导数解决多元问题的几种策略

赵思林 李世和

摘 要：导数是非常重要的数学工具，能够解决很多一元问题，也能处理一些多元问题.用导数解决多元问题的常用策略和方法有消元策略、主元策略、换元策略、逐次求导策略、运用琴生不等式策略等.

关键词：导数；多元问题；策略

笔者曾向一所国家级示范中学高三实验班的学生提了一个问题：用导数能解决多元问题吗？大多数学生认为不能.分析其原因，可能有三：一是这些学生没有用导数解决多元问题的“经验”；二是很多学生误认为“导数只能解决一元问题”，这显然是受到了思维定式的消极影响；三是学生缺乏解决多元问题的策略性知识.事实上，导数是非常重要的数学工具.导数能够解决很多一元问题，也能处理一些多元问题，比如证明多元不等式、求多元函数的最值等.用导数解决多元问题，既需要以数学思想方法为指导，更需要良好思维策略的灵活运用.

用导数解决多元问题的基本程式是：（1）将多元问题转化为一元问题；（2）构造一元函数；（3）用导数研究函数性态（包括单调性、极值、最值、凹凸性等）；（4）解决原问题.用导数方法解决多元问题具有思路清晰、易于掌握、简洁明快等特点.下面介绍用导数解决多元问题的一些常用策略和方法，如消元策略、主元策略、换元策略、逐次求导策略、运用琴生不等式策略等.

一、消元策略