波方法，该方法结合自适应滤波与抗差Kalman滤波的优点，同时设计自适应因子和抗差因子，采用改进的两段Huber函数与2～3倍的观测噪声中误差来充当抗差因子与粗差判别标准。并对Kalman滤波和抗差自适应滤波(Adaptive Robust Kalman Filtering, ARKF)结果进行比较。车载实验结果表明，ARKF可以有效抵制观测异常对状态估值的影响，同时在系统先验信息不能精确给出的情况下，显著改善了滤波估值的稳定性和可用性。

Kalman滤波；粗差；抗差自适应Kalman滤波；GNSS

Kalman滤波(Kalman Filtering，KF)在GPS导航领域已得到了广泛的应用，只要给出正确的噪声特性，KF将给出滤波状态的最优估计。事实上，动力学模型给出的先验信息不足以表征载体真实的运动状态。这样给出的KF估计值不再是最优估计值，甚至可能导致滤波发散[1-2]。同时，随着导航卫星系统诸如GLONASS、Galileo、我国北斗二代等的不断加入，粗差发生的几率必将不断增加。这些都是导致KF结果失真的原因，无法满足高精度GNSS导航的需要。针对KF存在的问题，很多学者对其做了一些改进，主要集中在以下几方面：自适应滤波[3-5](Adaptive Kalman Filtering，AKF)、抗差Kalman滤波[6-9](Robust Kalman Filtering，RKF)[10-12]、抗差自适应Kalman滤波[13-14]( Adaptive Robust Kalman Filtering，ARKF)。此外，为了获得正确的系统状态估计，许多学者还提出了以扩展Kalman滤波[15]、无迹Kalman滤波[16]、小子域滤波[17]等为例的非线性滤波方法。现有的ARKF的文献中抗差和自适应因子较多采用三段函数，粗差判断标准也是根据经验值，这有可能导致观测噪声或状态噪声协方差阵奇异，得不到最优的滤波估值。因此，本文采用改进的两段Huber函数来设计抗差因子，粗差判别标准采用2～3倍的观测噪声中误差，充分利用当前观测信息。对不同速度谱密度情况下的Kalman滤波和抗差自适应滤波进行比较，同时对加入粗差前后的KF和ARKF也进行比较。

1　Kalman滤波

给定离散化的线性动力学系统方程和观测方程：

(1)

式中，xk表示第k历元n×1阶状态向量；φk,k-1为n×n阶状态转移矩阵；wk为n×1阶系统随机过程噪声向量；zk表示m×1阶观测向量；Hk是m×n阶设计矩阵；vk为m×1阶随机观测噪声向量。

设Pk为残差向量的协方差矩阵，Qk和Rk分别为噪声向量wk和vk的协方差阵，则Kalman滤波的递归过程如图1所示。其中，+表示滤波估计值；-表示预测值。

2　抗差自适应Kalman滤波

2.1抗差因子模型

抗差因子的确定基于等价权原理，即通过权函数构造抗差因子，对存在粗差的观测值进行降权处理，降低异常观测在参数估计中的份额。为了克服判别条件采用经验值的盲目性，充分利用当前观测信息，对Huber权函数的判别条件进行改进：

(2)

式中，c取2σ～3σ0(σ0为观测噪声的中误差)。而

(3)

(4)

2.2自适应因子模型

自适应因子模型[18]分为归零函数和非归零降函数。所谓归零函数，即当判别统计量大于某个极值时，自适应因子为零；而非归零降函数指的是，自适应因子随着判别统计量增大而下降，但不为零。为了防止自适应因子取零情况下预测状态协方差阵奇异，本文选取了类似于Huber函数的两段函数自适应因子：

(5)

式中，k为常数，k=1.0～2.5；Δxk为状态不符值统计量。

式中，Q′为速度的谱密度。

将位置的初始方差固定为0.2m2，分别选取不同的速度谱密度0.01、0.02、0.05、0.1和0.2m2/s2，比较Kalman滤波和抗差自适应滤波的滤波效果，如图3、4所示；给GPS的17号卫星的100、200和300历元的C/A码观测值分别人为加入20、40和60m的粗差，检验Kalman滤波和抗差自适应滤波的滤波效果，如图5、6所示。由于Y轴和Z轴的滤波结果与X轴的类似，因此讨论不同滤波结果在X轴方向上的变化即可说明问题。

从图3可以看出，随着速度谱密度的不断增大，KF的效果越来越好，这说明只要给出较正确的系统状态噪声，KF可以给出较高的滤波估值精度，由于初值赋值的盲目性，这种滤波估值精度很难保证。在未能正确给出系统状态噪声(如Q′=0.01m2/s2)的情况下，曲线变化比较剧烈，滤波残差大部分都超过了2m，有的甚至达到了5m，这已经不能满足高精度实时GNSS导航的需要。

从图4可以看出，随着速度谱密度的不断增大，ARKF的效果比较稳定，残差曲线变化也越来越和缓，但总体变化不大，这说明ARKF已经不那么依赖系统状态噪声初值的精度，真正做到了自适应，同时也有效抵制了系统模型误差对滤波结果的不良影响。同时，滤波残差都在0.5m以内，可以满足高精度GNSS导航的需要。

