由浙江高考引发的对绝对值问题教学的探讨

卢成娴

当2016年的高考落下帷幕，浙江学子，将要迎来新一轮政策改革下的高考.今年，作为2009年新课改以来的最后一次出卷，其命题重点与方向对接下来的新高考还是有一定的导向作用的.总体上来说，今年高考依旧保持原先“起点低、坡度缓、层次多、区分好”的鲜明特色，在考查学生高中数学的基本技能上更加兼顾能力的区分，这也是顺应今后的高考命题趋势.这次高考之所以学生普遍反映难度加大，主要是因为题目越来越新颖，对于习惯题海战术的学生感觉一下子难以入手.今年的数学高考，似乎与“绝对值”结下了“不解之缘”，特别是在区分学生能力的最后几道题中，都能看到它的影子.像选择最后一题，填空最后一题，大题中函数部分，数列部分都与绝对值相关，而且对绝对值的要求远远高于平时课程中的要求，所以学生在高考时难免会有种措手不及，出现无从下手的情况.以下是笔者整理的2016年浙江高考试题，希望与大家一同探讨.

1试题分析与解答

例1（2016年浙江高考理科第8题）：已知实数a，b，c

A. 若a2+b+c+a+b2+c≤1，则a2+b2+c2<100.

B. 若a2+b+c+a2+b-c≤1，则a2+b2+c2<100.

C. 若a+b+c2+a+b-c2≤1，则a2+b2+c2<100.

D. 若a2+b+c+a+b2-c≤1，则a2+b2+c2<100.

分析此题考查的是学生对变量的分析能力与估算能力.很多考生初读题目后认为此题与绝对值有关，绞尽脑汁想往绝对值计算方面靠，结果钻进了死胡同.其实仔细分析后不难发现，此题与绝对值没有太大的关系.从题干中可以看出，a，b，c的取值及关系没有任何明显的限制条件，所以想要通过正面推导将两个看似不相关的不等式结合在一起，其实是不可能的，这也违背了出题者的本意.既然是选择题，那就应该换种思路，可以利用排除法进行筛选，根据每个选项中a，b，c的地位关系，给a，b，c赋予合适的值.此题作为选择题的最后一题，有一定的迷惑性与灵活性，对考生的思维能力提出了较高的要求，有一定的区分度，实为一道好题！

解

A.取a=b=10，c=-110，则a2+b2+c2>100，排除此选项；

B.取a=10，b=-100，c=0，则a2+b2+c2>100，排除此选项；

C.取a=100，b=-100，c=0，则a2+b2+c2>100，排除此选项；

故本题答案选D.

例2（2016年浙江高考理科第15题）： 已知向量a，b，a=1，b=2，若对任意单位向量e，均有a·e+b·e≤6，则a·b的最大值是.

分析本题主要考查向量的计算与绝对值不等式的结合.考生首先要明确题中的绝对值并非真正意义上的绝对值，而是代表向量的模长；其次，如何运用题干中的不等式是本题的关键，从解题思路角度，其难点在于能否想到运用绝对值不等式a+b≤a+b.值得注意的是，本题其实一题多解.此题的设置，不仅全方位考查了考生向量、不等式等内容的掌握程度，从深层次上来说，还锻炼了考生思维的广阔性与独创性.考生亦可采用坐标法，建立直角坐标系，对a，b设置合适的坐标，将向量模长转化为到原点的距离，进行纯代数计算解答，不过运算量与几何法相比较大.笔者下面介绍两种几何法的解题思路.

解由绝对值不等式可知（a+b）·e=a·e+b·e≤a·e+b·e≤6，

所以a+b≤6.

法一： 两边平方：a2+b2+2a·b≤6.

即 a·b≤12.

所以本题答案为12.

法二：因为a+b2+a-b2=2（a2+b2）=10.

所以a·b=14（a+b2-a-b2）=14（2a+b2-10）≤12.

例3（2016年浙江高考理科第18题第1小题）：

已知a≥3，函数F（x）=min{2|x-1|，x2-2ax+4a-2}，其中min{p，q}=p， p≤q，

qp≥q.

求使得等式F（x）=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围.

分析此题是一道常规的含參二次函数的讨论问题，此题型学生在平时训练中较常遇到.考查的是学生对绝对值含义的理解，即去绝对值符号时需讨论绝对值内部符号情况，此为解决绝对值问题的常见方法.由于本题难度不是很大，思路也较简单，笔者就选择第一小题进行分析.第一小题是含有绝对值的函数自变量的取值问题，因此考生要讨论区间端点的取值情况.对于这种分类讨论的题目，关键是不要遗漏讨论的情况，另外考生最后总结答案的时候要注意集合的交与并运算，只要细心解答，一般都能得出正确结果.从这道题可以看出，高考并非所有都是难题，平时应打好基础，掌握通法通解，这才是根本.

解要使F（x）=x2-2ax+4a-2，则x2-2ax+4a-2≤2|x-1|.

①当x≥1时，此时不等式可化为x2-（2a+2）x+4a≤0，

即（x-2a）（x-2）≤0，又因为a≥3，

所以2≤x≤2a.

