动力学研究

摘要本文基于完全信息的经典双寡头古诺模型，构建不完全信息——不同理性程度的动态三寡头博弈模型，对三个寡头企业作出异质性理性的假设：天真理性、有限理性和适应性预期的理性行为，将传统博弈理论和动力系统的分岔理论相结合，模拟排污权交易市场中的寡头厂商行为，在假设企业是通过在排污权交易市场购买额外的排污权治理污染的条件下，探究产量调整速度、边际治污成本和排污权价格对企业产量决策的影响，对纳什均衡的存在和稳定条件进行分析。数值模拟结果表明，产量调整速度处于一定范围内，系统处于稳定状态，当超过这一范围时，适应性预期厂商的均衡产量只发生了倍周期分岔，而有限理性厂商的均衡产量经由倍周期分岔进入混沌状态；边际治污成本对系统稳定性的影响取决于企业的理性预期，随着边际治污成本的增加，有限理性厂商的产量越稳定，而天真理性和适应性预期的厂商刚好相反，经济系统出现周期分岔甚至混沌，混沌最终稳定在纳什均衡水平，说明边际治污成本越高，市场越不稳定；一个有趣的发现是排污权价格的增大有利于寡头市场产量供给的稳定。系统的奇怪吸引子、最大Lyapunov指数和对初值的敏感依赖性验证了系统处于混沌的事实。由于混沌意味着无序使模型预测变得困难，最后运用延迟反馈控制法使混沌稳定在纳什均衡水平，此时寡头厂商获得最大化利润。这对于稳定排污权市场，防止市场出现无序混沌的情形有一定的现实意义。

关键词排污权交易；有限理性；边际治污成本；混沌；纳什均衡

中图分类号F224文献标识码A文章编号1002-2104（2016）07-0119-09doi：103969/jissn1002-2104201607015

如何实现经济和环境协调发展是我国当前面临的重大问题之一。随着我国经济的迅速发展和向市场体制的全面转型，环境问题产生的原因和作用机制更趋复杂，现有环境保护的制度法规已无法约束生产部门的污染排放，迫切需要寻找新的手段解决环境污染问题。

新型治污手段产生于对环境污染根本原因的认识。在理论界，越来越多的经济学家认为是环境资源的外部性（Externalities）导致了人们对环境保护缺乏自主性，并最终造成环境的恶化。对于环境资源负外部性问题的解决，国外学者的研究大体分为两种理论：其一是收取环境税，认为可以通过向排污者征税的方式将环境负外部性合理内部化，用环境税收弥补私人成本和社会成本的差额；其二是建立排污权市场交易机制，产生于科斯[1]的著名论文The Problem of Social Cost， 即后来的产权理论，认为只要能明确界定产权，那么可以通过市场交易机制去实现资源的优化配置。戴尔斯[2]最早将科斯定理应用于环境领域，明确提出排污权的概念。迄今为止，我国已建立多个试点省市，进行了包括SO2、COD等污染物的大宗交易。理论界的学者们饶有兴趣地探索，以期排污权交易能早日解决现实中的环境污染问题。

目前关于排污权交易的研究已经从最初排污权交易的理论框架与实际进展、排污权交易的政策设计、排污权交易制度的指标体系和排污权初始分配等逐渐深入到运行机制研究、交易成本、初始排污权如何分配等的理论分析。构建多种排污权交易模型，如期权博弈模型、污染治理投资分析模型、最优决策模型等对于排污权交易的数理模型也有很多学者研究[3-5]已有文献的研究，尽管将排污权因素纳入模型，但是较少考虑寡头等带有垄断性质的市场结构对模型的影响。

对于寡头博弈的研究，古诺模型、伯川徳模型等经典博弈模型均是在参与人的完全理性和对博弈过程具有完全信息的假设下进行的。模型经过一次互动决策达到均衡，并保持在均衡水平不变。但现实经济环境中这种假设条件过于完美，人们通常需要学习、不断积累经验，不可避免地会犯错，而不是像计算机一样每次博弈都能精准地计算，作出最优决策。因此这种完全信息和完全理性下得到的均衡很可能不符合真实的经济状况。

