近三年数学高考理科卷向量命题结构和综合难度分析

彭锋　邹超

【摘要】以2014—2016年具有代表性的数学高考新课标理科卷为例，从历年高考向量内容命题数量和分值、考查形式和内容、综合难度等方面进行对比分析，得出高考向量命题的特点，以期对教师教学产生一定的影响.

【关键词】向量；命题结构；综合难题

1前言

我们知道向量是既有大小又有方向的量，“大小”说明向量具备代数的特点可运算， “方向”说明向量除了大小以外，还具有几何图形的特点.因此，向量内容既可和代数知识联系，还可和几何知识结合，体现出数学学科知识网络的特点.《普通高中数学课程标准》指出，向量是近代数学最重要和最基本的概念之一，是沟通几何、代数、三角等内容的桥梁[1].因此，我们有必要探讨向量在新课程标准下的高考如何体现.

从2016年起，全国大多数省份都使用全国卷，只有少部分省份自主命题.因此本文选取有代表性的新课标全国Ⅰ卷、全国Ⅱ卷、北京卷、天津卷、江苏卷和浙江卷，对2014—2016三年共18套理科试题进行比较研究，比较出新课改后向量内容在高考中的命题数量和分值、考查形式和内容、综合难度等方面的变化，并得出高考向量命题的特点，以期对教师教学产生一定的影响.

2三年高考向量结构对比分析

2.12014年六套高考向量命题数量和分值上的比较表12014年六套高考向量命题数量和分值上的比较

卷别选择题分值填空题分值解答题分值题号总分值比值全国Ⅰ卷551210、15、19221467%全国Ⅱ卷100123、11、18221467%北京卷55147、10、172416%天津卷50138、171812%江苏卷051412、14191188%浙江卷50158、20201333%由表1知，天津卷、江苏卷和浙江卷有两道向量有关的题且所占比值较低，其他三套试题都出现了三道与向量有关的题，相对而言全国卷和北京卷更加注重对向量的考查.

2.11考查形式和内容的比较

对比六套高考试题发现，单纯对向量命题的有全国Ⅰ卷第15题，全国Ⅱ卷第3题，北京卷第10题，天津卷第8题和江苏卷第12题.全国Ⅰ卷主要考查平面向量的运算法则及几何意义；全国Ⅱ卷主要考查向量的模长公式及数量积；北京卷主要考查向量的模长公式；天津卷和江苏卷不谋而合，主要考查平面向量的基本定理，向量的线性运算，解题关键在于选取哪两个向量为基底，计算量较大.其他题目的命题方式为与其他知识的联合命制，其中每套题均有一道空间向量与立体几何相结合的综合性大题，着重考查向量的应用，向量数量积等内容，进而考查学生空间想象和运算求解能力.

2.12总结2014年六套试题命题情况

总体来看每套试题都有向量知识的体现，其中以北京卷分值最高，考查的题量都是二至三道.知识点上一类是单纯的对向量知识命题，另一类除全国Ⅰ卷第10题与解析几何联合命题、浙江卷第8题与新定义联合命题外，其他则是与立体几何联合命题，出题类型较单一.

2.21考查形式和内容的比较

考查形式上看，单独对向量命题的题目为全国Ⅰ卷第7题，全国Ⅱ卷第13题，北京卷第13题，江苏卷第6题.其中全国Ⅰ卷和北京卷主要考查平面向量的线性运算，全国Ⅱ卷主要考查向量共线定理，江苏卷主要考查平面向量的坐标运算，这些命题主要以运算为主，思维要求不高.而其它题主要结合其他内容，除了常见的和空间立体几何结合外，还包括与解析几何结合如全国Ⅰ卷第5题，与基本不等式结合求最值如天津卷第14题，与三角函数性质结合如江苏卷第14题，与函数最值结合的浙江卷第15题.

2.22总结2015年六套试题命题情况

2015年高考向量命题无论从分数和题数上看还是占很大比例的，让我们从高考题目的命制中看到了向量在高中与其剧增的地位与作用.这些试卷中体现出来的与其他内容联合命制的出题方式让我们看到了高考向量命题的活力与创新思维品质.

2.32016年六套高考向量命题数量和分值上的比较

2.31考查形式和内容的比较

单独对向量命题的有全国Ⅰ卷第13题，主要考查向量模的坐标运算；全国Ⅱ卷第3题不仅考查了向量的坐标运算，还考查了向量垂直的充要条件；天津卷第7题与前两年一样考查了平面向量的基本定理、线性运算及数量积；江苏卷第13题考查了向量的线性运算及数量积.空间向量的内容主要与空间几何联系，通过立体几何题型考查向量知识运用，充分体现向量知识的工具作用；除了和立体几何知识联系外，向量知识还和充要条件结合，如北京卷第4题；与平面解析几何结合，如江苏卷第18题；还与不等式相结合，如浙江卷第15题.

2.32总结2016年六套试题命题情况

从命题数量和分值上看，向量命题逐渐趋于稳定，体现了向量在高中数学内容中的重要性.从命题方式上看，能与其他知识联合命题，提高了命题的质量，让学生充分感受向量的工具作用，让向量更好地为高考服务.

