两层介质中运动潜体内波的数值计算

盛　立，王　冲，刘巨斌

（1. 中国人民解放军92537部队，北京 100161；2. 海军工程大学，湖北 武汉 430033）

两层介质中运动潜体内波的数值计算

盛立1，王冲2，刘巨斌2

（1. 中国人民解放军92537部队，北京 100161；2. 海军工程大学，湖北 武汉 430033）

基于势流理论，采用 Hess-Smith 方法，对两层介质中运动潜体内波的进行数值计算研究，得到表面波和内波波形与水深佛鲁德数、潜深之间的对应关系。并通过计算无限水深中运动椭球体引起的兴波阻力对自编程序进行验证。

潜体；内波；两层流体；边界元

0　引　言

潜艇以其在海洋中的隐蔽性和机动性的特点发挥了其他舰种难以起到的作用。由于海水温度和盐度分布的不均匀性，导致了其密度的层化特性，在这样的分层流体中，内波像表面波一样存在，只要海水密度稳定分层，且有扰动源存在，内波就会产生。在海洋深处运动的潜艇在海洋表面会形成内波尾迹，可以通过星载或机载合成孔径雷达（SAR）获得这种尾迹的信息 这对发展潜体的非声探测技术非常重要。

目前，比较多的理论研究工作是基于势流理论，针对运动点源等在分层流体中的兴波问题。Keller，Munk［1］进行了分层流体中物体生成的内波尾迹的理论研究，给出了任意色散介质中运动源生成的尾流方程式和尾流的远场和近场的波形图。Miles［2］对于均匀分层和有温跃层结构的流体，研究了船体效应和尾迹塌陷效应导致的内波，指出自由面形变率参数在内波与自由面相互作用中具有重要作用。Hughes［3］研究了表面船生成的表面尾迹和内波尾迹，并提供了内波尾迹的形式。Tulin等［4］进行了超临界情况下浅跃层的船内波研究。Timour［5］将 Yeung， Nguyen［6］的两层流体模型推广至多层流体系统，利用摄动方法，分析了内波对自由面波的影响。Wei［7］则研究了在两层流体中定常运动的偶极子的兴波特性问题。朱伟［8］从 Green 定理出发，基于 Rankin 源的分层边界积分理论模型研究两层有限深流体中运动潜体的兴波特性问题。本文基于势流理论，采用 Hess-Smith 方法，对两层介质中运动潜体的内波进行数值计算研究，得到表面波和内波波形与航速、潜深之间的关系。

1　基本方程和边界条件及数值计算方法

设海水为两层介质，上层水的密度为ρ1，深度为H1；下层水的密度为ρ2，深度为H2；总水深为H。潜体在上层（或下层）介质中以速度 U∞匀速直线航行，潜体的下潜深度为H0。将坐标系固结在匀速运动的潜体上，原点 o位于未扰动的水面上，x 轴与潜体轴线平行，方向与潜体运动方向相反，z 轴垂直向上，在此坐标系中观察，远方流体以速度 U∞沿 x 方向流向潜体（见图1）。

图1　潜体在两层流体中运动示意图Fig. 1　Sketch map of submerged body in two-layer fluid

设流体是无粘性流体，流动无旋，则流体流动可以用势流理论求解。上、下两层流体的扰动速度势分别记为φ1和φ2。则 φ1和φ2满足的基本方程分别为：

在定常流动和小扰动条件下，在自由面上，运动学条件为：

动力学条件为：

将式（3）代入式（4）得到自由面上运动学和动力学结合条件为：

在小扰动条件下，潜艇表面上满足的边界条件为：

在定常流动和小扰动条件下，在分层界面上，运动学条件为：

在分层界面上，动力学边界条件为：

将式（8）代入式（9）得得到分层界面上运动学和动力学结合条件为：

在海底的边界条件为：

自由面波高的计算公式为：

分层界面波高的计算公式为：

采用常数密度的边界元法（Hess-Smith 方法）求解上述基本方程和边界条件。在物体表面、自由表面、分界面和水底划分四边形单元，在每个单元上分布常数密度的面源，采用 Dawson 的方法，通过两次采用迎风差分的方法［9］，解出面源密度。进而计算出上层和下层流体的流动速度势和速度。根据式（12）计算自由表面波高，根据式（13）计算内波波高。

2　算　例

采用 C 语言开发了计算潜艇在两层分层介质中运动产生内波和表面波的边界元计算程序。潜艇或其他模型可以在上层或下层流体中运动，可以对无限水深和有限水深工况进行计算。通过命令窗口，输入相关参数后进行计算，表面波和内波波高通过条用 Matlab计算引擎绘出。