近年来，博弈理论模型和非线性动力学结合研究经济系统的复杂性逐渐引起关注。这类动态寡头博弈模型在参与人具有非完全信息、非完全理性的行为特征条件下进行研究，对于传统博弈理论的完全理性、完全信息的假设是一种突破，它打破了传统纳什均衡对经济模型的预测，对于认识和预测经济更有现实意义，表明了非线性系统在不受随机冲击时，也可产生类似随机性的动态。

于羽：排污权政策模拟和系统动力学研究中国人口·资源与环境2016年第7期1文献综述

这个方向的研究考虑参与人具有天真理性、有限理性和适应性预期等行为，Kopel[6] 、Puu[7]对古诺模型的纳什均衡的研究，提出了周期性和更复杂行为的可能。在寡头厂商的有限理性、适应性预期等条件下，证明了不动点的稳定性，通过系统分岔和奇怪吸引子验证了系统处于混沌[8-10]。以上文献的焦点集中于同质性产品的古诺模型和伯川徳模型，差异产品模型的研究也逐渐得到关注[11-15]，大多数学者认为参与人的理性假设会影响模拟结果，延迟有限理性的参与人更有可能达到纳什均衡，延迟经济系统的混沌行为[16-18]。

随着对寡头博弈的动力系统研究的深入，混沌在无外界随机因素下系统内在随机产生形成共识。由于混沌意味着远离均衡点，需要采取措施重新恢复均衡水平。目前主流的方法主要有Ott、Grebogi和Yorke[19]提出的OGY方法，Pyragas[20]的连续变量反馈控制法和延迟反馈控制法等。

迄今，混沌理论涉及多学科多领域的研究，国内外的专家学者对于混沌的研究成功用于经济学领域的最突出的贡献莫过于打破了寡头博弈模型中的完全理性假设，使模型更符合实际。纳什均衡不再处于经典博弈中的传统主导地位，而是有条件地存在。

这种经多次调整的无限重复的动态博弈模型现已应用于电力市场、寻租问题、资源环境、资本管理、社会责任等道德产品的研究[21-22]。吉伟卓和马军海[23]建立三寡头博弈模型，对发电厂商的动态行为进行了分析；Godwin等[24]对具有政策成本和竞争强度的动态寻租博弈的复杂性的研究，论证了寻租者的支出调整参数对博弈均衡的影响；Matouk等[25]应用离散动力系统对hastings-powell食物链的研究也发现了有趣的系统的内在随机性特征，Ding等[29]对低碳经济系统的研究也都论证了理性决策对系统混沌的重要性。

本文在前人研究的基础上，探讨排污权交易制度施行、寡头企业的决策等对寡头市场的稳定可能带来的影响，并对此加以研究。通过建立三寡头的动态博弈模型，分析纳什均衡的存在和稳定条件。数值模拟结果表明了当企业的产量调整速度、边际治污成本和排污权价格等参数发生变化时，系统的纳什均衡、周期分岔以及混沌的演变过程。分岔图、奇怪吸引子、分数维等验证了系统处于混沌的事实。最后运用延迟反馈控制法使系统重新恢复到均衡水平。

2模型构建与求解

本节主要介绍基于排污权交易机制的动态三寡头博弈模型。考虑环境污染对消费者的危害建立逆需求函数。探讨企业产量调整速度、边际治污成本和排污权价格对系统稳定性的影响，数值模拟此时系统的复杂性态。

构建排污权交易市场的环境，假设市场上存在三个寡头厂商，每个企业生产同质性产品，彼此间选择产量竞争。若xi（t）表示t时期企业i的产量，i=1，2，3.则t时期市场总产量为X=x1（t）+x2（t）+x3（t）.假设企业排污量与企业产量成正比例函数关系：Ei=exi.其中，Ei为企业i的排污量。市场中的消费者，因企业提供产品获得效用的同时，也因环境污染受到身心危害。每单位污染排放对消费者产生正的边际损失为d.那么此时消费者的效用函数表示为：