3近三年高考向量试题综合难度的对比分析

本节将采用由张欣[2]修改的鲍建生[3]建立的五个维度来评价高考向量考查的综合难度，即知识水平，背景水平，运算水平，推理水平及知识含量.以此评价模式说明近三年向量命题的综合难度，进而发现每年高考向量难度的变化趋势.

3.1知识水平

根据18套试题近三年知识水平的变化情况，特制如下统计图：

从图看出18套试题近三年对向量的命题主要集中在理解和应用水平上，2015年对识记水平的考查最高，但还是以应用水平为主，理解水平维持较平稳的比重.从图可以明确看出高考向量考查没有达到探究的高度，只是从低层次水平命题，这主要因为向量总是作为工具手段出现，单独命题较少.结合图看出知识水平的考查综合难度以2016年稍高，但是与前两年相比没有多大的变化.从不同试卷看，浙江、江苏卷对向量的命题难度稍高.3.2背景水平

根据18套试题近三年背景水平的变化情况，特制如下统计图：

从图可以清楚看到，对于向量命题几乎没有任何公共生活背景和科学情境，这是因为在高中的向量学习中，它始终作为工具来体现，也就是为了解决其他数学问题才引入的，因此学科内的数学问题理所当然应作为向量考查的背景.

3.3运算水平

根据18套试题近三年运算水平的变化情况，特制如下统计图：

运算水平的考查始终是理科科目考查的重点，从图可清晰的看到对于运算水平的考查从2014年到2016年整体有所下降，这正体现了历年高考命题的思想“多考点想，少考点算”，如2015年浙江卷第15题，若能把模型转化为空间向量差的模的几何意义，那么就比纯粹的用代数方法简便多了.但对计算能力的考查整体都处于较高的水平，其中复杂的运算总是能占到80%左右，其中2014年和2015年都达到了93%.从试卷看江苏卷的填空题一般是压轴题且大题也较多，故运算水平相对要求较高，而全国两套试卷的运算水平较低于其他试卷.

3.4推理水平

根据18套试题近三年推理水平的变化情况，特制如下统计图：

从图看出，近三年无推理的题目都维持在较低的水平，而在简单推理层面的命题有下降的趋势，在复杂推理上以2014年比重最低，但依然是高考对推理能力考查的重要部分.对复杂推理能力的训练，有助于学生更好的锻炼思维.

35知识含量

根据18套试题近三年知识含量的变化情况，特制如下统计图：

从图看出，近三年向量内容的命题对一个知识点和两个知识点的考查有所下降，逐渐转向多个知识点的综合命题，寻求知识间的交叉，这样做提高了试题知识点的涵盖，并且相应地考查了学生的综合能力.三个及三个以上知识点的考查在逐年攀升，并以2016年所占比例最高.结合表4，可以发现近三年对向量考查的知识含量平均水平超过三个，这也符合新课改后对学生考查的新要求.

3.6综合难度

根据表4各难度因素的加权平均值，特制如下统计图：

由图知，近三年高考向量试题更加偏向考查基本知识与基本技能，即知识含量和推理运算水平，而忽视对背景水平的重视.但高考试题向量内容的综合难度稳定，其中对知识水平，知识含量的考查略有上升，而对推理水平的要求也在稳步提升，只有这样才能培养出创新型人才.

4主要结论

4.1关于向量命题结构

（1）从命题数量上看，近三年向量命题数量趋于稳定，分值也趋于稳定，预计未来向量知识的命题数稳定在两或三道，分值在20分上下浮动；

（2）从命题形式上看，主要为一道选择或填空，配上一道向量内容大题（主要为立体几何）； （3） 从命题的落脚点看，要注重对向量知识的单纯考查，还需注重对多重知识的综合考查.

今后向量知识可结合的内容也会拓宽，题目会出的更加丰富，更加科学，更加贴近生活.

4.2关于向量命题综合难度的分析

（1）近三年高考向量命题综合难度大体一致，对五种层次能力的考查也大体不变.在对试题的内容进行对比时，发现向量的考查主要集中在以下几个部分：平面向量的相关概念、平面向量基本定理与向量的线性运算；向量的数量积运算和性质；向量与不等式、解析几何、空间立体几何、三角函数等进行交叉考查.只要考查的知识点不变，对五种能力的考查大体也不会变，所以在复习中要加强基本知识的复习，做到概念清楚、运算准确.

（2）近三年对运算水平的考查整体略有下降，但还以复杂运算为主.而对知识含量、推理水平的要求也在稳步提升，但命题缺乏背景.具体体现在知识水平以应用水平为主，背景水平以学科内背景为主，运算水平以复杂运算为主，推理水平以复杂推理为主，试题知识含量逐年稳定在三个以上知识点.在复习时，要帮助学生树立向量的工具意识，训练学生在知识交汇处领悟向量，这样才能更好地培养学生的运算能力、逻辑推理能力和知识迁移能力.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]张欣.高考数学卷特点的对比分析[D].东北师范大学，2011（5）：10.

[3]鲍建生.中英两国初中数学课程综合难度的比较研究[J].全球教育展望，2002（9）：48-52.