②当x<1时，此时可化为x2+（2-2a）x+4a-4≤0.

函数y=x2+（2-2a）x+4a-4的对称轴为x=a-1>1，开口向上，y在x=1处取得最小值2a-1>0，所以方程无解.

综上，x的取值范围为[2，2a].

例4（2016年浙江高考理科第20题）：设数列{an}满足an-an+12≤1，n∈N*.

（1）求证：|an|≥2n-1（a1-2），n∈N*；

（2）若|an|≤（32）n，n∈N*，证明：|an|≤2，n∈N*.

分析此题为绝对值与数列的结合，已知条件为一个不等式，要证明的两个问题也是不等式，整个问题也没有出现任何具体数值，因此考生在理解时会觉得比较抽象，一时无从下手也是正常的.对于这种抽象的数列难题，考生不妨先按照题意列举前面几项，试着去寻找各项之间的关系；也可观察条件与需要证明的结论之间的关系，寻找条件与结论之间的桥梁，尝试推导.像本题，如果单独罗列数列的前几项，很难找到他们之间的关系.观察结论中出现的2n-1，可以先对已知条件做个简单的变形，再利用上面的思路将前几项展开，累加后运用绝对值不等式进行放缩即可.本题难度较大，主要是为了拉开考生之间的差距，因此对考生的综合运用能力提出了较高的要求.

证明（1）由题目，可得

an+12n+1-an2n≤12n，n=1，2，3，…

累加后利用绝对值不等式an2n-a12≤1-12n-1，n=1，2，3，…

再利用绝对值不等式可得a12-|an|2n≤1-12n-1，

即|an|≥2n-1（a1-2），n∈N*.

（2）由（1）可得m>n，均有an2n-am2m≤12n-1，

故an≤（12n-1+am2m）·2n≤12n-1+12m（32）m·2n=2+（34）m·2n

由m的任意性可知|an|≤2，n∈N*.

2解后总结及反思

浙江数学高考始终是“在平凡中见真奇，在朴实中考素养”，知识覆盖广，解题灵活，难度梯度递进，既考虑到大多数普通学生的知识水平，又能达到选拔人才的目的.

仅以本文中分析的“绝对值”这一知识点为例，像第18题就是考查绝对值的基本概念，考生根据平时解题经验，去绝对值符号时分类讨论符号情况即可，属于常规题；第20题则主要考查绝对值不等式的放缩方法，如何对已知不等式进行放缩，一般不易构造，因此难度大大增加.此外，同样都涉及到绝对值不等式，但侧重点不同，难度也不同.像填空第15题侧重点是向量计算，加上题目有比较明显的暗示，所以数学基础较好的学生一般能解答出来；但第20题则侧重抽象数列的证明，涉及到对本质问题的理解，所以此题让多数考生手足无措.另外，为了考查学生思维的灵活性，很多题目都是“徒有虚表”，以选择题第8题为例，就是披着绝对值“外衣”，实则求解过程中与绝对值无关，这就需要考生懂得灵活变通了.

结合上述分析及今年高考的命题情况，笔者认为在今后的绝对值教学方面应该注意以下几个方面.

2.1重视基础，注重新旧知识的衔接

虽说高考是选拔性考试，但大部分题目还是比较基础的，所以，对于绝对值内容部分，教师应将绝对值的概念、几何含义、绝对值不等式等基本知识作为教学重点，绝对值的应用作为教学难点.在新课备课时，教师可以从以下两方面入手：一方面，从学生的认知学习规律来讲，可以从学生初中所学的绝对值内容逐步过渡到高中的新内容；另一方面，在讲解时可以运用函数、向量等其他方面的知识点，帮助学生构建完整连贯的知识体系.例如在介绍绝对值不等式时，教师可以从向量的模长与构成三角形条件的角度帮助学生理解.此外，绝对值新课内容结束后，教师可以选择一些模拟考经典题型作为例题进行讲解，特别是绝对值与初等函数所构成的综合题，由于此类题综合性较高且在学生的能力范围之内，又涉及到数形结合、分类讨论这些基本数学思想，因此教师应将此类常规综合题的训练作为重点.对于练习中出现的错题，应督促学生及时整理，可以在解题过程中注明解答思路与方法便于复习，确保大部分学生能够掌握解题的通法通解.

2.2提升能力，激发学生的数学思维

由于“绝对值问题”的综合题在题型上越来越新颖，而且方法灵活多变，不易掌握，像绝对值不等式放缩等数学思想在理解上有一定的难度，笔者认为教师应当将放缩法这些数学思想作为教学重点，让学生了解这些数学方法即可，至于课后训练，教师可以针对自己班级学生情况，适当安排题目练习，活跃学生的思维.高考数学难题，归根结底是对学生数学思维的考查，除了绝对值这块内容，教师更应在平时教学中训练学生的思维，课后可以偶尔安排一些一题多解的题目，启发学生思维，也可寻找一些灵活精妙的解题方法供学生“欣赏”，激发学生的数学兴趣.