U（x1，x2，x3）=x0+aX-12bX2-deX

其中，x0表示没有污染排放的产品，设价格为1，a>0为固定参数。那么，在寡头市场商品销售价格为p0，消费者收入为ω（收入全部用于消费）的约束条件下，消费者最优选择可表示为：

maxU（X）=x0+aX-12bX2-deX

s.t.x0+p0X=ω

将约束条件x0=ω-p0X代入效用函数，得无约束最优化问题：

maxU（X）=ω-p0X+aX-12bX2-deX

由效用最大化一阶条件UX=0可得逆需求函数为：

p0（X）=a-bX-de

对比于不考虑污染的模型，价格下降了de，即单位产品对消费者损失。

假设企业i的生产成本、治污成本以及污染排放量为一次函数形式，且Ci（xi）=cixi，Mi（xi）=mixi，Ei（xi）=exi.政府对初始排污权的分配是免费的，记为y0.市场上排污权交易价格为p，并且假设企业暂时不具备污染清除技术，只能通过购买额外的排污权治理污染。那么企业i的实际排污权交易费用为p（exi-y0），i=1，2，3.

企业i的利润函数为

由于三个企业的理性程度不同，重复的动态博弈的产量决策各不相同：天真理性的企业1的决策是根据当期企业2和企业3的产量的反应函数决定自身产量；有限理性的企业2的当期决策取决于自己前一期的边际利润，边际利润为正，他在当期增加产量，边际利润为负，他在当期减少产量；适应性预期行为的企业3的决策是自己的反应函数和前一期产量的凸组合。则排污权交易机制下有限理性三寡头厂商的产量决策方程为

定理2纳什均衡E是局部渐进稳定的，如果系统参数满足（a-de-pe）-3（ch+mh）+（ci+mi）+（cj+mj）>0，b>0.h，i，j=1，2，3.h≠i≠j以及上述Jury条件时，E*是局部渐进稳定的。

3数值模拟

本小节对三个异质性理性的生产者进行产量决策模型的复杂性进行分析，可观察到企业调整速度、边际治污成本和排污权价格对模型复杂性的影响以及参数变化时的混沌性态。通过数值模拟图形，观察模型中寡头企业的产量和利润的演化过程，探讨排污权市场中经济系统的运行规律。

3.1产量调整速度对系统稳定性的影响

首先对参数赋值：a=10，b=1，c1=0.8，c2=1，c3=1.1，m1=0.2，m2=0.5，m3=0.7，d=0.4，e=0.5，p=1，y0=1，ν=0.5.则M=1.9，纳什均衡点E*=（2.4，1.9，1.6）.

当企业3的调整速度ν=0.5，动力系统方程：

如图1所示是ν=0.5时寡头厂商关于u的产量分岔图，最初三个企业产量处于纳什均衡水平，u=0.488 0时为第一次分岔，之后经由倍周期分岔进入混沌。图2是与图1对应的u的最大Lyapunov指数图。u∈（0.4，0.488 0）时，产量为不变的纳什均衡水平。图1中的第一次、第二次和第三次分岔点分别对应图2中最大Lyapunov指数最接近于零的点A（0.488 0，-0.009 6）、B（0.644 0，-0.009 8）和C（0.669 0，-0.006 5）；之后，最大Lyapunov指数开始出现正值，与此同时图1中的混沌发生。

如图3所示是u=0.49时寡头厂商关于ν的产量分岔图，最初三个企业产量处于纳什均衡水平，ν=0.492 0时为分岔点，之后保持倍周期分岔而没有进入混沌。图4是与图3对应的ν的最大Lyapunov指数图。ν∈（0，0.492 0）时，产量为不变的纳什均衡水平。图3中的分岔点对应图4中最大Lyapunov指数最接近于零的点D（0.492 0，-0.009 6）。

由寡头厂商的产量和利润分岔图可知，在进行产量决策时，随着调整速度的增加，企业在寡头市场的反应越迅速，市场可能出现这种无序混沌的情形，甚至出现无法掌控的局面。而由于企业2、企业3的不同理性假设，可以观察到有限理性企业的调整速度的变化对市场稳定的影响程度更大，而适应性预期厂商在做出决策时，考虑到自身基期产量和竞争对手产量的原因，他的调整速度对市场稳定的影响相对较小，因此只是发生了一次分岔，而没有进入混沌。

本小节以天真理性和有限理性厂商为例，探究边际治污成本mi（i=1，2）对系统稳定性的影响。

是u=0.49，ν=0.5，其他参数不变时，企业1的边际治污成本m1的产量分岔图。纳什均衡产量为E*=（10.2-3m14，7.4+m14，6.2+m14）那么三个企业的均衡产量不再是固定的。随着m1的增加，企业1的均衡产量下降，企业2、企业3的均衡产量会上升。因此，同调整速度u，v的产量分岔图会略有不同。