2.1无限水深下均匀环境椭球体兴波阻力计算

图2　椭球体兴波阻力系数Fig. 2　wave-making resistance coefficient of ellipsoid

2.2SUBOFF 光体模型计算结果分析

由于计算模型与xoz平面对称有关，只对xoz平面一侧表面进行离散。采用镜像法考虑另一侧的影响。半个光体表面的面元数目为1 000个，其中沿轴向 50个单元，周向为20个单元（见图3）。自由表面的范围取为：潜艇头部 500 m，尾部 2 000 m，侧面 800 m，自由表面一半的面元数目为15 000个，其中沿纵向为300个单元，横向为50个单元。所以总面元数目为16 000个。

图3　SUBOFF 半光体表面单元Fig. 3　Panels of half suboff bare body surface

采用放大 20 倍 SUBOFF 光体模型，H1=45 m，H2=100 m，考虑密度比 γ=0.974 时，表面波模式的临界佛鲁德数Fr1=0.997，内波模式的临界佛鲁德数 Fr2=0.077 4，其中，Fm由式（14）确定。

图4～图6为在潜深 30 m 时，不同水深佛鲁德数情况下的表面波和内波波形。在水深佛鲁德数比较小时（见图4），表面波和内波以横波为主，影响范围比较小；在接近内波模式的临界佛鲁德数 Fr2时（见图5），表面波和内波中散波和横波的波形都比较明显；在水深佛鲁德数比较大时（见图6），表面波和内波以散波为主。

图4　H0=30 m，Fh=0.034Fig. 4　H0=30 m， Fh=0.034

图5　H0=30 m，Fh=0.068Fig. 5　H0=30 m， Fh=0.068

图7为在潜深30 m 时，不同水深佛鲁德数情况下表面波和内波波峰和波谷（图中内波数据为计算值加上 H1的结果）。从图中可以看出，随着水深佛鲁德数的增加，表面波的波峰和波谷在增加；而内波的波峰和波谷在接近内波模式的临界佛鲁德数 Fr2时均接近最大值，在大于 Fr2时，内波的波峰和波谷变化趋于平缓。

图8和图9为Fh=0.068（航速为5 kn）时，不同潜深时的表面波和内波波形。结合图5可看出，表面波和内波波形，在同一航速、不同潜深的情况下，分布是相似的，但当潜体位于下层流体时，波峰与波谷的位置刚好与潜体位于上层流体时相反。

图6　H0=30 m，Fh=0.102Fig. 6　H0=30 m， Fh=0.102

图7　H0=30 m，表面波和内波的波峰和波谷Fig. 7　Peak and trough of surface wave and internal wave for H0=30 m

图8　H0=37.5 m，Fh=0.068 表面波和内波Fig. 8　Surface wave and internal wave for H0=60 m， Fh=0.068

图9　H0=60 m，Fh=0.068 表面波和内波Fig. 9　Surface wave and internal wave for H0=60 m， Fh=0.068

3　结　语

采用常数密度的边界元法可以求解潜体在分层流中定常运动引起的表面波和内波问题。在水深佛鲁德数比较小时，表面波和内波以横波为主，影响范围比较小；在接近内波模式的临界佛鲁德数 Fr2时，表面波和内波中散波和横波的波形都比较明显，且内波的波高和波峰均接近最大值；在水深佛鲁德数比较大时，表面波和内波以散波为主。在同一航速、不同潜深的情况下，分布相似，但当潜体位于下层流体时，波峰与波谷的位置刚好与潜体位于上层流体时相反。

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Numerical simulation of internal waves caused by moving submerged body in two-layer fluid

SHENG Li1， WANG Chong2， LIU Jiu-bin2
（1. No. 92537 Unit of PLA， Beijing 100161， China； 2. Naval University of Engineering， Wuhan 430033， China）

Based potential flow theory， internal waves caused by moving submerged body in two-layer fluid is simulated numerically using Hess-Smith method. The correspondence between patterns of surface wave， internal wave and Froude number of water deep， diving depth is obtained. Program is verified by simulating wave-making resistance of ellipsoid moving in a finite water-depth.

submerged body；internal waves；two-layer fluid；boundary-element method

U661.1

A

1672-7619（2016）09-0060-05

10.3404/j.issn.1672-7619.2016.09.011

2016-03-31；

2016-05-05

国防预研资助项目（1010401030502）

盛立（1984-），男，博士，工程师，研究方向为舰船总体。