由图5可知，当观测值含有粗差时，KF结果在100、200、300历元严重失真，已无法进行正常的导航。粗差越大，滤波结果越远离真实值。且由于模型误差的存在，KF的效果并不好，残差曲线波动范围较大，说明滤波器并不处于稳定状态。

相较于图5而言，在加粗差前后，图6的残差曲线波动范围较小，残差都在0.5m以内，有效地抑制了粗差观测值对状态估值的影响，说明该滤波器具有较好的稳定性和良好的适应性，能满足高精度实时GNSS导航的需要。同时，ARKF有效抑制了系统模型误差对滤波结果的影响，提高了滤波的精度。

4　结论

与经典的Kalman滤波结果进行实例对比分析，验证了本文推导的抗差自适应Kalman滤波及其算法的有效性与优越性。抗差自适应Kalman滤波可以有效地抑制系统模型误差，以及观测粗差对状态估值的影响，降低不良观测影响，提高滤波精度。

[1]李增科，王 坚，高井祥，等.利用SVM的GPS/INS组合导航滤波发散抑制方法研究[J].武汉大学学报：信息科学版，2013，38(10)：1216-1220.

[2]李 冲，黄观文，谭 理，等.抗差自适应卡尔曼滤波在GPS精密单点定位中的应用[J].测绘科学，2011，36(4)：22-23.

[3]MOHAMED A H，SCHWARZ K P.Adaptive Kalman filtering for INS/GPS[J].Journal of geodesy，1999，73(4)：193-203.

[4]GE Linlin，CHEN Hongyue，HAN Shaowei，et al.Adaptive filtering of continuous GPS results[J].Journal of Geodesy，2000，74(7-8)：572-580.

[5]YANG Yuanxi，GAO Weiguang.An optimal adaptive Kalman filter[J].Journal of Geodesy，2006，80(4)：177-183.

[6]余学祥，吕伟才.GPS监测网动态数据处理抗差Kalman滤波模型[J].中国矿业大学学报，2000，29(6)：553-557.

[7]许长辉，高井祥，胡 洪，等.精密单点定位的抗差卡尔曼滤波研究[J].中国矿业大学学报，2012，41(5)：857-862.

[8]苗岳旺，周 巍，田 亮，等.基于新息χ2检测的扩展抗差卡尔曼滤波及其应用[J].武汉大学学报：信息科学版，2016，41(2)：1-5.

[9]聂建亮，张双成，徐永胜，等.基于抗差Kalman 滤波的精密单点定位[J].地球科学与环境学报，2010，32(2)：218-220.

[10]HUBER P J.Robust statistics[M].New York：John Wiley，1981.

[11]HAMPEL F R，RONCHETTI E M，ROUSSEEUW P J，et al.Robust statistics[M].New York：John Wiley，1986.

[12]杨元喜.抗差估计理论及其应用[M].北京：八一出版社，1993.

[13]YANG Yuanxi，HE Haibo，XU Guochang.Adaptively robust filtering for kinematic geodetic positioning[J].Journal of Geodesy，2001，75(2-3)：109-116.

[14]吴富梅，杨元喜.一种两步自适应抗差Kalman滤波在GPS/INS 组合导航中的应用[J].测绘学报，2010，39(5)：522-527.

[15]谢先明.一种基于扩展卡尔曼滤波的多基线相位噪声抑制及展开方法[J].测绘科学，2015，40(2)：43-47.

[16]王 仁，赵长胜，夏志浩，等.无迹卡尔曼滤波衰减记忆算法研究[J].测绘通报，2015(12)：20-22.

[17]蔡 钟，倪小东.重力异常处理中小子域滤波法的改进[J].河北工程大学学报：自然科学版，2015，32(4)：47-51.

[18]杨元喜，任 夏，许 艳.自适应抗差滤波理论及应用的主要进展[J].导航定位学报，2013，1(1)：9-15.

[19]SCHWARZ K P，CANNON M E，WONG R V C.A comparison of GPS kinematic models for the determination of position and velocity along a trajectory[J].Manuscripta Geodaetica，1989，14(6)：345-353.

(责任编辑王利君)

Adaptive robust Kalman filtering and its application in GNSS

ZOU Min1，WANG Guodong2，LIU Chao1

(1.School of Geodesy and Geomatics,Anhui University of Science and Technology,Anhui Huainan,232001,China;2.The Youse Surveying and Mapping Institute of Zhejiang,Zhejiang Shaoxing,312000,China)

The Kalman filtering is easily affected by the gross error and it will cause larger distortion of the result. To overcome this problem, an adaptive robust Kalman filtering was proposed. It combines the advantages of adaptive Kalman filtering and robust Kalman filtering by using the adaptive factor and the robust factor. And the improved two segments Huber function was designed as the robust factor, the two to three times observation noise error was designed as the gross error determination standard respectively. Compared the result of Kalman filtering and adaptive robust Kalman filtering, the latter could effectively resist the influence of abnormal observation to the state estimation, and can improve the stability and availability of the filtering estimation significantly.

KF;gross error;ARKF;GNSS

2016-04-20

国家自然科学基金资助项目(41404004)；安徽省自然科学基金资助项目(1408085QD72)；安徽理工大学科研启动基金资助项目(11152)

邹敏(1992-)，女，安徽滁州人，硕士，从事GNSS数据处理的研究。

1673-9469(2016)03-0089-05

10.3969/j.issn.1673-9469.2016.03.019

P228

A