是与图5对应的m1的最大Lyapunov指数图。m1∈（0，0.183 0）时，企业1、企业3的纳什均衡产量持续上升，企业2的纳什均衡产量持续下降。图5中的第一次、第二次和第三次分岔点分别对应图6中最大Lyapunov指数最接近于零的点E（0.183 0，-0.009 2）、F（1.795 0，0.001 2）和G（2.051 0，0.001 4）；之后，最大Lyapunov指数开始出现正值，与此同时图5中的混沌发生。

不难看出，关于天真理性、有限理性和适应性预期假设的企业，他们的边际治污成本产生的产量分岔过程完全不同。这主要与企业的不同理性假设有关。随着天真理性企业的边际治污成本的增加，三寡头产量经由倍周期分岔，最终进入混沌；随着有限理性企业的边际治污成本的增加，三个企业的产量却是由最初的混沌状态经由倍周期分岔最终恢复在变化中的纳什均衡水平；随着适应性预期理性企业的边际治污成本的增加，三个企业的产量从变化中的纳什均衡状态发生了一次分岔，而没有出现混沌。

3.3排污权价格对系统稳定性的影响

本小节探讨排污权交易市场的排污权价格p对系统稳定性的影响。

由图9和图10不难看出，关于天真理性、有限理性和适应性预期假设的企业，随着排污权价格的增加，系统由

系统的吸引子

奇怪吸引子是验证混沌的重要特征，相空间中邻近的吸引子的轨道随着时间发生不规则的指数离析的过程。三寡头博弈的吸引子是三维图像。图11是u=0.49， v=0.5，m1=2.7的模拟结果。此时系统进入完全混沌状态。

3.5混沌控制

混沌系统对于初值的敏感性，使模型预测变得困难，这是参与者所不希望的，因此本小节应用Pyragas（1993）提出的延迟反馈控制法（DFC法）控制混沌。

延迟反馈系统可表示为：y（t+1）=g（y（t），p（t））

其中，y（t+1）为状态变量，p（t）为控制信号。Pyragas指出p（t）可表示为p（t）=k（y（t+1-τ）-y（t+1））.其中k为控制因子，τ为滞后时间，t>τ.。τ=1时，表示p（t）反馈回系统需要延迟一个时间周期。考虑延迟周期，模型中的动力系统方程改写为：

以上数值模拟表明，DFC方法延迟和抑制了排污权交易机制下的动态博弈模型中的混沌，排污权市场中企业产量在经历倍周期分岔后，重新恢复到纳什均衡，获得稳定的均衡利润，对于稳定市场起了重要作用。混沌具有不可预测性，寡头厂商在观测到混沌性态时，采用施加一个控制因子的DFC方法，需要一个动力系统多次迭代的过程才能使系统稳定在纳什均衡。

4结语

本文基于传统博弈理论，结合非线性混沌动力系统，构建排污权交易机制下的动态三寡头产量博弈模型。该模型放松了静态博弈模型中，决策者的完全理性和对市场的完全信息假设，将有限理性纳入动态博弈模型。

本文以线性需求函数和治污成本函数为基础，在政府分配给企业免费的初始排污权，额外污染排放只能通过购买新的排污权实现的条件下，数值模拟经济系统在参数发生变化时，会出现周期分岔和混沌等复杂动力学现象。探讨了企业产量调整速度、边际治污成本以及排污权价格对系统稳定性的影响。企业的产量调整速度越慢，利润相对越稳定；当厂商具有天真理性和有限理性时，前者的边际成本越高，企业越要承担越大的风险，后者的边际治污成本越高，排污权交易市场越稳定。排污权价格越大，系统越趋于稳定状态，说明排污权交易和排污权市场的建立有利于产量供给的稳定。对经济系统处于混沌的重要特征，包括奇怪吸引子的分形演化、最大Lyapunov指数、系统对初值的敏感性都进行了验证。混沌始终是一种无法掌控的、无序的状态，对于模型的分析与预测带来困难。因此最后运用延迟反馈法成功对混沌进行控制，最终市场产量会保持在纳什均衡，同时寡头厂商获得最大利润。

就目前而言，我国的市场经济处于不断完善和转型的阶段，本文数值模拟的结果对于排污权市场的稳定运行，市场出现无序混沌的措施补救有一定的现实意义，对于认识和预测排污权市场有一定的参考价值。研究表明企业要想在寡头市场立足，必须提高污染治理水平，降低边际治污成本。

（编辑：尹建中）

参考文献（References）

[1]COASE R. The problem of social cost[J]. The journal of law and economics， 1960， 9（1）： 414-440.

[2]DALES J H. Land， water and ownership[J]. Canidian journal of economics， 1968， 1（4）： 791-804.

[3]李寿德， 胡巍， 顾孟迪. 基于排污权交易的厂商污染治理投资控制策略及控制过程研究[J]. 系统工程理论与实践， 2008，28： 153-157. [LI Shoude， HU Wei， GU Mengdi. On control strategy and process of pollution abatement investment in the condition of emission trading[J]. System engineering-theory & practice， 2008，28： 153-157.]

[4]易永锡， 李寿德， 李峻. 基于社会最优的初始排污权分配方式研究[J]. 上海管理科学， 2012，34： 95-98. [YI Yongxi， LI Shoude， LI Jun. The socially optimal initial emission permits distribution[J]. Shanghai management science， 2012，34： 95-98.]

[5]吕一兵， 万仲平， 郭旭宁. 排污权市场交易的双层规划模型[J]. 系统工程理论与实践， 2014，34： 343-348. [LV Yibing， WAN Zhongping， GUO Xuning. Bilevel model of emission permits market trading[J]. System engineering-theory & practice， 2014，34： 343-348.]

[6]KOPEL M. Simple and complex adjustment dynamics in Cournot Duopoly models[J]. Chaos， solitons fractals， 1996， 7： 2031-2048.

[7]PUU T. The chaotic duopolists revisited[J]. Journal of economic behavior and organization， 1998， 33： 385-394.

[8]BISCHI G I， KOPEL M. Equilibrium selection in a nonlinear duopoly game with adaptive expectations[J]. Journal of economic behavior and organization， 2001， 46： 73-100.

[9]ZHANG J， DA Q，WANG Y. The dynamics of Bertrand model with bounded rationality[J]. Chaos， solitons fractals， 2009， 39：2048-2055.

[10]于维生， 于羽. 基于伯川德推测变差的有限理性动态寡头博弈的复杂性[J]. 数量经济技术经济研究， 2013（2）： 126-137. [YU Weisheng， YU Yu. The complexion of a dynamic duopoly game with bounded rationality based on conjectural variation of bertrand model[J]. The journal of quantitative & technical economics， 2013（2）： 126-137.]

[11]SINGH N， VIVES X. Price and quantity competition in a differentiated duopoly[J]. The RAND journal of economics， 1984， 15： 546-554.

[12]HCKNER J. A note on price and quantity competition in differentiated oligopolies[J]. Journal of economic theory， 2000， 93： 233-239.

[13]FANTI L， Gori L. The dynamics of a differentiated duopoly with quantity competition[J]. Economic modelling， 2012， 29： 421-427.

[14]张志远， 于维生. 有限理性行为规则下豪泰林模型的复杂性[J]. 系统工程理论与实践， 2015， 35（4）： 920-927. [ZHANG Zhiyuan， YU Weisheng. Complexity of the hotelling model with bounded rationality rules[J]. System engineering-theory & practice， 2015， 35（4）： 920-927.]

[15]YU W， YU Y. The complexion of dynamic duopoly game with horizontal differentiated products[J]. Economic modelling， 2014， 41： 289-297.

[16]YASSEN M T， AGIZA H N. Analysis of a duopoly game with delayed bounded rationality[J]. Applied mathematics and computation， 2003， 138： 387-402.

[17]EISADANY A A. Dynamics of a delayed duopoly game with bounded rationality[J]. Mathematical and computer modelling， 2010， 52： 1479-1489.

[18]DING Z， ZHU X， JIANG S. Dynamical cournot game with bounded rationality and time delay for marginal profit[J]. Mathematics and computers in simulation， 2014， （100）： 1-12.

[19]KAPLAN J L， YORKE J A. Chaotic behavior of multidimensional difference equations[J]. Functional differential equations and approximation of fixed points， 1979， 730： 204-227.